第一节预备知识教学课件.ppt

第一节 预备知识,1、乘法原理,一、乘法原理 排列及组合,2、排列,则由乘法原理得,特别，当n = m时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为,例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数?,解,从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因,此,所有可能组成五位数共有,例2 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个, 问能组成多少个四位偶数?,解,组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或,种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为,4,可先选末位数,共 种,前三位数的选取方法有,3、组合,特别，当n= m时， 而且,所以从n个元素中取m个元素组成的组合数为,例 3 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？,解: 按组合的定义，组队方法共有,（种）。,二、集合及其运算,集合：具有某类共同性质的事物的全体。关于集合之间的关系，常见的有以下几种：,1、子集：若A、B为两个集合，且B中所有元素都是A中的元素，则称B为A的子集。,2、并集：由属于A或B的所有元素组成的集合,记为:,记为：,称为A与B的并集。,3、交集：由同时属于A和B的所有元素组成的集合称为A与B的交集。,记为：,4.差集：由属于A但不属于B的所有元素组成的集合称为A与B的差集。,记为：,关于集合之间的运算规律，这里只介绍对偶律。,5、余集（补集）：若U是包含所有元素的集合， ,称U为全集。（U-A）为集合A在全集U中的余集或补集。,第二节 随机事件及其运算,一、随机试验与事件,人们在生产实践和科学实验中，发现对自然界和社会上所观察到的现象大体分为两类：,一类是事前可以预料的，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称之为必然现象或决定性的现象；,另一类是事前不可预料的，即在相同条件下重复进行观察或试,验时，有时出现有时不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。,随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。,概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始探索和研究。,对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E表示。,例如：,掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数,上面这些例子，尽管内容各异，但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。,随机试验：,如果试验可以在相同条件下重复进行；试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。,在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现。这就是,随机事件。,在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。,一般用字母A，B，C等表示。,事件分为基本事件和复合事件。,例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。Ai =掷出i点 i=1,2,3,4,5,6，它们都是基本事件。,复合事件：两个或一些基本事件并在一起，,就构成一个复合事件。,例如 ，B=掷出奇数点,就是复合事件。,两个特殊的事件：,必然事件就是在试验中必定发生的事件， 常用S或表示;,例如， “掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件。,不可能事件就是在一次试验中不可能发生的事件，常用表示 。,现在，让我们再看一个从死亡线上生还的故事。,本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生。,.e,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 。,二 、样本空间,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或. 全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S或表示。,样本点e,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,三 、事件的关系与运算,为了研究事件的需要，下面介绍事件间 的几种主要关系以及事件的运算。,1、若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A为事件B的子事件。,为了方便起见，规定对任一事件 ，,记为：,2、 若事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和事件，,记为：,3、事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的积事件，,记为：,5、事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互斥事件或互不相容事件。,4、事件A发生而事件B不发生，这事件称为事件A与事件B的差事件。,记为：,实际上事件之间的运算关系与集合之间的运算关系是相同的，从集合的运算法则可以得到事件的运算法则：,2、分配律,3、结合律,4、对偶律,1、交换律,例1 设A，B，C是三个事件，则,1 、“A发生而B，C都不发生”可表示为：,2、 “A与B发生而C不发生”可表示为：,AB-C 或AB 或AB-ABC。,（1）只有第一枪击中；,（2）至少有一枪击中；,（4）三枪都未击中；,（3）至少有两枪击中；,解,（4）三枪都未击中可表示为：,（3）至少有两枪击中可表示为：,第三节 概率的定义与运算,对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。,一、概率的直观定义,次实验中发生的可能性是一样的.,1 、古典概型,古典概率是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征:,（1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为,样本空间为,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法。,这样就把求概率问题转化为计数。,例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？,解 设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义，,所求概率为 P(A)= =0.9,排列组合是计算古典概率的重要工具 。,例 2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？,解 用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：100×99种，而第一次抽正品的方法有95种，第二次取次品的方法有5种，则A中包含的抽取方法,例 3 在例2中，若仍是不放回抽取两件产品，要求计算“抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。,共95×5种，所求概率为：,解 设A表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品”，显然A与B是互斥事件， （A+B）,表示事件“一次取得正品，一次取得次品”，从而所求概率为：,例4 从0，1，2，3，4，5，这六个数中任取三个数进行排列，问取得三个数字排成的三位数且是偶数的概率有多大？,解,用A表示“组成三位数且是偶数”，则总的排列方法共有 种，,而排成的三位中,则所求的概率为,种，即事件A中包含 种，,末位为0的有 种，末位不为0的共有,2、 几何概率,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形 成了确定概率的另一方法几何方法。,几何方法的要点是：,（1）设样本空间 是平面上某个区域，它的面积记为 ;,（2）向区域 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。,（3）设事件A是 的某个区域，它的面积为(A),则向区域 上随机投掷一点，该点落,（*）,（4）假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可。,例1 甲、乙两个相约在0到T这段时间内,在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间 t离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？,解,以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能,到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是：,则所求的概率为：,3、概率的统计定义,在一般情况下，是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小呢 ？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。,设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值 为这n次试验中事件A发生的频率，即,在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。,考虑在相同条件下进行的S 轮试验,事件A在各轮试验中频率形成一个数列,我们来说明频率稳定性的含义。,稳定在概率 p 附近,这种稳定性为用统计方法求概率的数值 开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为:,统计概率。,这种确定概率的方法称为频率方法。,请回答:,福尔莫斯破密码,请看,福尔莫斯为什么能破译出那份密码?,对案情的深入了解和分析;,运用字母出现的规律.,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础。数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。,二、概率的公理化定义与运算,概率的公理化定义：,设E 是随机试验， 是它的样本空间，对,该性质有公理3可以证明。,关于概率的性质，常见的有以下四条：,性质2 对任一事件A ，有,性质2 在概率的计算上很有用，如果正面计算,事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A)。,证明:,则有,例2 设事件A，B的概率分别为1/3，1/2， 求下列情况下 的值。,证明,又因 再由性质3便得(8)。,（1）A、B互斥；,（2）,（3）,(2) 若,(3) 若,例3 已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚，85%用户至少报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几？,则所求概率为,即同时订两种报的用户占30%,第四节 条件概率 全概率公式,、条件概率 乘法公式 事件的相互独立性,1、条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。,若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是有(1)式。,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到：,例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上”。,则,由已知,从而所求的概率为,由条件概率的定义：,即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),2、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,例2 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。,解：设 表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则,3、 事件的相互独立性,对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的，即,相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从而,此时称A与B是相互独立的。,我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。,对三个事件A，B，C，如果成立：,定理 若事件A与B是相互独立的，则,例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上着红色，故,同理可知,对以上三事件A、B、C，成立:,对于多个随机事件，若 是相互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的概率为,但,所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的。,例4 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。,解 以 表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为,从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。,它们下方的数是它们各自正常工作的概率。 求电路正常工作的概率。,例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.,解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,代入得,二 、全概率公式 贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,1、全概率公式:,在一些教材中，常将全概率公式叙述为：,设 为随机试验的样本空间，,是两两互斥的事件，且,全概率公式:,例6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。,则对任一事件B，有,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,由全概率公式,为求P(Ai ), 设 Hi=飞机被第i人击中i=1,2,3,可求得:,依题意，,将数据代入计算得:,于是,即飞机被击落的概率为0.458。,例7 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：,则由已知，,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”。,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。,例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。,（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；,（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、,发生可能性大小的认识。,乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？,由已知,（1）由全概率公式得：,由贝叶斯公式得,由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。,例9 假定具有症状 中一个或数个的疾病为其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=发热 现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字：,试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？,解 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”, 表示事件“患者患有疾病 ”（i=1，2，3），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知,从而,由贝叶斯公式可得,从而推测病人患有疾病 较为合理。,第五节 独立试验概型 二项概率公式,在随机试验中,经常会碰见这样一类试验,在相同的情况下重复进行n次同样的试验,每次的可能结果为有限个,且各次试验的结果互不影响,此n次试验显然是相互独立的。这种概率模型称做n重独立试验概型。,特别,当每次试验只有两种可能结果A,定理 在贝努里概型中，P(A)=p (0p1),则事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为：,和 ,且P(A)=p,P( )=1-p(0p1),称为n重贝努里概型,也可以称为n重贝努里试验。,例1 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率？,解 设 表示“5件样品中恰好有i件次品”,利用二项概率公式可得,B表示“5件样品中至多有3件次品”,例2 自某工厂产品中进行重复抽样检查，共取200件样品，检查结果发现其中有4件是废品，问能否相信该厂产品废品率不超过0.005？,解 假设该厂产品的废品率为0.005，容易算得200件中出现4件废品的概率为,根据人们长期实践总结出的一条原理：,概率很小的事件在一次试验中实际上几乎,是不可能发生的，现在，可以认为当废品率为,0.005时，抽检200件产品出现4件废品是一概率很小的事件，而它在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假定的正确性，即工厂产品废品率不超过0.005不可信。,