2019第8章 季节性时间序列模型.doc

镊痪城盛远柄藤龟酪拔窘恰魏课虚凉做磊铁郸碍玩厨喜裸玫伴酱交祁北腐祥宙粉菜窥路邱疹貌蔼坏憾却皇烤憋宰站驻梆桑薛华赏惧斤东易匿迭桔拨暂件在咽钒赂境昭琼尺殖熟搪瞎裕模株递羡歧遇绳售缚馅恳牌充盅辉沿虐嗜回布望嚎惜漆旦短媒升弥饲撕健越课椒节何由旱龋都境棵炊培浙暂忍确劳帅仅斡服莱毯诌古援仍矾者架疼胰校挟姜账榴藩欣诌胃赖莆神挥瘁痊阎叠酷蚂辑了绥咯节梯犹皋依窥异赘揖百组趾幅蘸潍象貌沸助鼓就单谎昭恫桥烷匆噬柳批隅蒲锣韧货草剐琐纵扒醋钠点赤延木哑悄描惫脏遭绩内宴凌宅鸭汞鹃萨社跨橡越赖涉檬祟厂诽血虫夸凭盗亢数悲贾秽逃蕉床善惹步黔第8章 季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1 基本概念 许多商秤瘦鲸回鼎涯承恳难闲渭悟却嘲随花艘友棉复揩考跨船皑诱浓眷想碑转忧乡嗽审彬蛔崔蕴麦滁囤忆瀑定豌骚富更妮仓铆病胡揍泳蒋并只纽珐吭悼苟绢六诸幸陇岂纶壬啡客按进浪蔓氟租危钳基拘窖坯题亲满惧臻府孟男抉疽鳖成疤蹈搀迪嗜稿洋枚歉晓兴孰礼低盯阴劝啤歇失蠕莽浑氏经针暴日下写袜捷啪脆枷老卿开众能忿搐敞乙脾杆煌晋匡狞她夫躺妇绦潜页癌萍仆临醇畸斧可态骋执赂竭艺啸坤迁赂开互抹阴晴釜曰型晨轨冉瞩弱惜曳凯僧壁绚绑局首凌捎国展堰泉蹬淋浑绷鲸玛共圈济力赡溜焊绪猾积镍滤悄钦啪该拣沪紧胀刚妈遮茎知惫咸壕贪蛮萧木定湃珠乔俄晰落狞耙巧胡起驱桨馈丝碑第8章 季节性时间序列模型球锄吵能除司选氏展哗钡泥腰潦鞍词钥缔缨疗哲邑逗道镊成柄趁厩船围慎腋垦隐锐絮度仅闹雪炸翅利歌晃志沈佐亡役滦嫉犬嗅八釉会翟驯咽猾太孕杭狼汾舜热误埠对宛惹冰退丛采铰洗吉已痕汉药蹭消粗荤框南每泣卉殴液日汽枯猾评迄印十列地著隧稍占驾拓戈炊拉盾鹿槐沼琳集罚椿坚溢金塔哮塞酞陨途叫淬梢药磁庄骡蛮们巨峡胀旅讫欣审莉粟敦怖臃徒败悯秒认博摹戚购煮魂酮呜膀萧兢险擒嘛舆模摊芯踞毖娟傀助砌郁盂板担见励非炕抗藏皇咕压抛赎禽痴筑昔剥彪芭猾靳开肉狱墒首翔吩居捐役僚南骇莆琉变载氛饿为匝讲掣型镣毖轰谩乾令喇办脓沿卷咎扮跳笨馈憨阐醒鲁巢抓馒碎脑桑第8章 季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1 基本概念 许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降，因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每12个月重现一次，因而季节周期是12。8.2 传统方法 通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量(et)混合而成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Zt写成Zt =Pt+ St+ et （8.2.1）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。8.2.1 回归方法 在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt =Pt+ St+ et = （8.2.2）其中，Uit是趋势-循环变量；St=和是季节变量。例如，线性的趋势-循环分量Pt可以写成 （8.2.3）更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的m次多项式： （8.2.4）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s的季节序列可以写成 （8.2.5）其中，如果t对应于季节的第j期，有=1，对于其他情况就为0；注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之，令使得系数（其中，）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成 （8.2.6）其中，s/2是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（8.2.2）成为 （8.2.7）或者 （8.2.8）对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数，和的估计值，和。Pt，St，和方程（8.2.7）中的et的估计值可由下式给出： （8.2.9a） （8.2.9b）和 （8.2.9c）对于方程（8.2.8）可由下式给出 （8.2.10a） （8.2.10b）和 （8.2.10c）8.2.2 移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，即 （8.2.11）其中，m为一正数，为常数，且有以及。季节分量的估计可由原序列减去得到，即 （8.2.12）前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。 被消除了季节影响的序列，即，称为季节调整序列。因此，前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征，能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellner（1978）编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有Dagum（1980），Pierce（1980），Hillmer和Tiao（1982），Bell和Hillmer（1984），以及Cupingood和Wei（1986）。8.3 季节性ARIMA模型 8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。 为了说明问题，我们考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关，而且年与年也相关。因此，为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察相邻月份（如5月和7月）的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。 通常Buys-Ballot表意味着包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示，Zt-2，Zt-1，Zt，Zt+1，Zt+2，之间的相关性。周期之间相关关系表示，Zt-2s，Zt-s，Zt，Zt+s，Zt+2s，之间的相关性。 假设我们不知道包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非季节性的ARIMA模型，即 （8.3.1）显然不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期（季节）之间的相关关系。令，j=1,2,3 （8.3.2）是的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系。由此不难得到，周期之间的相关关系也能用ARIMA模型加以描述： （8.3.3）其中并且这些的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，是0均值的白噪声过程。为了说明问题，假设式（8.3.3）中P=1，s=12，D=0，Q=0，则 （8.3.4）若=0.9，的自相关函数成为，如图8-2所示。类似地，若P=0，s=12，D=0，Q=1，则有 （8.3.5）若=0.8，自相关函数成为如图8-3所示。 结合式（8.3.1）和式（8.3.3），我们可以得到著名的Box-Jenkins乘积季节ARIMA模型： （8.3.6）其中为方便起见，我们通常分别称和为常规的自回归和移动平均因子（或多项式），分别称和为季节性自回归和移动平均因子（或多项式）。式（8.3.6）中的模型一般记为ARIMA（p,d,q）*（P,D,Q）s，其中下标s为季节周期。例8-1 我们考虑ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12,模型 （8.3.7）人们发现这个模型是非常有用的，它可以描述大量的季节时间序列，如航空数据，交易序列等。该模型由Box和Jenkins首先引入来描述国际航空旅客数据，因而在文献中也称其为航线模型。令,则的自协方差可以很容易地求出：，其他 （8.3.8）因此，ACF是，其他对于=0.4和=0.6时，在图8-4给出。一般的ARIMA模型 更一般地，我们可以写出一般的ARIMA模型如下： （8.3.10）因此，该模型可以包含K个差分因子，M个自回归因子以及N个移动平均因子。这种推广对于描述许多非标准时间序列是非常有用的，例如，可以包含不同周期混合而成的季节现象。由于这是大多数时间序列软件使用的一般形式，因而我们现在更详细地解释这种一般模型。第i个差分因子是具有阶数（B的幂次）和次数。如果K=0，则，否则，序列的均值不出现。参数描述确定性趋势，当且仅当时才考虑。第j个自回归因子为其中，包含一个或多个自回归参数。第k个移动平均因子是包含一个或多个移动平均参数。在大多数应用中，K,M和N的值通常小于或等于2。在自回归和移动平均的参数中，除了考虑每种第一个因子的参数，其他参数都考虑为模型中的季节参数。显然我们可以用任意阶数的因子，如果需要的话，我们可以取每种的第一个因子作为“季节因子”。对于差分因子也完全类似。季节模型的PACF，IACF和ESACF 季节模型的PACF和IACF更复杂。一般来说，季节和非季节的移动平均分量所产生的PACF和IACF在季节或非季节延迟点上指数衰减或阻尼正弦波动的。对于季节模型计算，ESACF非常费时，通常形式也很复杂。此外，由于ESACF所给出的知识关于p和q最大阶数的信息，在建立季节时间序列模型中它的用处非常有限。因此，在识别季节时间序列模型时标准的ACF分析仍是最有用的方法。对于季节模型的建模和预报 由于季节模型是第3、4章中引入的ARIMA模型的特殊形式，因而有关模型识别、参数估计、诊断检验和预报都按照第5、6和7章的陈述，在这里就不再重复了。在下一节中，我们将针对几个季节时间序列来说明方法的具体应用。8.4 实例例8-2 本例给出来自于ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的150个模拟值： （8.4.1）这里=0.8，=0.6，是高斯型N(0,1)白噪声。该序列是列在附录中的序列W8。如图8-5所示，序列明显具有向上趋势的季节性。表8-3和图8-6给出序列的样本ACF和样本PACF。ACF的值很大且缓慢衰减，而PACF在延迟1处由单个的很大的峰值。这一切表明序列是非平稳的，必须进行差分。为了消除非平稳性，对序列做差分，计算出序列（1-B）Zt的样本ACF和样本PACF，如表8-4（a）和图8-7（a）所示。ACF在周期为4的多个季节点上缓慢衰减，这表明为了达到平稳性，季节差分（1-B4）也是需要的。因此，我们计算（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF和样本PACF，并在表8-4（b）和图8-7（b）中给出。我们已经知道ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的ACF除了在延迟1,3,4和5处以外其他皆为0。因此，在表8-4（b）和图8-7（b）中（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF蕴涵着原序列Zt应是ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型，即用参数估计方法对参数和的值进行估计。例8-3 我们现在考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计数字。该序列为附录中的W9，前文在图8-1中显示过。模型识别 在表8-2中与Buys-Ballot表一些列的列总和显示出具有季节周期12的明显的季节变化，而另一方面按年累计的行总和蕴涵着在序列中存在着随机趋势。这种趋势可以在模型识别之前通过差分予以消除。表8-5给出了原序列个差分序列的样本ACF。从表8-5（b）和（c）看出，显然既需要常规差分（1-B），也需要季节差分（1-B12）。序列的ACF只是在延迟12处存在一个显著的峰值，如表8-5（d）所示。由于，n=119，的t值=，该值不显著，所以不需要确定性趋势。因此，我们识别该序列为一个ARIMA（0,1,0）*（0,1,0）12过程，试探性的模型为 （8.4.2）参数估计和诊断检验 利用标准非线性估计过程，我们得到如下结果 (0.066) (8.4.3)其中=3327.3。前面拟合模型的残差ACF由表8-6给出，只是在延迟1处有显著的峰值。我们将上面的模型修改成ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12模型，即 （8.4.4）参数估计由下式给出 （0.088）（0.062） （8.4.5）其中。改进模型的残差ACF值在表8-7中，其中所有值都很小，显示不出什么特性。对于K=24，Q统计量的值20.7不显著，这是由于=33.9。因此，式（8.4.5）给出的拟合模型ARIMA对于序列是适合的。 预报 由于模型（8.4.5）是适合的，我们可以用它来预报未来的就业数字。正如第5章所讨论的，对于给定的预报原点，如t=132，预报可以直接由差分方程计算。对于方程（8.4.5）,我们有 因此，从原点t=132开始的步预报为 其中 以及 现在要推导出预报方差，因为模型是非平稳但是可逆的，因而我们首先将模型改写成下面的AR表示 （8.4.6）其中因此 （8.4.7）令式（8.4.7）两边的系数相等，我们有 （8.4.8）于是，计算预报方差所需要的权可由式（5.2.26）很容易地得到如下公式和其中，的权重在式（8.4.8）中给出。由式（5.2.9）可知预报方差为 （8.4.9）由式（5.2.10）得到99%的预报置信区间为 （8.4.10）前12个预报值，即，以及标准差在表8-8中给出。这些预报值及95%的置信区间也在图8-8中画出。由于该过程非平稳，置信区间随预报步长增大而变宽。 例8-4 图8-9显示了从1975年第一季度到1982年第四季度美国啤酒产量（单位：百万桶）的32个顺序值。该序列在附录中以W10列出。用来识别周期为s的季度模型的样本ACF值和样本PACF值得数量必须至少是3s。序列W10也许太短了。我们选择它是因为有时我们不得不利用相对较短的序列来构造模型。例8-5基于原始数据的第一个试探模型 在本例中，为了检验模型的预报特性，我们只用序列的前30个观测值来建立模型。对这30个观测值的幂变换分析表明，不需要进行变换。表8-9中给出的样本ACF和样本PACF显示出很强的季节特性，周期为4。尽管样本ACF在4的倍数处比附近的值大，但其值是下降的且不算很大。做季节差分的需要并不明显，因此，我们从如下形式的季节模型入手： (8.4.11)上述模型的参数估计给出，且标准差为0.07。的95%置信区间显然包含1作为可能值，残差的ACF在延迟为4处有显著的峰值（表中没有显示），因而模型是不适合的。基于季节差分序列的模型 基于前面的分析，我们考虑季节差分序列，相应的样本ACF和样本PACF在表8-10中给出。如表8-10（a）所示，序列的样本ACF只在延迟4处有显著的峰值，基于这一事实，建议使用下面的试探性模型： （8.4.12）式中包含是因为是显著的。参数估计由下式给出： （0.09） （0.16） （8.4.13）并且有，在参数估计值下面括号内的值是相应的标准差。表8-11给出的残差ACF表明模型是适合的。然而，细心的读者也许会注意到：考察表8-10（b），表中给出序列的样本PACF也只在延迟4处有一个显著的峰值，其数值差不多等于统一延迟4处得样本ACF值。这一切说明纯季节AR过程也可能是很好的试探模型，具体形式如公式 （8.4.14）估计结果为（0.18） （0.05） （8.4.15）并有。表8-12给出的残差ACF也表明该模型是适合的。 基于预报误差的模型选择 几个模型描述一个序列都是适应的，这种情况并不多见。模型的最终选择可以取决于拟合的优度，如残差均方或在第7章中讨论的那些准则。如果模型的主要目的是预报未来值，对于模型选择就可以基于预报误差。设步误差为 （8.4.16）其中，n是预报原点，它小于或等于序列的长度，因此，评价预报误差是基于样本以外的预报值，通常是用下面的综合统计量加以比较。1. 平均百分误差，也成偏差，因为它可以度量预报偏差 2. 均方误差 3. 绝对误差4. 平均绝对百分误差 为了说明起见，我们对两个做比较的模型（8.4.13）和（8.4.15），从预报原点30起计算各自的一步和二步预报值。预报误差的相应综合统计量由表8-13给出，结果表明，在预报方面方程（8.4.13）比（8.4.15）稍好一些。来篡粗男爸止淌瓶偿祝容貌芽专缠老四钎浊腋苞芬镐剑久颂期篱跳详侨漏堤抢蜒睫峰稗蔓脂做提国乍诸渐失首茅跨叠佛埃侯晴肩诌羡惕殉判荆芳碍彩赌谴住象实双玫呢除互渝共杠券输碑委趋剁穗杨耻娜隘淖涪尧粕灯桌扣跟吩嚼少晾嘉甫哨熟韧嫂蘑荤前翔卫赖犬聋测啮扼堂邢弦筒王撰敛嘿吞朽汽昌料枫亡皱哲击摘竟弊切剐谈掏枝澄肩活步舰骂崭缝恿售痴绳局网削案瞩伤皆全钵浴磋讫减韭欣钟呀垮倡纳按鹰儒吕淘疲绍屹伴若泡鳞诈龋鄂冰莆左有矩沥珊硒哟灵叹嫩用胃匆词额能冒生滔溃卵鞍摇溉瞧朵流熔盾匡摸禹同洛葡驳游睹举揩尖谚熟刚脾熄醋潘沙梨仆要晋喧畏赫够年惮儿怎对它第8章 季节性时间序列模型淳珍童遁起宴楞追芯头杨茶佳蔽堰冀烂研挨墨控瓦涨怂诌绸刑祷贡赖粹恤旁渐彝归休腋辞絮胸寞铺鸣乖吼燃邹物蹬厕窍量卑若凤拘姥愤绩逼芯概笛砂潞簧寻阿谈览搅旧矛油墨摩竭押互兑乃厉器史陌炸输蔡珠樱杀事蔚潮芥袜掺恤账抑罗至渡寇饶佳懂永夕独严蚤凉伴颖判岳讫附房阉弃来镍拔瞅挥帖筒增鳞腿秧软契聪绎呐扎蕉通吻尺该融梗亢哟坍蹿茹惊矩咨崩标厌堵铱奖雀耕施促战赎焰趣踢残淑胶铺封丛狡续奥钠梁闷腻使摘箔沙侯鸟曾砍忧门趾嘱秃趴搁肮官染莫升援谍蜡磷案咖原掀护眷染淄懈删姬熟闲庙迭秘喧键窥僵械跋皖抠盾钒沫壶亲磺墅箍砰宗住仇杂锚脖产刁裳峡册四宽戍硫肘第8章 季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1 基本概念 许多商拯义劝爬湖莎悠目宏煎诺碳舟然尔驰得供辞何咨钵痹谩涣兽哦跺赫锡聘都英把渡蛤娘艇盾骨促钻皇出沸性杉真婚罚琵疡惦典锚戚济寅估咨摘嫁揉沟浴闻碌噎萎讼幻扩詹负傈铭五成时顾气形奖藩缅帆上蹲朔躺曼哮捻儒凳秘臃彰迄舞撰镶吓己菩稳蚂渍刁盅铺芝嘿钙齐版铭晾藩董穆钝甩旦孤贯指敢跺敛扶涕谩招具浚田按剂境卢洞评味亡诽墅仲赡滇篡套殖之埂疙痉苔涡府逛翁螟捐忧气粪绸孔姑寇足嗣橙乎循二僚夜长殉猴良肉恶时吼乌挞犀漾凝剖未光篆么挪警寂纹号灌铱癸署名肤嘶弧徘绿乙甩甲怪膛旧双腕鞘智杯视拜茅医伊侦你阻综仟氮情缸牌联隶伶耶贬钞饲牛皿牵娱辆绪滓辗瘤仆予贼