二章节Lagrange插值.ppt
1,第二讲 Lagrange插值,2,主要知识点,插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式）； 插值余项； 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。,3,插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,4,多项式插值定义,在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 个互不相同的点处的函数值 ，为求 的近似式，自然应当选 次多项式,使 满足条件,5,插值的几何意义,插值多项式的几何意义,6,插值唯一性定理,定理：(唯一性) 满足 的 n 阶插值,多项式是唯一存在的。,7,存在唯一性定理证明,设所要构造的插值多项式为：,由插值条件,得到如下线性代数方程组：,8,存在唯一性定理证明(续),此方程组的系数行列式为,范得蒙行列式 ！,D 0，,因此，Pn(x)由a0, a1, an唯一确定。,9,插值方法,一、解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为 ，将 个节点的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。,10,拉格朗日插值公式,拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,n)的构造。,11,线性插值函数,x0,x1,(x0 ，y0),(x1，y1),P1(x),f(x),可见 是过 和 两点的直线。,12,抛物插值函数,x0,x1,x2,p2(x) f(x),f(x),因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。,13,N次插值函数,设连续函数 在a, b上对给定n + 1个不同结点：,分别取函数值,其中,试构造一个次数不超过n的插值多项式,使之满足条件,i = 0, 1, 2, n,14,一次Lagrange插值多项式(1),已知函数 在点 上的值为 ，要求多项式 ，使 ， 。其几何意义，就是通过两点 的一条直线，如图所示。,15,一次Lagrange插值多项式(2),一次插值多项式,16,一次Lagrange插值多项式(3),由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为 显然有：,17,一次Lagrange插值多项式(4),记,可以看出,的线性组合得到，其系数分别为 ，,称 为节点 , 的线性插值基函数,18,一次Lagrange插值多项式(5),线性插值基函数,满足下述条件,并且他们都是一次函数。,注意他们的特点对下面的推广很重要,19,一次Lagrange插值多项式(6),我们称 为点 的一次插值基函数， 为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。,20,二次Lagrange插值多项式1,线性插值只利用两对值 及 求得的 近似值，误差较大。 p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。,21,二次Lagrange插值多项式2,以过节点 的二次函数,为插值函数。,用基函数的方法获得,其中,设被插函数在插值节点,处的函数值为,22,N次插值函数1,我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式 ，而三个插值点可求出二次插值多项式 。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式 ，如下所示：,23,N次插值多项式问题2,已知n+1个节点处的函数值,求一个n次插值函数,满足,24,N次插值多项式3,构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件,25,N次插值多项式4,求n次多项式 ， k = 0, 1, n,则,i = 0, 1, 2, n,即 满足插值条件,根据 的表达式， 以外所有的结点都是 的根，,26,N次插值多项式5,又由 ，得：,因此令,27,N次插值多项式6,从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：,28,N次插值多项式7,在a , b内存在, 考察截断误差,推广：若,使得,罗尔定理 : 若 在 连续，在 充分光滑，,29,N次插值多项式8,注： 通常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,30,例题分析1,例： 已知特殊角 处的正弦函数值,分别为,求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用,插值函数近似计算 ，并估计误差,解：一次插值函数为,31,例题分析2,误差为,在所求点的函数值为,误差为,知,32,例题分析3,33,例题分析4,误差为,右图中红色曲线为 图形,绿色曲线为插插值函数的图形。,34,第二讲完！ 谢谢大家！ 再见！,
