第七单元两个变数之关系.ppt

第七單元：兩個變數之關係 授課教師：國立臺灣大學數學系 陳 宏 教授 【本著作除另有註明外，採取本著作除另有註明外，採取創用創用CC姓名姓名 標示非商業性相同方式分享標示非商業性相同方式分享臺灣臺灣 3.0版版 授權釋出授權釋出 】 1 統計與生活 目錄 散布圖 相關係 數 迴歸直 線 隱藏變 數 實際應 用 2 3 體重 -身高散佈圖 (接近直線嗎 ?) 國高中的經驗 y=gt2/2或 log y =log(g/2)+2log t 變數增加了 怎麼辦 ? 前兩章學會用圖形和數字呈現資料，但都 只是描述單一個變數，如成績、平均上網 時間等 如果有兩個變數該怎麼描述呢? 如果兩個變數有關係，該怎麼表達呢? 找出關係後，能不能用來預測想知的事項 呢? 4 可呈現兩個變數之間關係的統計工 具 散布圖 (scatter plot) 相關係數 (correlation coefficient) 迴歸直線 (regression) 5 散布圖 (scatter plot) 兩個變數：讀書時間、上網時間 收集成對的資料，在以點的方式呈現兩個 變數的關係。 繪成如下頁所示的圖 6 例子：修課學生的身高和體重 7 圖形在說什麼 ? 由上頁的圖可以看出身高較高的人體重相 對較重時；而身高較矮的人，體重相對越 輕。 像這樣當某一變數的值會隨著另一個變數 的值增加而增加，或是當某一變數的值會 隨著另一個變數的值減少而減少我們就稱 兩個變數為正相關 (positive correlation) 8 圖形在說什麼 ? 相同的， 當某一變數的值會隨著另一個變 數的值增加而減少，或是當某一變數的值 會隨著另一個變數的值減少而增加時，我 們會稱之為兩個變數負相關(negative correlation)。 如下頁圖所示，當學生每週上網時間越多 ，段考平均成績就越低，像這樣我們就會 說每週上網時間和段考平均成績成負相 關。 9 例子：高三學生上網時間和段考成 績 10 變數相關的方向與強度 由散布圖我們可以知道兩變數之間的關係是正向 或是負向的。 但是若要了解這樣的關係到底有多強，可以利用 相關係數 (correlation coefficient)來判斷。 相關係數是 用來描述兩個變數之間線性關係 的強 度。 11 相關係數 先求出兩個變數 x 和y 的平均數和標準 差 計算出每一個 x 值和一個 y 的標準計分 最後將這些標準計分乘積總和除以資 料個數減一所得的商。 12 例子：學生身高和體重 有五位學生，他們的身高分別是152 、158、165、172、180公分；體重分 別是43、48、54、63、80公斤。要求 身高及體重的相關係數。 先求出身高的平均數為165.4公分， 標準差為 11.08公分。體重的平均數 為57.6公斤，標準差為 14.57公斤。 13 例子：學生身高和體重 身高的標準計分是 (152-165.4)/11.08=-1.209， 其他為 -0.668、-0.036、0.596、1.318。 體重的標準計分是 (43-57.6)/14.57=-1.002， 其他為 -0.659、-0.247、0.371、1.537。 r =(-1.209)×(-1.002)+(-0.668) ×(-0.659) +(-0.036) ×(0.247)+(0.596) ×(0.371) +(1.3177) ×(1.537)/(5-1)=0.977 14 相關係數的範圍 l 相關係數的範圍：在-1到+1之間 l 相關係數的絕對值越大： 代表兩個變數之間的相關越密切 15 正相關的性質 相關係數 大於 0：代 表兩個變 數之間是 正相關， 兩個變數 的變化是 朝相同的 方向。 16 正相關的性質 相關係數 等於 1：代 表兩個變 數之間是 完全正相 關，兩個 變數的變 化在同一 條直線 17 負相關的性質 相關係數 小於 0：代 表兩個變 數之間是 負相關， 兩個變數 的變化是 朝不同的 方向。 18 負相關的性質 相關係數 等於 -1： 代表兩個 變數之間 是完全負 相關，兩 個變數的 變化也在 同一條直 線。 19 零相關的性質 當相關係數等於 零時，稱兩個變 數之間是零相 關。也就是說， 一個變數的高低 變化，與另一個 變數的高低變化 沒有關係。 20 零相關 無相關 相關係數是指 兩個變數之間 的關係是否有 直線關係。如 右圖兩變數間 是呈現曲線關 係，但相關係 數仍為零。 21 相關係數大於零 代表兩變數之 間為正相關 若在第在第 I 及III 象限的點 數多於落在第 II 及IV 象限的 點數。 22 相關係數小於零 代表兩個變 數之間是負 相關。 此時落在第 及 象限的 點數大於落 在第 及象 限的點數。 23 迴歸直線 (regression line) 在知道兩個變數關係的強度後，還想知道他們之 間有什麼關聯，能不能由一個變數去推測另一個 變數的值呢 ? 在散亂的資料中找到一條直線，是離所有數據點 最小距離的直線，也就是“最靠近 ”所有數據點的 直線，這條直線就稱為迴歸直線。 24 例子：廣告費用與銷售量 某汽車公司想了解廣告費用(x)對銷售量 (y) 之間的關係，收集過去十年的資料。 從分佈表可以直覺的看出來，廣告費用與 銷售量之間似乎有正相關，當廣告費用增 加時，銷售量也隨之增加。 25 例子：廣告費用與銷售量分布 表 年份廣告費用 x (萬元 )銷售量 y (輛) 86400800 875001000 886001150 897201280 908301340 919501500 9210601680 9311001800 9412302000 9513002200 26 例子：廣告費用與銷售量 由散佈圖可以更清楚的表現出來兩者之間的趨 勢。 從圖形中可以知道，有從左到右往上斜的趨勢 ，也可以判斷出廣告費用與銷售量之間是正相 關。而且各點的分佈似乎接近一條直線。 27 例子：廣告費用與銷售量的散布圖 28 例子：廣告費用對銷售量 將這條直線找出來，並且要讓他到這些 點的距離為最小。 這條離這些點最小距離的直線，也就是 說最靠近這些點的直線，就稱為迴 歸直線。 但要如何求得這條線呢？ 29 求迴歸直線的一種方法-最小平方 法 由高斯提出。 使得所有數據點離迴歸直線的鉛直距離平方總和 達到最小的直線。 計算出所有數據點到迴歸直線的垂直距離，把每 一個垂直距離平方，然後移動迴歸直線，直到垂 直距離總和的值達到最小為止。 30 最小平方法求迴歸直線 31 例子：廣告費用對銷售量的迴歸直 線 上述廣告費用與銷售 量之間的例子，利用 最小平方法求得的迴 歸直線為 y=1.425x+237 。 其中x表示廣告費用（ 萬元）、 y表示銷售量 （輛)。 32 從迴歸直線可以知道 廣告費用與銷售量之間存在正相關，與從 散佈圖表現出來兩者之間的相關是一樣 的。 每增加 1 萬元的廣告費用，銷售量將會增 加1.425 輛。 如果下年度廣告費用的預算是1,400萬，我 們可以經由迴歸直線預測下年度的銷售量 大約是 1.425×1400+237=2232輛。 33 想一想 迴歸直線 y=1.425x+237 那麼是不是不花任何費用也可售出237輛 車子 34 相關係數 VS 迴歸直線 相關係數主要為描述兩個變數之間線性關係的 強度。 迴歸直線則是利用一個方程式來表示兩個變數 之間的線性關係，在此基礎上，進一步來探討 變數之間的預測方法。 兩者都可以判斷兩個變數之間是否存在著線性 關係，但是只有迴歸直線有預測的功用，這是 他們不同的地方。 35 相關係數 VS 因果關係 即使兩個變數之間有很強的正相關，也 不一定代表其中一個變數會導致另一個 變數。 也就是說無法從兩個變數之間相關係數 的大小，判斷兩個變數之間是否有因果 關係。 36 隱藏變數 (lurking variable) 兩個變數之間的關係，常常受到其他變數的影響 ，造成兩個原本零相關的變數之相關係數不等於 零，但此時兩個變數之間並沒有因果關係。而這 隱藏在背後的變數就稱之為隱藏變數。 37 隱藏變數 (lurking variable) 鄉下(農田多 )兒童英語能力較弱。 城市(農田少 )兒童英語能力較強。 結論”農田太多是造成兒童英語程度低落的主 因”。 其實”教育的重視程度及教育資源分配”才是 主因。 38 隱藏變數 (lurking variable) 研究發現吃冰淇淋的人數增加時，溺水人 數也增加。 結論”吃冰淇淋 溺水” 其實是 ”夏天”吃冰淇淋人數增加 溺水人數增加 39 實例應用：來臺人數與觀光外匯收 入 本實例探討來臺旅客人數 和觀光外匯收入之間的關係 由交通部觀光局網站收集 近16 年來的資料 40 實例應用：來臺人數與觀光外匯收 入 年份年份 (民國民國 ) 來臺人數來臺人數 x (萬人萬人 ) 觀光外匯收入觀光外匯收入 (億美元億美元 ) 年份年份 (民國民國 ) 來臺人數來臺人數 x (萬人萬人 ) 觀光外匯收入觀光外匯收入 (億美元億美元 ) 81187.332724.4989262.403737.38 82185.021429.4390283.103543.35 83212.724932.1091297.769245.84 84233.193432.8692224.811729.76 85235.822136.3693295.034240.53 86237.223234.0294337.811849.77 87229.870633.7295351.982751.36 88241.124835.7196371.606352.14 41 實例應用：來臺人數與觀光外匯收 入 從上頁的資料顯示，來臺旅客人數和 觀光外匯收入似乎有正相關的趨勢。 換句話說，觀光外匯收入的增加伴隨 著來臺旅客人數的增加。 為了確認來臺旅客人數和觀光外匯收 入之間的關係，我們使用散佈圖來表 示。 42 散布圖：來臺人數與觀光外匯收入 43 散布圖：來臺人數與觀光外匯收入 圖形有從左到右往上斜的趨勢，因此可以確 定來臺旅客人數和觀光外匯收入之間是正相 關。 接下來我們想知道來臺旅客人數和觀光外匯 收入之間的關係有多強？ 44 相關係數：來臺人數與觀光外匯收 入 利用相關係數來判斷兩者的關係，根據 相關係數的定義，計算出來臺旅客人數 和觀光外匯收入的相關係數為0.975。 0.975大於零，表示兩者為正相關；又相 當接近 1，表示來臺旅客人數和觀光外匯 收入之間有很強的直線關係。 45 迴歸直線：來臺人數對觀光外匯收 入 利用最小平方法求得的迴歸直線來判斷兩者 之間的關係。 從圖形可以知道，資料的數值離迴歸直線都 很接近，代表來臺旅客人數和觀光外匯收入 之間有很強的直線關係，這跟相關係數計算 出來的結果是一樣的。 46 迴歸直線：來臺人數對觀光外匯收 入 47 預測：來臺人數對觀光外匯收 入 求得的迴歸直線為 y=0.144x+0.314，其中 x表 示來臺旅客人數（萬人）、y 表示觀光外匯 收入（億美元）。 從迴歸直線可以知道，每增加1 萬人的來臺 旅客人數，觀光外匯收入將會增加0.144 億美 元。 如果下年度估計來臺旅客人數是400 萬人， 利用迴歸直線的預測，下年度的觀光外匯收 入大概是 0.144×400+0.314=57.91 億美元。 48 想一想 迴歸直線為 y=0.144x+0.314 當來台人旅客人數為0時，還會有觀光外匯收入 0.314億美元，合理嗎？ 49 推估：來臺人數對觀光外匯收 入 然而，有時候我們會利用y 來反推 x，回歸直 線y=0.144x+0.314，經過轉換變成 x=(y-0.314)/0.144。 假設已經知道目前的觀光外匯收入為50 億美 元，可以反推來臺旅客人數，根據迴歸直線 的計算，目前的來臺旅客人數大概是 (50-0.314)/0.144=345 萬人。 50 實例應用：門市數目與營業收 入 統一超商門市數目的成長速度跟統一超商的營 業收入是否有關係？ 本實例探討門市數目與營業收入之間的關係。 想了解這兩者之間的關係，於是由統一超商網 站收集近 11 年來的公開資料。 51 實例應用：門市數目與營業收 入 年份年份(西元西元)門市數目門市數目 x (間間)營業收入營業收入 y(億元億元) 19971588341.9 19981896419.5 19992248497.2 20002638574.8 20012908649.9 20023187721.9 20033470778.6 20043680809.4 20054037936.7 20064385999.8 200747051023.6 52 實例應用：門市數目與營業收 入 就上頁的資料顯示，統一超商門市數目 和營業收入應該有正相關的趨勢。 換句話說，統一超商門市數目的增加， 營業收入也隨著增加。 為了確認統一超商門市數目和營業收入 之間的關係，我們使用散佈圖來表示。 53 散布圖：門市數目與營業收入 54 散布圖：門市數目與營業收入 由上頁的散布圖可以看出，圖形有從左到右 往上斜的趨勢，因此可以確定統一超商門市 數目和營業收入之間是正相關。 接下來我們想知道統一超商門市數目和營業 收入之間的關係有多強？ 55 相關係數：門市數目與營業收 入 同樣地利用相關係數來判斷，根據相關 係數的定義，計算出統一超商門市數目 和營業收入的相關係數為0.997。 0.997大於零，表示兩者為正相關；又 相當接近 1，表示統一超商門市數目和 營業收入之間有很強的直線關係。 56 迴歸直線：門市數目與營業收 入 57 迴歸直線：門市數目與營業收 入 利用最小平方法求得的迴歸直線來判斷統一超 商門市數目和營業收入之間的關係。 從圖形可以知道，資料離迴歸直線都很接近， 代表統一超商門市數目和營業收入之間有很強 的直線關係。 與相關係數計算出來的結果是一樣的。 58 預測：門市數目與營業收入 求得的迴歸直線為 y =0.228x -14.566，其中x表示 門市數目（間）、 y 表示營業收入（億元）。 從迴歸直線可以知道，每增加1 間門市，營業 收入將會增加 0.228 億元。 如果下年度估計統一超商門市數目是5000 間， 利用迴歸直線的預測，下年度的營業收入大概 是0.228×5000-14.566=1125.4 億元。 59 想一想 迴歸直線為 y=0.228x-14.566 若今天統一超商不營業了，門市數 目為 0時，收入是 -14.566億元嗎？可 能嗎 ? 60 不客觀的預測：門市數目與營業收 入 估計統一超商門市數為10000 間，利用迴歸直線 作預測，營業收入大概是2265.4 億元。 然而這樣的預測是不客觀的，因為超過資料中 統一超商門市數目的範圍太多了。 61 不客觀的預測：門市數目與營業收 入 統一超商門市數目達到一定數量後，市場需 求應該會呈現飽和狀態，不可能一直增加。 因此預測出來營業收入的可靠度就有待商 榷。 在使用迴歸直線進行預測時，不能在X 的範 圍之外做預測，這是作預測時必須注意到的 事。 62 外插法預測未必恰當 Sarah的身高與年 齡的散布圖 如想要猜測她 42 個月時的身高， 該如何處理？ 又該如何來猜測 她30歲時的身高 ？ (360個月) 6363 外插法預測未必恰當 迴歸直線 : y = 71.95 + 0.383 x 42個月時的身高 ? y = 88 cm. 30歲時身高的預測 值? y = 209.8 cm. 合理嗎 ? 6464 間歇泉 (Geyser) 進一步資訊可參看 http:/www.umich.edu/gs265/geysers.html 預測噴泉之時間 根據前次噴泉之持續時間 在誤差不超過正負十分鐘，使用的預測公式的 準確率達到 90%。 研究目的： 便利遊客安排旅遊 瞭解間歇泉形成的原因 6565 6666 兩者間的函數關係為何？ 6767 統計發展小傳相關係數與散布 圖 現代統計方法的起源之一：遺傳 Galton (1822-1911)： Galton mark: 發現指紋，想出方法來辨識指紋並加以分類。 指紋又被稱為高騰記號 天才會不會遺傳 ? 資料蒐集 :智慧過人而馳名的父子檔 如何準確量度智力 ? 身高:比較容易量測的遺傳性狀 記錄家庭成員的身高 可否由父母親的身高資料推測出孩子的身高? 定性:高個子父母親生的孩子顯然也會是高個子 定量:用雙親的身高來預測出孩子的身高 父親身高及兒子身高的相關係數約為0.5。 根據孟德爾的想法，或可視為影響兒子身高的基因，一半由父親遺 傳而來。 68 相關與迴歸 Regression (迴歸) to the mean 非常高的父母所生的孩子，往往比父母矮些 非常矮的父母所生的孩子，往往比父母高些 似乎有一股力量、將人的身高從高矮兩個極端往平均值拉 此現象一定是真實的: 如果沒有這種向平均值迴歸的現象，那麼高個子父母所生的孩子 ，平均值應該與父母的平均值相同，因此有些孩子的身高必須比 父母還高 (以補償那些矮於父母親的孩子) 。而此一現象也會發生 在下一代，所以人惡類社會就會出現一些非常高和非常矮的人， 但實際情況並不是這樣。 人類的身高似乎相當穩定，接近一個平均值。 只有Regression (迴歸) to the mean是能讓物種一代一代大致相同而維 持穩定性的現象。 數據： 父親的平均高度接近68英吋，標準差約為 2.7英吋。 兒子的平均高度接近69英吋，標準差亦約為2.7英吋。 一般來說，兒子的身高約為父親身高與全體身高的平均。 69 70 71 總結 散布圖 方向與強度 相關係數 正相關、負相關、零相關的性質 迴歸直線 最小平方法、合理預測 因果關係 隱藏變數 72 73 圖示 68-95-99.7規則 資料標準化 (Standardization) 74 令觀察值 x 服從平均值為 m ，標準差為 s 的分配，則 x 的標準化值 (standardized value)定為 標準化值又稱為 z-值(z-score) 、標準計分（ standard score）。 75 思考問題一 何謂新生兒體重分布為一鐘形曲線 ? 高出生體重嬰兒 : 出生體重高於第 90百分位。 低出生體重嬰兒 :出生體重低於第 10百分位。 低出生體重嬰兒患腦性麻痺的危險是同齡正常體 重新生兒的 4-6倍 76 What does it mean if a persons SAT score falls at the 20th percentile for all people who took the test? 思考問題二 : 標準 測驗的分數測驗的分數 77 標準常態機率分配 給定一 z值，我們可以利用標準常態表求得機 率(曲線下的區域 )。 78 標準常態機率分配機率值表 79 標準常態表 80 z 0.33 - 0.440.44 表列數字是 0右邊及 z左 邊的面積 z = - 0.44 未提供 0右邊及 z左邊的面積 為0.17 使用對稱性 標準常態表實例 z 表列數字是 0右邊及 z左 邊的面積 當z = 0.44時 z左邊的面積為 0.5+0.17=0.67 081 82 常態資料 例題 : 14 歲男孩之膽固醇值 X (單位mg/dl)服從常態， N(170, 302)。求膽固醇值大於 240 (i.e., may need medical attention)的男孩比例？ 問題轉換：求 X 240 的機率？ 標準化： 查表： z = 2.33，曲線下小於 z的面積為 0.9901，所以 z 2.33的面積為 1- 0.9901=0.0099 。 圖示例題 z = 2.33 z 右邊的面積為 0.0099 83 84 由比例求數值 例題： SAT字彙分數的分配近似N(505, 1102)，則前 10%的分數應該是多少？ 問題轉換：大於 x 的機率為 0.1， x 應為多少？ 查表：曲線下大於 z的面積為 0. 1，曲線下小於 z 的面積為 1- 0.1 = 0.9，則 z = 1.28。 標準化： 。 圖示 SAT字彙例題 面積為 0.4 x = 505 x = ? z = 0 z = 1.28 面積為 0.1 85 統計人物小傳 周張靄鎣 (Irene Chow) 臺大外文系畢業 (1961) 美國加州大學柏克萊分校生物統計學博士 紐約卅立大學醫學院生物統計學教授 CIBA-GEIGY大藥廠研發資深副總裁(Senior Vice President, Clinical Research and Development, CIBA- GEIGY大藥廠為諾華 Novartis的前身 ) Genelabs與健亞生物科技公司總裁 86 統計人物小傳 周張靄鎣 (Irene Chow) 華人生技圈最有經驗的新藥開發與管理人 10個新藥被美國食品與藥物管理局(US Food and Drug Administration)核淮的記錄 生技領域成功不二法門 精準與魄力 Work hard 不如work smart 87 88 版權聲明 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 3、7 統計與生活 ，頁 116，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 10 統計與生活 ，頁 117，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 16 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 17 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 18 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 89 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 19 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 20 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 21 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 22 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 23 統計與生活 ，頁 119，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 90 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 26 統計與生活 ，頁 120，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 28 統計與生活 ，頁 120，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 31 統計與生活 ，頁 121，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 32 統計與生活 ，頁 120，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 41 統計與生活 ，頁 123，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 91 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 43 統計與生活 ，頁 124，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 47 統計與生活 ，頁 124，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 52 統計與生活 ，頁 125，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 54 統計與生活 ，頁 126，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 57 統計與生活 ，頁 127，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 92 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 63 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 64 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 66 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 67 WIKIPEDIA (http:/en.m.wikipedia.org/wiki/File:Oldfaithful3.png#section_2)， 瀏覽日期 2012/04/13。 70 Anthropological Miscellanea (http:/galton.org/essays/1880-1889/galton-1886-jaigi-regression-stature.pdf)， 頁 258，瀏覽日期 2012/07/09。依據著作權法第 46、52、65 條合理使 用。 93 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 71 Regression to the mean (created 2000-01-27) (http:/www.pmean.com/00/regression.html)， 瀏覽日期 2013/03/19，依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 73 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 77 統計與生活 ，頁 343，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 78 統計與生活 ，頁 343，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 79 統計與生活 ，頁 343，劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權， 您如需利用本作品，請另行向權利人取得授權。 94 頁碼頁碼作品作品版權標示版權標示作者作者 / 來源來源 80 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 81 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 83 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。 85 國立臺灣大學 數學系 陳 宏 教授。