第7章MATLAB710矩阵分析.ppt

第7章 矩阵分析,MATLAB为工程技术人员、科研工作者提供了方便、强大的数值计算功能，这也是MATLAB得以流行的重要因素。用户在利用MATLAB解决实际问题时，首先将该问题转化为数学问题，然后将相应的数学求解过程翻译为MATLAB程序代码。同其他计算机语言（如C、C+、Java等）不同的是，MATLAB语言是一种边解释边执行的程序语言，其风格更像是一种数学语言。因此用户利用MATLAB解决问题并不需要了解很多编程方面的知识，而只需懂得基本的MATLAB语法。另外，MATLAB内置了大量的数值计算函数，这些函数封装了常用的数值计算功能。利用这些数值计算函数，用户能够从烦琐的编程工作中解放出来，集中精力解决问题。本书将MATLAB数值计算分为四章分别讨论，本章及下面的两章（8、9）分别介绍矩阵分析、函数分析和数据分析等初等数值计算内容，第10章将讨论数值计算的一些高级话题。 本章的矩阵分析主要讨论以下问题：矩阵基本运算，如加、减、乘、除四则运算等；矩阵特征量，如行列式、条件数、范数、秩等；矩阵分解；矩阵函数；稀疏矩阵。,7.1 MATLAB数值计算中的矩阵,矩阵分析无论是在数学理论还是实际工程问题中都具有重要的应用，例如，线性方程组的解与矩阵除法、矩阵的特征量（如行列式、逆、条件数、秩等）、矩阵分解相关；二次型（，为特征矩阵）的最大（小）值为对应特征矩阵的最大（小）特征值；线性系统的稳定性与系统特征矩阵的谱半径有关。 MATLAB的最初雏形是为了解决大规模矩阵运算而编写的一系列函数模块。矩阵作为MATLAB的基本数据结构，一直是MATLAB的核心，是MATLAB基本的运算单元，其大部分的内建函数也都支持矩阵作为输入变量，用户在编写自用程序时也应当尽量遵循这一约定。,7.1.1 MATLAB中的矩阵,前面的章节已对MATLAB中矩阵的概念、创建、操作等进行了详细的介绍，矩阵作为MATLAB数据组织、运算的基本单元，为MATLAB带来了众多的优势： 高效，利用矩阵封装多重循环运算，通过其内置的程序优化提高代码运行效率； 简洁，矩阵对多重循环的封装使代码更加简洁、方便； 安全，矩阵运算内置了相关的出错处理，代码更加安全，同时除错也更加方便。 另外，MATLAB的大部分内建函数都支持矩阵作为输入变量，相应地以矩阵作为输出变量，这使得程序结构更加清晰，代码编写也更加简便。,7.1.2 求解线性代数方程,信号处理、自动控制等工程领域的众多问题可以归结为下面的数学问题：已知， 则有，称为系数矩阵，为值向量，为解向量。令，为扩展系数矩阵，的解与的秩、的行列式、逆、条件数等有关，这些内容将在下面的各节中详细展开。,7.1.3 最大（小）值,考虑信号估计理论中的一个经典问题：在（恒量）的条件下，求向量使最大，其中为实对称矩阵。可以证明，当为最大特征值对应的特征向量时，达到最大值，为的最大特征值；相反，当为最小特征值对应的特征向量时，达到最小值，为的最小特征值。 实际上，矩阵的特征值和特征向量在许多工程应用中都具有很重要的应用，例如线性系统的稳定性取决于系统特征矩阵的谱半径等。,7.2 矩阵基本运算,矩阵是MATLAB数据组织和运算的基本单元，矩阵的加、减、乘、除四则运算、幂运算、比较运算和逻辑运算等代数运算是MATLAB数值计算最基础的部分。这里可以粗略地将矩阵运算分为两类，即普通数值运算（四则运算、幂运算）和关系运算（比较运算、逻辑运算），最后本节特别介绍了矩阵的按位运算。 为了描述的方便，这里对本节所涉及相关数学符号稍作统一，矩阵用大写字母表示，如、；矩阵的第行、第列元素用带下标的小写字母表示，如、；表示的转置矩阵；表示的Hermite转置；为方阵的行列式；为方阵的逆矩阵；为方阵的范数。,7.2.1 矩阵的加、减,矩阵的加、减运算定义为相应元素的加减。对矩阵、，其和（差） ，C也为 矩阵，且 。 矩阵的加、减运算要求参与运算的矩阵具有相同的大小，或者其中之一为标量，例如 矩阵A与标量 的和（差） ， 为 矩阵，且 。,7.2.2 矩阵乘法,7.2.3 矩阵除法,矩阵除法是乘法的逆运算，MATLAB也定义了两类矩阵除法。第一类是矩阵的线性代数除法，对应于矩阵线性代数乘法的逆运算。矩阵线性代数除法又有两种算子，即右除算子和左除算子，如表所示。,矩阵线性代数除法,，则,，则,7.2.4 矩阵的幂,矩阵的幂与矩阵乘法具有紧密的联系，MATLAB也定义了两类矩阵幂运算。第一类与矩阵线性代数乘法相对应，由 表示，其中为阶方阵， 。,7.2.5 矩阵按位运算,按位运算是MATLAB为矩阵设计的一种简洁、高效、安全的运算模式，实际上是对多重循环的高效封装，从而提高代码执行的高效和安全程度。前面介绍的矩阵加减、按位乘除、按位幂都是按位运算符。按位运算符一般有一个（.）作为前导符，,矩阵的按位运算符,7.2.6 关系运算,注意到例7.10中的向量化代码（Mean = mean(V(V=1)），该段代码涉及三种按位运算：比较运算、逻辑运算和逻辑下标。这三种运算为代码向量化提供了强大的引擎。表列出了MATLAB支持的比较运算符和逻辑运算符。,比较运算,7.3 矩阵特征量,线性代数中有一些矩阵特征量用于刻画矩阵某方面的性质，如行列式、范数、条件数、秩等。这里从求解7.1.2给出的线性方程组出发讨论矩阵相关的特征量，包括矩阵的行列式、秩、范数、条件数、范数以及矩阵的逆。,7.3.1 矩阵的行列式,关于矩阵行列式的概念，这里不作赘述，如有疑问，请参考任何一本线性代数方面的书籍。如阶矩阵的行列式不等于0，即时，称矩阵非奇异，否则奇异。如果限定线性方程组的系数矩阵为方阵，当非奇异，则线性方程有惟一解。 对N阶方阵，MATLAB调用函数得到矩阵行列式，下面是求阶方阵行列式的例子。,7.3.2 矩阵的逆,若系数矩阵非奇异，即，则线性方程组有惟一解，该惟一解为，其中为的逆矩阵。对非奇异矩阵，其逆矩阵是满足以下条件的矩阵：（I为单位矩阵）。 MATLAB调用函数inv(A)求的逆矩阵，以下是逆矩阵应用的一些例子，这些例子也验证了前面给出的关于逆矩阵的性质。,7.3.3 矩阵的范数,如果将矩阵看作一个线性变换系统，则矩阵范数从整体上描述了系统的放大作用，矩阵范数的定义如下：。其中为列向量，为向量的范数。 对矩阵，常用的范数有以下几种。 1-范数，也称为列和范数。 2-范数，为A的奇异值。 范数，也称为行和范数。 F-范数，。 MATLAB利用函数norm计算范数，函数norm的调用格式为： norm(A, opt),7.3.4 矩阵的条件数,7.3.2小节中提到，当线性方程组系数矩阵非奇异时，线性方程有唯一惟一解，且该解为。那么一个很容易想到的问题就是：当系数矩阵接近奇异时，例如很小，利用求解线性方程组会有什么样的问题？ 这里暂且撇开上面提出的问题，而首先考虑以下问题：即如何衡量是大还是小的问题。对这一问题，显然需要确定一个参考数量以确定是大还是小，这一参考数量称为矩阵的范数，用表示。当成立时，则认为小，矩阵是奇异的。,7.3.5 矩阵的秩,对7.1.2节给出的线性方程组求解问题。根据、的不同取值，线性方程组可以分为以下三类： ，为超定方程； ，为恰定方程； ，为欠定方程。,7.4 矩阵分解,矩阵分解是矩阵理论的重要内容，在信号处理、自动控制等众多领域中有着非常广泛的应用。矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积。在很多算法研究中，扑惴奈榷院涂焖傩缘龋嗉烫岢隽烁髦志卣蠓纸夥椒缣卣鞣纸猓EVD）、Schur分解、Cholesky分解、LU分解、QR分解、SVD分解等，,7.4.1 特征分解,7.4.2 Schur分解,7.4.3 Cholesky分解,对任意正定矩阵 的Cholesky分解（柯利分解）。Cholesky分解在理论分析、数值计算等方面有重要应用。 MATLAB提供函数chol和cholinc用于正定矩阵的Cholesky分解。Chol常用的调用格式有以下两种： R = chol(X) R,p = chol(X) 如果X为正定矩阵，则返回上三角矩阵R，此时p=0，表示函数调用成功；如果X非正定，则前一种调用会产生错误信息，后一种调用不会产生错误，而是将p设为正整数，用户可以通过查询p的状态检查Cholesky分解是否成功，也可以依此判断X的正定性。,7.4.4 LU分解,7.4.5 QR分解,7.4.6 SVD分解,7.5 矩阵函数,矩阵函数是矩阵理论的重要概念，在信号处理、系统控制等领域有着重要的应用。如果将矩阵看作一个线性系统，那么矩阵函数可以看作系统的级联、合成。利用矩阵函数的概念可以得到很多工程应用中有用的工具。,7.5.1 矩阵函数的概念,7.5.2 常用矩阵函数,7.5.3 自定义矩阵函数,用户除了可以使用MATLAB内建的矩阵函数之外，还可以利用MATLAB提供的funm函数，创建自定义的矩阵函数。 funm函数以矩阵和自定义函数句柄作为输入参数，其一般调用格式为： F = funm(A,fun) F = funm(A, fun, options) F, exitflag = funm(.) 其中fun为函数句柄；option用于计算过程的控制、结果显示等，这里不做具体介绍；exitflag保存了函数结束的信息，若exitflag = 0，则函数计算成功；若exitflag = 1，则表明计算过程不收敛，但结果也有可能是正确的。,7.6 稀疏矩阵,实际工程中的数据处理任务面临大容量数据的挑战，当涉及大型矩阵的数值计算时，一个重要的问题是存储和执行效率的问题。稀疏矩阵的概念，正是为了解决这一问题而提出的。从数学性质上看，稀疏矩阵与一般的矩阵没有差别，但在数据存储和执行算法上有着很大的不同。本节在讲述稀疏矩阵时，经常与全矩阵作对比，使读者对稀疏矩阵的概念和使用方法有一个更加透彻的理解。 本节将一般的矩阵称为全矩阵（Full Matrix），以区别于稀疏矩阵。,7.6.1 稀疏矩阵与全矩阵,稀疏矩阵是这样一类矩阵，其元素仅有少数不为0，而大量的元素为0。稀疏矩阵的这种性质使得MATLAB可以对其采用不同于全矩阵的存储方式和执行算法以提高效率。 MATLAB利用二维数组存储全矩阵，对零元、非零元不作区分，统一采用浮点数；但在存储稀疏矩阵时只存储非零元及其对应的索引值（整型）。显然，这种存储方式能够大大提高稀疏矩阵的存储效率，看下面的例子。,7.6.2 创建稀疏矩阵,除了通过将全矩阵转换为稀疏矩阵外，MATLAB还提供了一系列函数用于创建稀疏矩阵，如表所示。,稀疏矩阵创建函数,7.6.3 稀疏矩阵操作,一般地，能用于全矩阵的操作函数对稀疏矩阵同样有效，并且具有相似的操作规则，现总结如下： 下标寻访赋值函数； 用于矩阵拼接的函数，如cat，horzcat、vertcat、repmat，若输入参数中有一个为稀疏矩阵，则返回结果为稀疏矩阵； 矩阵变形函数，如ctranspose、flipdim、fliplr、flipud、reshape、rot90、transpose，这些函数都是单输入函数，若输入为稀疏矩阵，则返回结果也为稀疏矩阵； 矩阵结构信息函数，如isempty、isscalar、isvector、length、ndims、numel、size； 矩阵数据类型信息函数，如ischar、isfloat、isinteger、islogical、isnumber、isreal，这些函数对稀疏矩阵输入返回稀疏矩阵。,7.6.4 稀疏矩阵的运算,全矩阵的四则运算对稀疏矩阵都是有效的，但是返回结果有可能是稀疏矩阵或者是全矩阵，这要视具体情况而定，现总结如下： 对于单个稀疏矩阵的输入，大部分函数都返回稀疏矩阵，但也有一部分函数返回全矩阵； 对于多个矩阵输入，若其中有一个及一个以上的全矩阵，则大部分的函数都将返回全矩阵； 对于二元运算，如矩阵的加减、乘、除，只要其中有一个为全矩阵，则结果返回全矩阵；稀疏矩阵与标量的加减运算返回全矩阵； 稀疏矩阵的数乘为稀疏矩阵； 稀疏矩阵的幂仍然是稀疏矩阵。,7.7 小结,矩阵是MATLAB数值计算的基本单元，矩阵分析是工程应用的重要工具，通过本章的学习，读者应该熟练掌握以下内容。 矩阵基本运算 矩阵特征量 矩阵分解 矩阵函数 稀疏矩阵 利用矩阵的思想组织程序,第7章 矩阵分析,MATLAB为工程技术人员、科研工作者提供了方便、强大的数值计算功能，这也是MATLAB得以流行的重要因素。用户在利用MATLAB解决实际问题时，首先将该问题转化为数学问题，然后将相应的数学求解过程翻译为MATLAB程序代码。同其他计算机语言（如C、C+、Java等）不同的是，MATLAB语言是一种边解释边执行的程序语言，其风格更像是一种数学语言。因此用户利用MATLAB解决问题并不需要了解很多编程方面的知识，而只需懂得基本的MATLAB语法。另外，MATLAB内置了大量的数值计算函数，这些函数封装了常用的数值计算功能。利用这些数值计算函数，用户能够从烦琐的编程工作中解放出来，集中精力解决问题。本书将MATLAB数值计算分为四章分别讨论，本章及下面的两章（8、9）分别介绍矩阵分析、函数分析和数据分析等初等数值计算内容，第10章将讨论数值计算的一些高级话题。 本章的矩阵分析主要讨论以下问题：矩阵基本运算，如加、减、乘、除四则运算等；矩阵特征量，如行列式、条件数、范数、秩等；矩阵分解；矩阵函数；稀疏矩阵。,