讲授内容主线.ppt
1,班级： 时间： 年 月 日；星期,行列式两种形式,转置法则,按行等价按列,按行交换,按行数乘,按行加法,按行数乘加法,分类应用,代数余子式,第二讲 行列式的运算,2,性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零,说明：提出某一行的比例系数，则两行相等，再用性质2推导即可,性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如,则 D 等于下列两个行列式之和：,一、行列式性质（续）,第二讲 行列式的运算,3,性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后,加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变,以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上，记作 .,以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作 .,如D=,用性质5将D拆成2个，前一个就是D，第二个两列成比例，值为0,第二讲 行列式的运算,4,例1. 计算,解,性质结论：任何n阶行列式总能利用性质将其化为上（下） 三角行列式.,（注：12页例8）,思路：化成三角行列式；规律：每列元素和相等,一般情况下，计算行列式沿着2大步骤思考：第一是发现题目的规律，第二是确定基本思路,2.例题选讲：,第二讲 行列式的运算,5,例2（1997.4）设n阶行列式,分析：行（列）和相等行列式，方法均加到第一列（行），提取公因式，把第1列（行）变成1。把第2、3、n列各行均加到第一行，提取公因数n1后，再把第一行的1倍加到第2、3n各行，则有：,第二讲 行列式的运算,6,例3：计算4阶行列式：,分析：对于爪型行列式，方法：将3爪的一个边爪变成0，将其转化为上（下）三角行列式,第二讲 行列式的运算,7,例4. 计算,解,（12页例9）,行（列）递增行列式，方法：逐行（列）减，多项行（列）减少项行（列）,第二讲 行列式的运算,8,第二讲 行列式的运算,9,例5. 分块行列式的计算,0,证明:设,则,（14页例10）,分析：按照性质，任意行列式均可由性质恒等变成三角行列式,第二讲 行列式的运算,10,证,对 作运算,把 化为下三角形行列式：,0,对 作运算,把 化为下三角形行列式：,0,对 的前 k 行作运算,对后 n 列作运算,把 化,为下三角行列式,相当于对D1作运算，不影响D2、C和0块,相当于对D2作运算，不影响D1、0块,第二讲 行列式的运算,11,0,它的重要性在于它提供了 分块运算的依据,第二讲 行列式的运算,12,0,0,结论：,第二讲 行列式的运算,13,例6：计算4阶行列式：,分析：本题解法较多，较简单的办法是用两列对换，两行对换，把0元素调到行列式一角，用分块行列式计算办法即可。,应选D,第二讲 行列式的运算,14,例7： 习题5.(3),第3列乘1加到第4列，第2列乘1加到第3列，出现2列元素相同,行（列）递增行列式，方法：逐行（列）减，多项行（列）减少项行（列）第3列乘“-1”加到第4列；第2列乘“-1”加到第3列,第二讲 行列式的运算,15,例8：7（2）习题,分析：每一行（列）元素和相同，可以按照行（列）相加计算,第二讲 行列式的运算,16,i=2,3n,第二讲 行列式的运算,17,二. 行列式按行（列）展开（代数余子式及其性质）,1.余子式与代数余子式,在 n 阶行列式中，把元素 所在的第,留下的 n-1阶行列式叫做元素 的余子式，,记作 ；,而代数余子式由右式决定,叫做元素 的代数余子式.,如,i 行和第j列划去后，,第二讲 行列式的运算,18,证,先证 位于第1行第1列的情形。,这是分块行列式中当 k =1的特殊情况，,由分块的结论，有,又,从而,运用了分块行列式运算的结论,右下块正好是,2.代数余子式的性质,第二讲 行列式的运算,19,再证一般情况，此时,先将 调换到第一行，,调换次数为 i-1,再将 调换到第一列，,调换次数为 j-1次，,调换就是它依次向上对换，每一次对换变一次“”号,上有i-1行,第二讲 行列式的运算,20,得到行列式,元素 在 中的余子式，,也是 在 中的余子式,由前面的结果知，,所以,即经 i+j-2 次调换,把 调换到第1行第1列，,性质2：行列式按行（列）展开法则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的,代数余子式式乘积之和，即,性质1告诉我们求解行列式的一种通用方法：将行列式的某一行的n-1个元素利用性质变为0，然后用这个不为0的元素乘上它的代数余子式即可,第二讲 行列式的运算,21,或,证 ：第i行加0，利用性质5展开,第二讲 行列式的运算,22,只保留一个不为零的元素，,由此，可将 n 阶行列式的某行（列）元素通过变换化为,只计算,一个n-1阶行列式的值即可.,定理的作用：降阶,第二讲 行列式的运算,23,例1 证明：,分析：上三角逐行递减行列式：方法：自下而上逐行减。 思路是把第1列的“1”变成0。因此，对行进行运算，从第2行开始，第2行乘“-1”加到第1行，第3行乘“-1”加到第2行第n行乘“-1”加到第n-1行。然后应用按照行列展开性质按照第1列展开即可,第二讲 行列式的运算,24,证： 原式,降阶后，依然用第2行乘以“-1”加到第1行，用第3行乘“-1”加到第2行,第二讲 行列式的运算,25,例2 计算 n 阶行列式,解：,爪形行列式,分析：每一列除对角线元素外，其余元素相同。因此，为把第1列的a1都变成0。为此，第一步：第1行乘“-1”加到其行，则其他行的第一个元素均变成了“-x”，这样，行列式就变成了爪型行列式。按照爪型行列式的计算方式，从第二列开始，每一列加到第一列，第一列的“x”均变成了0,第二讲 行列式的运算,26,例3：计算含参数行列式,分析：含参数行列式一般要寻找公因式，本题1、2行之和相等或为0，故第2行加到第一行，第一行有公因子,第二讲 行列式的运算,27,第二讲 行列式的运算,28,第二讲 行列式的运算,例4：计算下列行列式,分析：按照第一列展开,29,第二讲 行列式的运算,
