第05章随机优势.ppt

山西大学经济与管理学院 范建平,决策理论与方法,第5章 随机优势,山西大学经济与管理学院 范建平,前几章的分析方法是由Ramsay和von Neumann等提出的，其基本思想是，在适合一定的公里体系的条件下，一随机事件的效用能用它的期望效用去表示。 1962年后又发展了另外一种在风险情况下制定决策的方法，称为随机优势法（或随机占优）。应用于有价证券等财经问题，其目的是筛掉那些不占优势的方案。,5.1 随机优势概述,山西大学经济与管理学院 范建平,优势原则（随机优势原则） 优势概念应用的主要领域是财政和经济。有价证券问题的研究最有名的是1959年Markowitz提供的方法。 优势原则对于理解和解决有价证券问题起了重要的作用。此外，虽然有价证券问题有其特殊的结构，但这种类型的决策问题仍然散布在财政、金融、保险、经济和其他有关领域中。,5.1 随机优势概述,山西大学经济与管理学院 范建平,有关优势的概念： “按状态优于” “E-V排序” Markowitz-模型,5.1 随机优势概述,山西大学经济与管理学院 范建平,1.按状态优于：,定义： 且至少对某一个，严格的不等式 成立， 则称 按状态优于 . 例：损失矩阵,按状态优于是一种很强的随机优势，通常很难满足。,山西大学经济与管理学院 范建平,2E-V排序,E-V准则的定义： 设随机事件的收益R的两种概率分布F和G ，F的均值不小于G ，F 的方差V（或均方差）不大于G，即：,且至少有一严格不等式成立，则称F按E-V准则较G有优势。,注：这一原则虽然合理，但条件太强，很难满足。,山西大学经济与管理学院 范建平,3Markowitz模型,由于E-V准则条件太强，很难满足，应用范围很窄。而Markowitz在1952提出的有价证券选择(portfolio selection)模型则大大扩展了E-V准则的应用范围。,山西大学经济与管理学院 范建平,Markowitz于1952年提出了资产选择的均值方差模型，它以资产回报的均值和方差作为选择的对象而不去考虑个体的效用函数。 一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体选择时所需要的信息。但是，在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产的均值和方差的函数，从而投资者可以只把资产回报的均值和方差作为选择的目标。尽管均值方差模型不能用来完全刻画个体的偏好，但由于它的灵活性以及经验上的可检验性，均值方差模型分析得到了广泛的应用。,3Markowitz模型,山西大学经济与管理学院 范建平,则（x1,x2,xn）称为有价证券混合(portfolio mixes)。 显然，总收益为：,设决策人用于投资的资产总量为1，准备投资于n种股票（或产业、项目、基金、国债等等）。 记xi为投资于i种股票的资产份额，Ri为在投资期内投资于i种股票的收益率，若：,山西大学经济与管理学院 范建平,上述模型的含义是：对给定的风险水平V，应该选择有价证券混合，使之有最大的期望收益。,由于Ri是随机变量，故Y也是随机变量。设Y的概率分布为F(y)，概率密度函数为f(y)，V为投资的风险水平，则有价证券的Markowitz模型为：,山西大学经济与管理学院 范建平,Markowitz-模型的解称为给定的风险水平V时的有效E-V有价证券。所有有效E-V有价证券的集合称为E-V有效前沿。 设某个投资决策问题如下图所示，图中Fs是可行域，其中左上方的弧线MN就是E-V有效前沿。,山西大学经济与管理学院 范建平,5.2.1 为什么要研究随机优势,此前，我们说明了对于风险决策问题，最优的决策原则是使期望效用最大化的决策原则。 对于自然状态集为S，可行方案集为A，后果集为C的决策问题，如果用抽奖L来表示每个方案的各种可能后果及其发生的概率，采用期望效用最大化原则的基本过程为：,5.2 随机优势决策规则,山西大学经济与管理学院 范建平,（1）为了衡量各方案的优劣，需要得到决策人的价值判断； （2）当决策人的价值判断足够明确且满足理性行为公理，则可得到在正线性变换下唯一的实值效用函数u(C); （3）根据各抽奖后果cij的效用u(cij)和状态发生的概率(j) ，计算抽奖的期望效用，并以此判断方案的优劣次序。由此得出的优劣次序是一个完全序。 因此，采用使期望效用最大化的决策规则的前提是：决策人能够作出足够明确而且满足理性行为公理的价值判断。,5.2.1 为什么要研究随机优势,山西大学经济与管理学院 范建平,5.2.1 为什么要研究随机优势,显然采用期望效用所得到的是各方案的完全序，其中一定存在某个方案，其期望效用值大于（或等于）其他所有方案。 采用期望效用准则求解投资决策问题的前提是具有决策人偏好的完全信息，即关于后果的效用函数。 但是在实际的决策过程中，由于决策人的认识偏差及量化误差，确定惟一的、足够准确的效用函数存在较大困难。 也就是说，决策分析人员经常得不到决策人偏好的完全信息，只能获得关于偏好的部分信息；而由部分信息，只能将各可行方案排成偏序。,山西大学经济与管理学院 范建平,随机优势决策规则的基本思路为： （1）设定一些特定的效用函数类； （2）满足这些特定类的效用函数，必有ai aj； （3）删除一些非优势的方案aj，以缩小有效行动集； （4）在缩小了的有效行动集中作进一步的选择。,而随机优势决策规则就是利用所获得的部分信息形成偏序的一种决策规则。,5.2.1 为什么要研究随机优势,山西大学经济与管理学院 范建平,5.2.2 随机优势决策规则的有关概念和定义,使用随机优势首先需要根据一定的条件去标定一类函数。 由于随机优势理论是在研究有价证券的基础上发展起来的，因此，所讨论的一般是财富问题。 即：效用函数u(x)的自变量x是一个关于财富的随机变量。,为了讨论问题的方便，假设x的值在一闭区间a,b中取值，用I表示该闭区间。也就是说：有一最小区间I，被研究的随机变量总是以概率1在I中取值。因此，在下面的讨论中，x的效用函数u(x)也是被定义于I中，而且在I中是有界的。,山西大学经济与管理学院 范建平,5.2.2 随机优势决策规则的有关概念和定义,对于所有的x I，对财富的效用函数一般的约束是：u(x)对x是非递减且有界的。这就意味着财富增加时，它的效用总不会减少的。 记效用函数的定义域I为a, b，而且将(a, b)记作 I0 ，则第一类效用函数可定义如下。 定义5.1 第一类效用函数U1(非减有界),山西大学经济与管理学院 范建平,定义5.2 第一类效用函数U1上的优势,如果：,，且,，则称在第一类效用函数U1上,使,方案ai比aj有优势。,其中,分别是方案 ai和aj的随机性,收益x的期望效用。 把所有备选方案的集合称为可行集，记作,，这些方案可以分成两类：,一类是有效方案，有效方案的集合称为有效集，记作：,和,一类是无效方案，无效方案的集合称为无效集，记作：,山西大学经济与管理学院 范建平,定义5.3 第一类效用函数U1上的有效集ES,若在第一类效用函数U1上没有其他方案比ai有优势，则方案ai属于第一类效用函数U1上的有效方案；所有有效方案的集合称为有效集记作ES。,5.2.2 随机优势决策规则的有关概念和定义,山西大学经济与管理学院 范建平,定义5.4 第一类效用函数U1上无效集IS 若有效集中至少有一个方案在第一类效用函数U1上比aj有优势，则aj属于第一类效用函数U1上的无效方案；所有无效方案的集合称为无效集记作IS。,5.2.2 随机优势决策规则的有关概念和定义,山西大学经济与管理学院 范建平,例如，设：,，,，,。在有效集中，a1与a2之间互,相没有优势，即,使,；,使,。,也可以,因此，a1与 a2都不是“最优的”方案，有些决策人偏爱a1，有些决策人偏爱a2，a1与a2之间互相没有优势。,山西大学经济与管理学院 范建平,也可能在第一类效用函数U1上有a1比a3，a4有优势，a2比a5有优势；总之，要在有效集中有一个（或一个以上）方案比无效集中的方案有优势。,，,，,，,。,而在无效集中，有可能存在如下关系：,根据有效集和无效集的定义可得：有效集和无效集是互补且互斥的，即满足：,和,山西大学经济与管理学院 范建平,2. 递增的凸效用函数(第二类效用函数) 第一类效用函数可以表达“财富增多时，其效用不会减少”的概念，但不能表达出决策人的风险态度，该类函数包括了风险厌恶、风险追求和风险中立三种态度。为了区别决策人的风险态度，有必要定义另一类范围更窄一些的效用函数。 由第三章中我们知道风险厌恶的效用函数是严格凸的函数，因此可得第二类效用函数的定义。,山西大学经济与管理学院 范建平,定义5.5 第二类效用函数(风险厌恶型效用函数) 设uU1 是一类严格凸的函数，且在I上有连续和有界的二阶导数u，则该类函数记做U2 ， 满足：,山西大学经济与管理学院 范建平,该定义也可表示为： 对于uU1， 假设其在定义域上有非负的一阶导数(u0)，二阶导数非正(u0)，而且至少有一个点处u0，也至少有一个点处u0 。 用U2表示该类函数(第二类效用函数)，则U2满足：,山西大学经济与管理学院 范建平,3. 正三阶导数的效用函数,定义5.6 第三类效用函数U3 (正三阶导数) 设uU2 是一类严格凸的函数，且在I上有连续和有界的三阶导数u，则该类函数记做U3 ，满足：,山西大学经济与管理学院 范建平,在第三章中我们曾用r(x)表示决策人风险态度的局部测度： r(x)= - u(x)/u(x) 而且当u(x) 0时，有： r(x)0 风险厌恶； r(x)=0 风险中立； r(x)0 风险追求。,由于u”(x)0 不易判别, 我们讨论它的子类：易于判别的递减的风险厌恶效用函数Ud。,山西大学经济与管理学院 范建平,所以可以得出对于风险厌恶的态度有： r(x)0，且u(x) 0，所以必有u(x)0。 对于多数决策人来讲，虽然对财富持风险厌恶态度，但对小额盈亏的风险态度是随财富的积累而变化的。通常是财富积累愈多，对小额盈亏的风险厌恶程度愈小。 因此，可以假设r(x)是随x的增加而递减的函数。,山西大学经济与管理学院 范建平,定义5.7 效用函数Ud 的定义 设Ud是效用函数U2的一个子类，其相应的r(x)是x的非递增函数，且r在I上是有界和连续可微的，则： Ud = u|uU2, r在I上连续、有界和非正 且UdU3。 所以如果能判断决策人的效用函数属于Ud，则一定属于U3。,山西大学经济与管理学院 范建平,§5.3 随机优势的基本定义和定理,1.定义（定义5.8 随机优势定义）,设,和,分别是方案ai和aj关于随机性,收益x的期望效用，则ai对aj的 第一等(First-degree stochastic dominance，简记FSD)、 第二等(Second-degree stochastic dominance，简记SSD) 第三等(Third-degree stochastic dominance，简记TSD)随机优势定义为：,其中：k=1,2,3。k记为第k等随机优势。,山西大学经济与管理学院 范建平,2. 各等随机优势的性质,非对称性。,(2)传递性。,山西大学经济与管理学院 范建平,3.定理,的概率分布分别为：,分别为,山西大学经济与管理学院 范建平,其中X的取值范围为a,b,记为I，I0=(a,b)。,山西大学经济与管理学院 范建平,定理5.1 (第一等随机优势(FSD)判据),则称方案,具有第一等随机优势，记为,山西大学经济与管理学院 范建平,定理5.2 (第二等随机优势(SSD)判据),则称方案,具有第二等随机优势，记为,山西大学经济与管理学院 范建平,定理5.3 (第三等随机优势(TSD)判据),且至少有一个严,格不等式成立，则称方案,等随机优势，记为,具有第三,。,山西大学经济与管理学院 范建平,4.证明 第一、二等随机优势定理的证明类似，其基本思路就是证明第一、二等随机优势的定义和定理互为充要条件。 第三等随机优势的证明不要求。,山西大学经济与管理学院 范建平,§5.4 示例,1.第一等随机优势 例5.1 已知两个方案的投资问题的后果如表5.2所示；决策人的效用函数属于U1。 表5.2,山西大学经济与管理学院 范建平,(1)采用E-V排序 由E-V排序求解得：,所以采用E-V排序无法判定方案优劣。,山西大学经济与管理学院 范建平,(2)采用第一等随机优势排序,由表5.2可作,的概率分布函数曲线,如下图所示。,山西大学经济与管理学院 范建平,从图中可见，除重合部分以外，,的下方，,所以,具有第一等随机优势，即,。,山西大学经济与管理学院 范建平,2.第二等随机优势,及相应的概率见表5.4；决策人的效用函数为风险厌恶型。试用随机优势规则求解。 表5.4,例5.3 设投资决策问题有两个方案,。收益,山西大学经济与管理学院 范建平,(1)采用E-V排序,由E-V排序求解得：,无法判定方案优劣。,(2)采用第一等随机优势排序,由表5.4可作,的概率分布函数曲线如下a图,所示。由图中可见，由于F1和F2互有交叉，第一 等随机优势不能判断a1和a2的优劣。,山西大学经济与管理学院 范建平,(3)采用第二等随机优势排序,根据,，可以得到下面的b图。,从图中可知，,恒非负且有大于0处，所以,具有第二等随机优势，即,。,山西大学经济与管理学院 范建平,山西大学经济与管理学院 范建平,3.第三等随机优势,例5.8 设投资决策问题有两个方案,。收益,及相应的概率见表5.6；决策人的效用函数,。试用随机优势规则求解。 表5.6,山西大学经济与管理学院 范建平,求解： (1) 分别计算a1和a2的收益E、V和3如表5.6中所示； (2) 根据表5.6中的概率分布得下列图中得a图，由图可知，由第一等随机优势不能判断a1和a2的优劣关系； (3) 求D2得下列图中得b图，由图可知，D2有小于0的部分存在，不能保证非负的条件，所以由第二等随机优势依然不能判断a1和a2的优劣关系； (4) 求D3的下图中的c图，由图可知，D3非负且有大于0处，以及满足 的条件，所以 具有第三等随机优势，即 。,山西大学经济与管理学院 范建平,山西大学经济与管理学院 范建平,说明： 1.由于U3类效用函数中的u0不易判别，通常使用其子类Ud来进行判别。Ud是递减的厌恶风险效用函数，如果决策人的效用函数属于Ud，则一定属于U3； 2.一个投资方案比另一个具有第三等随机优势，可能是它的期望值较高、方差较低或者正偏斜较大； 3.随机优势方法具有一定的局限性，很多问题没法用随机优势表示出来。,