九章相关与回归分析.ppt

第九章 相关与回归分析,不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。 Damodar N.Gujarati,1 变量间关系的度量 2 一元线性回归 3 利用回归方程进行估计,学习目标,1. 相关关系的分析方法 一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 回归方程的显著性检验 利用回归方程进行估计,第一节 变量间关系的度量,1 变量间的关系 2 相关关系的描述与测度 3 相关系数的显著性检验,变量间的关系,函数关系,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,函数关系 (几个例子),某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=2R 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3,相关关系 (correlation),变量之间存在的不确定的数量关系。 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,相关关系 (几个例子),父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系,相关关系 (类型),相关关系的描述与测度 (散点图),相关分析及其假定,相关分析要解决的问题 变量之间是否存在关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？ 为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定 两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量,散点图 (scatter diagram),散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (不良贷款对其他变量的散点图),散点图 (5个变量的散点图矩阵),不良贷款,贷款余额,累计应收贷款,贷款项目个数,固定自产投资,相关关系的描述与测度 (相关系数),相关系数 (correlation coefficient),度量变量之间线性关系强度的一个统计量 对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r 也称为线性相关系数(linear correlation coefficient) 或称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient),相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,协方差刻画了两个随机变量相对于它们均值的同时偏差，反映了两个变量共同变化的程度。 将协方差标准化以消除测量单位的影响。 这里是除以两个标准差sx，sy的乘积。,协方差,相关系数的性质,性质1：r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱,相关系数的性质 (取值及其意义的图解),r,相关系数的性质,性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意味着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间 没有任何关系 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与y一定有因果关系,相关系数的经验解释,|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|0.8时，可视为中度相关 0.3|r|0.5时，视为低度相关 |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上,相关系数的显著性检验,相关系数的显著性检验 ( r 的抽样分布),r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化 当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r 的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态 当为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当为较小的负值时，r 呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 b1的检验 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，不拒绝H0,【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到19811993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,，13，数据见表10-1，计算相关系数。,解：根据样本相关系数的计算公式有 人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987,相关系数的显著性检验 (例题分析), 对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系,相关系数的显著性检验 (例题分析),各相关系数检验的统计量,相关系数的显著性检验 (需要注意的问题),即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性 因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著 比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系,一元线性回归,1 一元线性回归模型 2 参数的最小二乘估计 3 回归直线的拟合优度 4 显著性检验,什么是回归分析？ (regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,趋向中间高度的回归,回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。 Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,一元线性回归模型,一元线性回归,涉及一个自变量的回归 因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,回归模型 (regression model),回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数值型因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分（ b0 + b1 x ）反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,回归模型中为什么包含误差项,理由1：理论的含糊性。 理由2：数据的欠缺。 理由3：核心变量与周边变量。 理由4：人类行为的内在随机性。 理由5：糟糕的替代变量。 理由6：节省原则。 理由7：错误的函数形式。,误差项是未包括在模型中而又影响着y的全部变量的替代物，但为什么不把这些变量引进到模型中来？换句话说，为什么不构造一个含有尽可能多个变量的复回归模型？古扎拉蒂在计量经济学一书中列出了7点理由,回归模型中为什么包含误差项,理由1：理论的含糊性 即使有决定y的行为的理论，而且常常是不完全的，影响y的变量不是无所知就是知而不确，因此不妨设作为模型所排除或忽略的全部变量的替代变量 理由2：数据的欠缺 即使我们明知被忽略变量中的一些变量，并因而考虑用一个复回归而不是一个简单回归，我们却不一定能得到关于这些变量的数量信息,回归模型中为什么包含误差项,理由3：核心变量与周边变量。 影响y的全部或其中的一些变量，合起来的影响如此之小，充其量是一种非系统的或随机的影响。从实际考虑以及从成本上计算，把它们一一引入模型是划不来的。所以人们希望把它们的联合效应当作一个随机变量来看待。 理由4：人类行为的内在随机性。 即使我们成功地把所有有关的变量都引进到模型中来，在个别的y中仍不免有一些“内在”的随机性，这是无论我们花多少力气都解释不了的。随机项也许能很好地反映这种随机性,回归模型中为什么包含误差项,理由5：糟糕的替代变量 虽然经典回归模型假定变量y和x能准确地观测，但实际上数据会受到测量误差的扰乱。由于这些变量不可直接观测，故实际上我们用替代变量。这时误差项又可以用来代表测量误差 理由6：节省原则 我们想保持一个尽可能简单的回归模型。如果我们能用两个或三个变量就“基本上”解释了y的行为，并且如果我们的理论完善或扎实的程度还没有达到足以提出可包含进来的其他变量，那么为什么要引进更多的变量呢？让去代表所有的其他变量好了。当然，我们不应该只为了保持回归模型简单而排除有关的和重要的变量,回归模型中为什么包含误差项,理由7：错误的函数形式 即使我们有了解释一种现象的在理论上正确的变量，并且能获得这些变量的数据，我们却常常不知道回归子(因变量)和回归元(自变量)之间的函数形式是什么形式。在双变量模型中，人们往往能从散点图来判断关系式的函数形式，而在多变量回归模型中，由于无法从图形上想像一个多维的散点图，要决定适当的函数形式就不容易,一元线性回归模型 (基本假定),因变量y与自变量x之间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的 误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0 ,2 ),误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的回归方程 (estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， 是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,参数的最小二乘估计,最小二乘估计 (method of least squares ),德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,Karl Gauss的最小化图,x,y,(xn , yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,要求推导,比较,估计方程的求法 (例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,估计方程的求法 (例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,回归直线的拟合优度,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示 n次观察值的总变差,误差的分解 (图示),x,y,误差平方和的分解 (三个平方和的关系),SST = SSR + SSE,误差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(SSTtotal sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 回归平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数R2 (coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即R2r2,判定系数 (例题分析),【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,估计标准误差 (standard error of estimate),实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量 反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,注：例题的计算结果为1.9799,估计标准误差的自由度,估计标准误差的是残差平方和SSE除以它的自由度后的平方根 残差平方和SSE的自由度之所以是n-2，原因是在计算SSE时，必须先求出 和 ，这两个估计值就是附加给SSE的两个约束条件，因此在计算SSE时，只有n-2个独立的观测值，而不是n个 一般而言，在有k个自变量的多元回归中，自由度则为n-k 一般的规律是：自由度=n-待估参数的个数,显著性检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k) 残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1),线性关系的检验 (检验的步骤),提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,不拒绝H0,线性关系的检验 (例题分析),提出假设 H0：1=0 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著 计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F =4.28 作出决策：若FF ,拒绝H0，线性关系显著,线性关系的检验 (方差分析表),Excel 输出的方差分析表,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验 采用t检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的检验 (样本统计量 的分布),是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于 未知，需用其估计量se来代替得到 的估计的标准差,回归系数的检验 (检验步骤),提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，不拒绝H0,回归系数的检验 (例题分析),对例题的回归系数进行显著性检验(0.05) 提出假设 H0：b1 = 0 H1：b1 0 计算检验的统计量,t=7.533515t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系,回归系数的检验 (例题分析),P 值的应用,P=0.000000=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷 款余额之间有显著的线性关系,回归分析结果的评价,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手 所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致 在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数 为正值 如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此 在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明二者之间的线性关系是统计上显著的,回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题 在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错 考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,回归分析结果的评价,Excel输出的部分回归结果,10.3 利用回归方程进行估计和预测,10.3.1 点估计 10.3.2 区间估计,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,点估计,点估计,2. 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值,y 的平均值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计 。根据估计的回归方程得,y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计 例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计 。根据估计的回归方程得,区间估计,区间估计,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计(confidence interval estimate) 预测区间估计(prediction interval estimate),置信区间估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间(confidence interval) E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：se为估计标准误差,置信区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信区间为,当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间,预测区间估计 (例题分析),【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25， se=1.9799，t(25-2)=2.069 预测区间为,贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间,影响区间宽度的因素,置信水平 (1 - ) 区间宽度随置信水平的增大而增大 数据的离散程度s 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 xp与x的差异程度 区间宽度随 xp与x 的差异程度的增大而增大,置信区间和预测区间 (例题分析),置信区间、预测区间、回归方程,估计和预测需要注意的问题,在利用回归方程进行估计或预测时，不要用样本数据之外的x值去预测相对应的y值 因为在一元线性回归分析中，总是假定因变量y与自变量x之间的关系用线性模型表达是正确的。但实际应用中，它们之间的关系可能是某种曲线 此时我们总是要假定这条曲线只有一小段位于x测量值的范围之内。如果x的取值范围是在xL和xU之间，那么可以用所求出的利用回归方程对处于xL和xU之间的值来估计E(y)和预测y。如果用xL和xU之间以外的值得出的估计值和预测值就会很差,10.4 残差分析,10.4.1 用残差证实模型的假定 10.4.2 用残差检测异常值和有影响的观测值,残差 (residual),因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示 反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 可用于确定有关误差项的假定是否成立 用于检测有影响的观测值,用残差证实模型的假定,残差图 (residual plot),表示残差的图形 关于x的残差图 关于y的残差图 标准化残差图 用于判断误差的假定是否成立 检测有影响的观测值,残差与标准化残差图 (例题分析),残差图 (形态及判别),(a)满意模式,残差,x,0,残差图 (例题分析),残差的正态性假定 (残差的正态概率图),标准化残差 (standardized residual),残差除以它的标准差 也称为Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals) 计算公式为,注意：Excel给出的标准残差的计算公式为 这实际上是学生化删除残差(studentized deleted residuals),标准化残差图, 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布 在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间,标准化残差图 (例题分析),残差的正态性假定 (标准化残差的正态概率图),用残差检测异常值和 有影响的观测值,异常值 (outlier),如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野点 如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果 如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型 如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据 在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除,异常值 (识别),异常值也可以通过标准化残差来识别 如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值 一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值,有影响的观测值,如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 一个有影响的观测值可能是 一个异常值，即有一个值远远偏离了散点图中的趋势线 对应一个远离自变量平均值的观测值 或者是这二者组合而形成的观测值,有影响的观测值 (图示),不存在影响值的趋势,有影响的观测值,存在影响值的趋势,杠杆率点 (ieverage point),如果自变量存在一个极端值，该观测值则称为高杠杆率点(high ieverage point) 在一元回归中，第i个观测值的杠杆率用hi表示，其计算公式为 如果一个观测值的杠杆率 ，就可以将该观测值识别为有高杠杆率的点 一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响,高杠杆率点 (图示),高杠杆率点,本章小结,变量间关系的度量 回归模型、回归方程与估计的回归方程 回归直线的拟合优度 回归分析中的显著性检验 估计和预测 用Excel 进行回归分析,