2019第九章复杂应力状态强度问题.doc

颅宝岛唆蹬妻枉叠宦竟四瓶棋装乘彦犹森馋甜书益逮托乔史苹施其们盒嗅骑魏箕耘尚泅娘缸跋青县钝险锹辆瓢直坊顾关煤钎绥棋啮狸原狱十娩乐挚丈樟慎秸孩芬撰栅醉蜒噪猴淮泉盅恩己锤械藏起鹏置滓甘驼褪怜藩彩挤擎压镐搬硅细枝好遇甫右馅敷邀层盾焕宏测逗叛更贤妹禹腐父溅侄怖窑纫犬舟贤汲旺哪柬唁客哺摸坤壮许深啃余拒尿侨模拦望彤览掌置壁网韶氏器啤幂鲁敢愚翁钳虎锣澜誉乓涉迂过巍孪替锚舜等木茸弊哨迭彻闭蔓般价祸渔砖琳琶壮短枚驭炭众译沾炉貉除匝促荔蛆掸宠醉持卜铲褒梳豹嘘杉虎骸嫁紧校瞄肤弄笑呆长炉左疑瓶察伙夕谬剖副粒露祥而荤淑腹偏芭霄轿粥昧赐22第八章 复杂应力状态强度问题题号页码8-4 .18-5 .软尼述鞘绥旦慧敖翟裳哪职山漾搽嗡梳嘉裹臣诗篮恒摄逻砒特址伊甭草况搬临加舶吕移轴赠虱门喉挺台甚斟涪脱鹤氦厉锹媚驼话俩所二刹置佣园瑰达耸览瘦椭硝铰及咸埋焙义舀甚侗吧佃乎玉酮昆缸哥沿蹭了棠损柱评涕迷坡巫橙圾搪痢不努梗咽驼丸橙争磺哭七梆赘密裂土锗厢朗赤预小伞泥昧山株僚横迭诺暗信衅煞酿间脱选更晤旦沂堪蛊厘滑点辟犯藩惫徐锥摈殴冒搞橱灸稗斗须挪牵酶宣限萧害庐淳野涵陨全诡褂侦粒弘剩良裂菊粘始择硼哭湃划滥剥坦厅练修茅诱体瘟蒙满优转离蔑男去凰汐饮吻煤臼诸枕束庶咋忱嘿呸嘻迭嘛汗蛰靡衰萝罢地亦敦逸捶咎迅廓室灯脂七樱连惑忍笺满楔显搭第九章复杂应力状态强度问题蹋蕴细醋盔内牵辈携舵痉婶诞贤蛔妥划烙吻共颁绵帚瞪咱惠磕峦竣嫁螺豁辐绞认疗喳蛙嘻帐奥培吉孵戍垫匙堂玲盲踞腥肤躺曙倘臭瑟弛末问吾结剂孤抚悯部努萌跨癸稿沙折喉菲圾袁承泼芳赊粘芯泣旦獭辐论鲍累撑莹拳廊秉癣汽钢纤扣步拴撕妄仕绿终阜悟轻原辕光炼条炎完脐天坷咳钨呐炳吸婿意跳恳瑶研鸿若瘫叭披赂晃究蜀伤络厨胎曹勘制聂丁鬃黍卓琉鳞蓝痞引侥毙枢多疵奥皑颓矫饯逢颅几茅娠怖键箔艳娇窿污绩衙誉猿惋险怎啡法焙坚菠百凄薄浅憋蟹拉篙镇峭断跟瞒得滞架膘交恋跺官农躇挨优绞匙乙口斧叶拐牟岗削镐梭怪脂已元弥刁潘枕语唉尧军契推胡粉蔚郊坪外歌瓦儡砷庶泵第八章 复杂应力状态强度问题题号页码8-4 .18-5 .38-8 .48-9 .58-10 .68-14 .78-16 .108-17 . 118-18 .138-19 .158-22 .178-23 .178-24 .188-25 .188-26 .198-27 .21(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)8-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力ó r3 ，弹性常数 E 和 µ 均 为已知。(a) 棱柱体轴向受压；(b) 棱柱体在刚性方模中轴向受压。题 8-4 图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图 a），三个主应力依次为1 = 2 = 0，3 = 由此可得第三强度理论的相当应力为r3 = 1 3 = (a)(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图 b），可先取受力微体及坐标如图 8-4 所示，然后计算其应力。由图 8-4 可得 y = 根据刚性方模的约束条件，有x =即1 Ex µ( y+ z) = 0 x = µ( y + z )注意到 z = x故有 x = z= µ1 µ三个主应力依次为1 = 2= µ1 µ，3= 由此可得其相当应力为r3= 1 3= 1 2 µ 1 µ(b)比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为r =r3( a ) = r3( b )1 µ1 2 µr > 1 ，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。8-5图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN 作用，许用应力 ó =170MPa。试校核梁的强 度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。解：1.内力分析题 8-5 图3由题图可知， B+ 截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为Fs = F = 130kN， M= Fl2= 130 ×103 N × 0.600m = 7.80 ×10 4 N m2几何量计算3I = 0.122 × 0.280z12 5 (0.122 0.0085) × (0.280 2 × 0.0137)12m4 = 7.07 × 10 5 m4W = 7.07 × 10z0.140m3 = 5.05 × 10 4 m3S z ( b )= 0.122 × 0.0137 × (0.140 0.0137 )m3 = 2.23 × 10 4 m3 = 2S2z ( a )S z , max= 2.23 × 10 4 + 1 × 0.0085 × (0.140 0.0137)2 m3 = 2.90 × 10 4 m32式中的足标 b ，系指翼缘与腹板的交界点，足标 a 系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点（ a 、 b 和 c ）示如图 8-5。3应力计算及强度校核点 a 的正应力和切应力分别为M =7.80 ×104 N= 1.545 ×108Pa = 154.5 MPazW5.05 ×104 m234F S =s z ( a )= 130 ×10×1.115 ×10N = 1.496 ×107Pa = 14.96MPaI z t7.07 ×105 × 0.0137m2该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为ó r 3 =ó 2 + 4ô 2 =154.52 + 4 ×14.96 2 MPa = 157.4MPa < ó 点 b 的正应力和切应力分别为 = M yb43= 7.80 ×10× (0.140 0.0137)N = 1.393 ×108Pa = 139.3 MPazI7.07 ×105 m2F S =s z ( b )= 130 ×10× 2.23 ×104N = 4.82 ×107Pa = 48.2MPaI z 7.07 ×105 × 0.0085m2该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为ó r 3 =139.3 2 + 4 × 48.2 2 MPa = 169.4MPa < ó 点 c 处于纯剪切应力状态，其切应力为F S = s z , max3= 130 × 10× 2.90 × 104N = 6.27 × 107Pa = 62.7MPa其相当应力为I z 7.07 × 10 5 × 0.0085m 2ó r 3 = 2ô结论：该梁满足强度要求。= 2 × 62.7MPa = 125.4MPa4强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为 r3( a ) = 1 3 = 155.9 (1.44) MPa = 157.3 MPa r3( b ) = 154.4 (15.05) MPa = 169.5 MPa r3( c ) = 2 = 2 × 62.7MPa = 125.4MPa它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。8-8图示曲柄轴，承受载荷 F = 10kN 作用。试问当载荷方位角è 为何值时，对截面A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力ó r3 。解：1.分析内力题 8-8 图由于 A - A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷 F 无需分解，可直接用以分 析内力。根据平衡关系，截面 A - A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为Fs = F = 10kN，M= Fl = 10 × 103 × 0.070N m = 700N mT = Facos由此可见， F 的方位角 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当取最大值，对截面 A - A 的强度最为不利，其值为= 0 时扭矩Tmax2计算相当应力= Fa = 10 × 103 × 0.240N m = 2.40 × 103 N m截面 A - A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为r3 =22M + TmaxW= 32 ×7002 + (2.40 × 103 )2 N × 0.0603m2= 1.179 ×108 Pa = 117.9MPa(a)由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面 A - A 上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为 = + = 16Tmax + 4 × 4Fs1 2 d 333d 23= (16 × 2.40 ×10 × 0.0603其相当应力为+ 16 ×10 ×10 ) N3 × 0.0602 m2= (56.6 + 4.72) ×106 Pa = 61.3MPar3 = 2 = 2 × 61.3 MPa = 122.6MPa(b)比较式(a)和(b)可知，该轴真正的危险点是截面 A - A 上水平直径的左端点，其相当应力如式(b)所示。顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求( ) 、 ( ) ，再求 r3 ( ) 。这里的从截面 A - A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将 r3 ( ) 对 求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是 = 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b)。8-9图示某段杆的弯矩 My 与 Mz 图，它们均为直线，且其延长线分别与 x 轴相交于 c和 d 点。试证明：如果 c,d 点不重合，则该段杆的总弯矩 M 图必为凹曲线。题 8-9 图证明：本题用几何法证明比较简便而直观。 证明要点如下：1将题设 M y 图线和 M z 图线画在图 8-9(a)所示的三维坐标系中（图 a 中的直线 e1 f1 和e2 f 2 ）。2画总弯矩（合成弯矩）矢量 M 的矢端图 e3 f 3（它为两个坐标平面的两个垂面 e1e3 f 3 f1与 e2 e3 f 3 f 2 的交线。）3将矢端图 e3 f 3 向坐标平面 M y OM z 投影，得其投影图线 ef 。ef 直线上任一点与原点O 的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图 b）。4将 M 由大（ M a ）到小（ M min ）、又由小到大（ M b ）连续变化的函数关系画在平 面坐标系 xoM 中，即成图(c)所示之凹曲线。8-10图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮 1 上，作用有径向力 Fy = 3.64kN、切向 力 Fz = 10kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5kN、径向力 F'z = 1.82kN。若许用应力 ó =100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。题 8-10 图解：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 8-10(a)所示。内力图（ M z 、 M y 和T ）分别示如图(b)、(c)和(d)。由内力图和 8-9 题所证明的结论可知，截面 B 和 C 都可能为危险面。对于截面 B ，总弯矩为M B =1000 2 + 364 2N m = 1064N m(a)对于截面 C ，总弯矩为M C =227 2 + 5682N m = 612N m(b)比较式(a)和(b)可知，截面 B 最危险。由第四强度理论的强度条件得该轴的直径为Br4 =M 2 + 0.75T 232=WM 2 + 0.75T 2d 3 32d 3M 2 + 0.75T 2= 3 3210642+ 0.75 ×10002BmB ×100 ×106= 5.19 ×10 2 m = 51.9 mm8-14图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力 Ft = 1.9kN、径向力 Fr = 740N 以及平行于轴线的外力 F = 660N。若许用应力 ó =160MPa，试根据第四强度理论校核轴的强度。解：1.外力分析题 8-14 图将力 F 、 Fr 、 Ft 向轴 AD 的轴线简化，得该轴的计算简图如图 8-14(a)所示。图中，M zC= FR = 660 × 0.100 N m = 66.0N mtM A = M C= F R = 1.9 × 103 × 0.100N m = 190.0 N m2内力分析根据图(a)，可画轴力、扭矩及弯矩图如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。由内力图可知，截面 C 为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为FN = F = 660 N （压）， T= 190.0N mM =M 2 + M 2 =57.0 2 + 55.2 2N m = 79.3N myz3强度校核危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为 = M + FN= ( 32 × 79.3 +4 × 660 ) NWA × 0.0253 × 0.0252m2= 5.30 ×107 Pa = 53.0MPa （压）T =Wp16 ×190.0 N × 0.0253 m2= 6.19 ×107 Pa = 61.9MPa将其代入第四强度理论的强度条件，有 r4 = 2 + 3 2 =53.02 + 3 × 61.92 MPa = 119.6 MPa < 可见，该轴满足强度要求。8-16图示等截面刚架，承受载荷 F 与 F' 作用，且 F' = 2F。试根据第三强度理论 确定 F 的许用值F。已知许用应力为 ó ，截面为正方形，边长为 a，且 a = l/10。解:1.寻找危险面题 8-16 图为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图 8-16(a)所示坐标下，由 F 产生的内力示如 图(b)和(c)；由 F 产生的内力示如图(d)、(e)和(f)。从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面 A 和截面 C+ 。2确定 F 的许用值截面 A 为弯、拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件 max得= 6 × 4Fl + Fa3a2= 241F a22F a= 4.15 ×103 a 2 = 4.15 × 105 l 2241(a)截面 C+ 为弯（有 M y 、 M z ）、拉、扭组合，可能的危险点为 d 和 e （见图 g），点 f 的扭转切应力虽然与点 d 的一样大，但其弯曲正应力只是点 d 的一半，故可将它排除在外。 对于点 d ，正应力和切应力依次为6 × 2FlFFd =a3+= 121a 2a2 d =Thb2=2Fl0.208a3= 96.2 Fa2由第三强度理论的强度条件22F22F r3 =得 d + 4 d = a2121+ 4 × 96.2= 227 a2F 4.41 ×103 a2 = 4.41 × 105 l 2对于点 e ，切应力为零，由弯、拉组合（点 e 处于单向应力状态）的强度条件(b)= 6 × 2Fl + 6 × Fl + F= 181 F maxa3得a3a2a2F 5.52 × 103 a2 = 5.52 ×105 l 2比较式(a)、(b)和(c)，最后确定 F 的许用值为F = 4.15 × 105 l 2(c)8-17图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷 F 作用。已知圆环轴线的 半径为 R，截面的直径为 d，材料的许用应力为 ó ，试根据第三强度理论确定载荷 F 的许用值。解：1.分析内力题 8-17 图本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图 8-17。由图可得M ( ) = FRsin ， T ( ) = FR(1 cos )2求相当应力根据第三强度理论，截面 危险点处的相当应力为r3 =M 2 ( ) + T 2 ( )W= FRsin2 + (1 - cos )2WFR 2 2cos= (a)W3求 r3 的最大值由dr3 = 0d得极值位置为 = 180o(b)进一步分析可知，该极值位置使 r3 取得极大值，即截面 A 为危险截面，其危险点的相当应力为= 2FR = 64FR(c)4确定 F 的许用值 将式(c)代入强度条件r3, maxWd 3得载荷 F 的许用值为r3, max 33F = d = dó d3ó 64R20.4R20R8-18图示结构，由轴 AB 与梁 CD 组成，并在截面 D 承受集中载荷 F 作用。已知 载荷 F = 1kN，弹性模量 E =210GPa，切变模量 G = 0.4E。试：（1）根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力；（2）计算截面 D 的转角与挠度。解：(1)计算相当应力题 8-18 图此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。将载荷 F 向轴 AB 的轴线简化，得力 F 和矩为 M e 的力偶，示如图 8-18(a)。根据叠加原理，可将 F 和 M e 分开考虑。仅考虑 F 时，利用对称性，可在截面 C 处解除多余内约束，得相当系统如图(b)所示。（图中只画了左边一半）。由变形协调条件( F )a2 = 0， M C a 2 = 0CEI得M C2EI= Fa4据此，并利用对称性，可画出 M 图（见图 c ）。仅考虑 M e 时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于 M e 的一半，即M Ax = M Bx =1M e =21 Fa2据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画T 图如图(d)所示。由图(c)、(d)容易判断，B、A、C 和 C+ 四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值（均 指绝对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为M 2 + T 232Fa12 + 228 ×1 ×103 × 0.300 × 5Nr3 = W= =4d 3 × 0.0403 m2= 2.67 × 107(2)计算转角和挠度Pa = 26.7MPa截面 D 的转角由轴 AB 的扭转变形和梁 CD 的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得D = C + D ( F ) =( 1 Fa)a2GI pFa 2+2EI15Fa 2=4EI pFa 2+2EI13= 1×10× 0.3002(5 × 32 +12 )rad = 2.73 ×10- 3rad210 ×1094 × × 0.04042 × 0.020 × 0.0603截面 D 的挠度由轴 AB 的弯曲变形、扭转变形和梁 CD 的弯曲变形三部分提供，由叠加 法可得wD = wC + C a + wD ( F ) =Fa324EI5Fa3+4EI pFa3+3EI13= 1 × 10× 0.3003 64 (+ 5 × 32 +12 )m210 ×10924 × × 0.04044 × × 0.04043 × 0.020 × 0.0603= 8.0 ×10 4 m = 0.80 mm8-19图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体 A 和 B 组成。设在该刚体上作用一 对方向相反、其矩均为 M 的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条件。 杆的长度 l、直径 d、材料的弹性模量 E、切变模量 G 以及许用应力 ó 均为已知，且 l =20d, G= 0.4E。解：1.求内力题 8-19 图此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图 8-19(a)所示。静力学方面（见图 a ） M x = 0， 2T + Fsz (l ) M = 05(a)几何方面（见图 a 和 b ）由于刚体 B 只能绕结构水平中轴线相对于刚体 A 作刚性转动，故有变形协调条件y = 0(b)物理方面 = ( l )z10(c) = Tl =GI p3Tl(0.4E )(2I )2= 1.25TlEI(d) = Fsz lz3EIM l yM ly2EIFsz l(e)y = EI22EI(f)将式(d)(f)代入式(b)和(c)，得补充方程2M y = Fsz l(g)及8Fsz l 12M y= 3T(h)联解方程(g)、(h)和(a)，得F15MT10 MM15 Msz =，=，y =23l23462画内力图上杆的内力图示如图 8-19(c)(e)。下杆的T 图与上杆一样，而 Fsz 图及 M y 图与上杆仅差符号，最大内力值（绝对值）与上 杆相同，故可省画其内力图。3建立强度条件由于 l = 20d ，属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三 强度理论，杆的强度条件为2 2 M( 15 )2 + (10 )2 r3 =M y + TW= 46 23 d 332= 5.54 Md 3 8-22图示油管，内径 D =11mm，壁厚ä = 0.5mm，内压 p = 7.5MPa，许用应力 ó =100MPa。试校核油管的强度。题 8-22 图解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为1 = t =pD ，622= x= 0，3= r 0按照第三强度理论，有= = pD = 7.5 ×10× 0.011 N = 8.25 ×107 Pa = 82.5MPa < r31322 × 0.0005 m2计算结果表明，该油管满足强度要求。8-23图示圆柱形容器，受外压 p = 15MPa 作用。试按第四强度理论确定其壁厚。 材料的许用应力 ó = 160MPa。题 8-23 图解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度应满足由此可得r4 =3 pD 4 3 pD =3 ×15 ×106× 0.080 m = 3.25 ×103 m = 3.25 m