宁波中考数学第一轮复习第十四讲：解直角三角形.doc

德高为师 德学教育 学高为范第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点1. 直角三角形中边与角的关系重点：熟练掌握直角三角形中边与角的关系难点：运用直角三角形中边与角的关系中，C=90°（1）边的关系：（2）角的关系：（3）边与角的关系： sinAcosB， cosAsinB，tanA， tanB。BCA例1如图，在中，则下列结论正确的是（ ）ABC D解题思路：运用直角三角形的边角关系，选D例2在A ABC中，已知C=90°，sinB=，则cosA的值是 ( ) A B C D解题思路：运用直角三角形的边角关系，例1选D，例2选C练习来源:学科网1在RtABC中，C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )A、 B、 C、 D、2.在RtABC中,C=900,则下列等式中不正确的是( )（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c= .答案：1. B 2.D知识点2.特殊角的三角函数值重点：熟记特殊角的三角函数值难点：熟练计算三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：sincostancot30°来源:学科网45°160°例：计算：1.解题思路： ，原式练习1. 计算；2.计算：答案1.4 2.3知识点3. 直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形难点：理解题意，灵活运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）和一个未来源:学*科*网Z*X*X*K知元素共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：一边一角来源:学科网ZXXK已知条件来源:Z,xx,k.Com来源:Zxxk.Com来源:学科网来源:学科网ZXXK解法来源:Z*xx*k.Com来源:Z+xx+k.Com来源:Z|xx|k.Com已知斜边和一个锐角A 已知一条直角边和一个锐角A 两边已知斜边和一条直角边 利用求A 已知两条直角边 利用，求A 例1如图，已知AC=1，求BD。解题思路：将未知线段设为，通过列方程来解直角三角形是常用的有效方法。设BD=x，根据图形有AC=CD=1BD+CD=AC         例2如图，已知中，B=45°，C=30°，BC=3+，求AB的长。解题思路：解直角三角形中，需将已知角置于直角三角形中，故“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法，简单说就是“作高”。解：作ADBC于D         AD=BD     设BD=AD=  在中，    即                练习1.在中，C=90°，AB=30°，试求的值。 2. 如图，在中，D为AC上一点，DC=8，求AB的长。答案1. 解： A+B=90°，AB=30°   A=60°，B=30°又                    2. 解： 在DBC中，C=90°，BDC=45°   BC=DC=8在RtABC中，    知识点4. 解直角三角形与实际问题重点：掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角难点：灵活运用解直角三角形1.仰角和俯角：这两种角均为水平线与观测线所夹的角，当观测线在水平线上方时，夹角为“仰角”，当观测线在水平线下方时，夹角为“俯角”。 2.坡度和坡角：如图所示坡度坡角为坡面与水平面的夹角  3. 方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。   例1 如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）解题思路：运用仰角的概念和解直角三角形的知识解： BFC=30°，BEC=60°，BCF=90°   EBF=EBC=30° BEEF=20   在中，答：宣传条幅BC的长是17.3米。 例2一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：）解题思路：运用方向角的概念和解直角三角形的知识解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到与，设海里。在中，    在中，海里， ，即解得，答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近。 例3 如图，水池的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD的坡度，坝底宽DC=2.5m，坝高CF=4.5m。求：（1）坝底AB的长；（2）迎水坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度。解题思路：运用坡度和坡角的概念和解直角三角形的知识解：作DEAB于E（1） CFAB于F        坡度         （2）由（1） CF=4.5，B=30°   （3）      迎水坡BC的坡度为练习：1如图，在ABC中，A=900，D是AB上一点，ACD=370，BCD=26030/，AC=60，求AD，CD及AB的长。（以下数据供选用，）2某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西300，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里。求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）答案：145、75、120； 230+10。最新考题中考要求及命题趋势 1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2010年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题应试对策 1要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题考查目标一、直角三角形的边角关系例1（2009泸州）如图，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，图这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，则CA1= ， 解题思路：由题意,则CA1= ，例2在ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（ ） A B C D2解题思路：直角三角形的边角关系，选A考查目标二、特殊角的三角函数的有关计算例1（2009荆门）=_解题思路：熟记特殊角的三角函数值解：例2（2009黄石）计算：31+(21)0tan30°tan45°解：31+(21)0tan30°tan45°考查目标三、三角函数的实际应用例1（2009 中山）. 如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：）解题思路：过点P作PQAB于Q，则有APQ=0°，BPQ=45° 设PQ=x，则PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x). 在RtAPQ 中， tanAPQ=tan30º =,即. 又>50，计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。例2（2009 南京）如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m,某人在点A出测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB.（参考数据：sin20°0.342，cos20°0.940，tan20°0.364，sin23°0.391，cos23°0.921，tan23°0.424）解题思路：在RtABC中，CAB=20°， BC=AB·tanCAB= AB·tan20° 在RtABD中，DAB=23° BD=AB·tanDAB= AB·tan23° CD=BD-BC=AB·tan23°- AB·tan20°=AB(tan23°- tan20°). AB=500（m）答：此人距CD的水平距离AB约为500m过关测试一. 选择题：1.某天同时同地，小红同学测得1m的测竿在地面上影长为0.8m，小兰同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m，则国旗旗杆的长为( ).(A) 10m (B) 12m (C) 13m (D) 15m2把一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来（ ）(A) 1/2倍 （B） 1倍 (C) 2倍 (D) 4倍3. 在ABC中，若，则这个三角形一定是（    ）  （A）锐角三角形     （B） 直角三角形  （C） 钝角三角形     （D）等腰三角形4. 在ABC中，C=90°，则sinB的值是（    ）（A）    （B）        （C）        （D）  5. 如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=23，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（    ）     （A） 7米 （B）9米  （C）12米   （D） 15米6 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（    ）    A.     B.       C.   D. 1 7.已知A为锐角，且cosA，那么（ ）（A） 0°A60°（B）60°A 90°（C）0°A30°（D）30°A90°8.已知角是锐角，且tg=1，则角等于（ ） （A） 300 （B）450 （C） 600 （D）7509.等腰三角形底角为300，底边长为，则腰长是（ ） （A） 4 （B） （C） 2 （D）10.在RtPMN中，P=Rt，sinM=（ ）（A）（B） （C） （D）11.若太阳光线与地面成370角，一棵树的影长为10米，则树高h的范围是（ ）（） （A） （B） （C）（D）12.已知：如图，在ABC中，AB=AC，C=300，ABAD， AD=2cm。则BC的长等于（ ） （A）8cm （B） 6cm （C）4cm （D）2cm 二. 填空题：1在RtABC中,AB是斜边,AB=,BC=,则cos A=_ _.2. 小明放一线长125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39º角，他的风筝高为 。  3 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为_cm，底角的余弦值为_。4酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_元。5利用计算器求值（保留四位有效数字）： （1）=_ _；（2）_ _. (3) = (4)= 6如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度AC=20m，A=260，D为底边AC的中点，则中柱BD= m，（精确到0.01 m）（下列数据供选用：，）。三. 解答题1. 计算3tan230º+cot245º-2tan45º+2cos60º 2如图,一梯子AB长25m,顶端A斜靠在墙AC上,梯子底端离墙7m,则梯子的顶端离地面多少米？如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动8m,则梯子的底端下滑多少米？ 3如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米（l）试求旗杆AB的高度（精确到0.l米）；（2）请你设计出一种更简便的估测方法4如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约是多少米？（精确到0.01米）5一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°，tan21.3°， sin63.5°，tan63.5°2） 6某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西300，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里。求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）参考答案一. 选择题：  1. B  2. C  3. A 4. D 5. D6.A 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.B二. 填空题：1 2.125sin39° 3. 4. 504，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。5.0.2554, 0.9759 , 1.471, 1.255 6.488三. 解答题：11224，53. 解：(1) AB=AE+BE=CEtan300+BE(米)答：旗杆AB的高度约为10.0米。(2) 用45°角的直角三角板估测，则 AB=AE+BE=AEtan450+BE=DB+BE481.96 5.解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到RtACD与RtBCDBCDA设BDx海里，在RtBCD中，tanCBD，CDx ·tan63.5°在RtACD中，ADABBD(60x)海里，tanA，CD( 60x ) ·tan21.3° x·tan63.5°(60x)·tan21.3°，即 解得，x15答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近6. 30+1016鞠躬尽瘁投身教育事业 呕心沥血撑起孩子蓝天