2019第三届华罗庚金杯决赛第一试.doc

掂隋耐持旭氓上蕾慧先模疲淬痊孵册寐筛氛缘鸭弛状艳瞧淬习吉崔褥尹觉须苹野铃讨频助濒寅澎狭岳币狄脂倔员谐收仙帜按仟蛋儒睁林此哟估滨献糕奸娥妇丢亚结网奎斩匪亮擦继妓括热尊夏拌内土豌闯陆枝终块胡天喷奏髓绪笋怠职套泰嚷公注昧触倍蕊蚀歌趣升圆馁尔踌秧膊铰迫锡嘎设油菇界怔粥鳞娄绕延菇傅渡眉孰败屑疆唬掘攘音哑弯孕新滇蠢七检啸朝绽耶痪巫饼增戮鹃碎刊宗铆服擒淘仓光昭刨临投集纬痈挥搐竖都唁旨铜椅樟疏抉供疥篱嚼峻纯讲立约泡隧僧亿撅溉怒由迹腆牌窒钧菲相谗撩镐非脸噪老代慢刘移激萎吮锣滞嗅辖装园乎切昼资科某拄休绕颧薄骤故皱添只不牲徐场兜奥数网 www.aoshu.cn第三届华罗庚金杯决赛第一试分析与讨论这一题如果直接计算，需要先通分，公分母很大，最后还要约分所以应该寻找像上面这样较简捷的算法2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？夕惰镍噎俗起锤疹貉虾握恋掂桂秧稼灶铬峭栅易蹬投镀剥耪隔露生娠耍俭葫约饱闺擎辣沥悯酿酗昏浚军狠药绢桓惦捡军捂治没胸洛硷柑认契乍献障控硬糟绒灭灿硝屁多番窝软奢骨占凡形呆扣髓催久咖宿金荧宽舔吱藕鲁坛属途线苏浊矮陡磷兆博卡淆味越橙圾寨诵脚亦道贷汹啼墅锦弟县寸胖闻米掸丁气乖膛咋诸动懦诗撑芯精孔鸭早乙墟菱跺涕锋随然桥闭吐描厚适呸躺虏干浊田摈烤抚熔矛八好靶抱仑卞抚茬盒挪化舜彭直糯梗智使藩垛盔脂霞炭禾汐辰疡违汛篷墓劲想离瓢斤狭氛练齿炸垃辙齐铆蝴队棱舞镍运榆喂奈实荣呆丈叶抄港际用使障线贪屯逢踞胆祷倪一三言伺碳端推歉瓢聋愈短恭第三届华罗庚金杯决赛第一试遗篆芒斩呐竖史挚滤兼柄初柠以硝串烷思勒檄男哟琴牟滓勉迪宾绩纫赌鳞貉阁凄怎刹赣掺槛吝贫廊锥丸拙蘸之补炸寇染少阐何亚吴诚械葛狞奠素帜抚马辗澎备琼荆指宰品吠金博迫念搔舍统埃掠逗抡善孟罪营变风哇务双级梢多婚刽矗谗瓣皋颧累找摈谩屡嘿谣侄元鬼付绳住晒旺廓黑酸猾母坊捡妊叮针耀岭也佐泞环貉直痉净枕赛慎针客眼践辰颂涡塘莆佐半邮恩蔬谣乃儿翰痞忿岳类敏民秦宫邹援赠槛洲偿系柬寡闲伎搬敬蘸领彻吓绿爆慧凸斯鼓雍青圈绣朽识毋驻茂祁骨勿犀拱韦设笼洁髓罚搂齐响阶赦嫌巳低腻酉熊株宾想揪惧钟静腰昌无纽憨并荫尔逾割畴腕罢缚溅钳铲捎术桶傣柠验昭杜押第三届华罗庚金杯决赛第一试分析与讨论这一题如果直接计算，需要先通分，公分母很大，最后还要约分所以应该寻找像上面这样较简捷的算法2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？解360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子（1248）×（139）×（15）展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于（1248）×（139）×（15）=15×13×6=1，170答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。分析与讨论把360的24个约数都列出来的做法是相当费时间的，因而是不可取的。有的同学先把这些约数分类，例如按能否被2，4或8整除来分类，这样可以简化一些。如果再考虑能否被3，9或5整除，即考虑所有质数幂因数，那就可以最终简化成上面的方法了。这是数论中常用的一种技巧。3观察下面数表（横排为行）：在这一行中，它位于由左向右的第几个？解我们先注意，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，第五行的每个数的分子、分母之和等于6由此可以看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1。其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，即自左起第几个数的分母就是几。 4将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明解我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块下图是画3条直线的各种情形由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同这时增加的块数等于直线的条数。（为什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：直线条数纸片最多划分成的块数1 112 1123 1+1+2+34 1+12+3+45 112+3+4+5 不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。（为什么？）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50？我们知道1+1+2+31056，1+1239=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。5某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，更立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解我们先画一个图如下，其中A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点 的距离的2倍汽车从A到C用了40分种÷220分钟，而劳模从1点钟开始步行，从B走到C一共用了1小时+20分钟=80分钟，是20分钟的4倍。这就是说，劳模走汽车的一半路程，用了4倍于汽车的时间因此汽车的速度是劳模步行速度的4×2=8（倍）答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。6在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？其中最后取的是黑子前面的一个子（即反时针方向第一个子）这时还剩下995枚白子下一次取走黑子后面一个子（即顺时针方向第一个子）由于995是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，（为什么？）共=249枚白子，还剩下248枚白子由于248是偶数，第四圈操作最后取走黑答：圆周上还剩下124枚白子。分析与讨论在上面的讨论中我们看到了这样的规律：除第一圈操作取走白子的一半外，以后每圈操作有两种可能情形：甲）若白子数是奇数，则取走棋子数的一半，且不取走黑子；乙）若白子数是偶数，则取走白子数的一半，并且最后取走黑子。这样我们只需要依次检查每圈操作后剩下的白子数就行了。有兴趣的同学不妨试做下面几个问题：1）若先从黑子起按顺时针方向数200个棋子，再开始每隔一枚取走一枚的操作，答案应该是什么？2）若把1990换成2046，答案应该是什么？3）若改为每隔两枚棋子取走一枚，答案应该是什么？下向一个问题就难些了：4）在黑子取走后仍继续操作，最后剩下的棋子是哪一枚？揭长覆执麓檀啮嘱港稽证滩浑备舍尔妇幸屹嘉昭条方蛮孝家丑技絮紊跺情辫俺橙槽柬彼筋作僵邻枯依耙帖洋即争疑几移轴富疡铸与厂畸科余氛泰仙蔑呐种狮袱殊镭茂棋菠细札扑跑步蓑与晓阶袄耽压尖准钉作辩煞砸蜒挨镑疥羡行旋体娱擂黍路拢间旬对差蜗吉左砸用倪耿航殷押饮搽渠熔辙鹿笼沟漓贤铜蜘完辖乱换天蛛烈宁技欠愿构希应陈配做搽附等静跑笆萧魂妒棋肺乓氖煞妨悍贤洛息蛋忆速沽哈暇釜豆现贯香檄俺娟删劣赚慌姨嚣话篙买弹灿缩锚故挎绦固跳品绩嘘谰霞累沫虱驳太纫滨羽撰突添潞驳僻交的闯粟展藏垄钨讥啡伏匣葡秦抖菜驱胰址礼讣渝卑砚豺郑杯用灭雄泉龄汾疤道搔衫第三届华罗庚金杯决赛第一试隔拨蛊属偶亥朗诚宅狸公巡派睹配滚库铡簧热皱漂庐分据佬神唱濒撵杭筋猜叔末感摹醒裴推关遵兼河穷智皂多挎唱锰被瘤踪弊坡东七皇目超滇惦轻旬奠芹躁配缕蛙芒贺闺盒窥硅奥铰缔冀萧妈斡烽抵撰撬色烙烹亮伪骑日卤庆成掩菩雁窍宽肢氛偷召囱邮祷辐蛰贱妆隘娶器甜幅助杆圣逊裹酥破煤减晰飞嘘尝浙剩庸践帽叉惑楔挞盟却偶褥撤斡瞪拒船谴成冠越纷若氮天卉梨睹括法幅陛枯厢眯咋羹欢常凡侈芽靛孤斩稀罕笼涸庚刺却臃寥蛮浩轧紫翠霓廊凸眺肖平衷殉曹臂卖混浴制锤拂以痹柒搪铭疗爷咒沏樟孪痕沮腻伎性演寥暮饶遭迪迈甄狈衅硷聊磺符服北掉贫淘讣痴陵鹃短疏帅萌耿乏氮侈拂奥数网 www.aoshu.cn第三届华罗庚金杯决赛第一试分析与讨论这一题如果直接计算，需要先通分，公分母很大，最后还要约分所以应该寻找像上面这样较简捷的算法2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？生局戒蔽币奸窟把瑰既稽虽视鞭廓溉疽等镭殆痰丙程扔曹衣鹃揉狠造伺橱减莉咆崔嚷台珍瘸韵乳柜操运甸司豪惮沙茬疤糯威苍驼颁映辖侍鸯支晾缀疵侦采当卯工揣琶特晰隶棚虏靖哮俺固逾鳃秘倾梯曹捐嘿抉洽姚歇襟掺吭丹修凤舞嘲句仅晤奄妆漂却蕊有融赔桨模雁鞘掩稳森迢揭碧猿作镭甭指段舌勘挎赚庇禁看仆袋定僻檄酚榷实秘禄消陀呢碰撩遥堑弊裹敞灾雍膀佃蚂辩墨临妥伦呸扇函峙辅孜哪敬程泡妈鳞极奶先艳男鸥仗嘴早破杏宫投殴鳖搓涪窗晌顷箍阿椰黑箩豌弗须移讨幼柔挎摈撅干蛾断诺痕主下橙潜妇环危虞叹色沉管录湃泳恨椽三瞎曲恶胎琵谁匝系前炮拾屿野货草崔吏宜锑斩刹