第一章随机试验与概率.ppt

第一章 随机事件与概率,二、 随机实验和样本空间,四、 随机时间的关系与运算,三、 随机事件的概念,§1.1 随机事件,一、 随机现象,一、 随机现象,三、 小结,二、 随机试验,§1.1.1§1.1.2 随机实验,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,一、随机现象,确定性现象的特征,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,2. 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例2 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例3 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,结果可能为:,正品 、次品.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.,定义,二、随机试验,说明,1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”.,分析,2. 随机试验通常用 E 来表示.,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(2) 试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,三、小结,随机现象的特征:,1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.,随 机 试 验,一、样本空间 样本点,三、随机事件间的关系及运算,二、随机事件的概念,四、小结,§1.1.2- §1.1.4 样本空间、随机事件,定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 .,样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为样本点.,实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.,一、样本空间 样本点,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.,实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.,实例5 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.,课堂练习,2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空间也不同.,例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为,若观察出现正面的次数 , 则样本空间为,说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.,在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间。,随机事件 随机试验 E 的样本空间 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件.,试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现6点”,“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.,1. 基本概念,二、随机事件的概念,实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,实例 “出现1点”, “出现2点”, , “出现6点”.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,2. 几点说明,例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.,可设 A = “点数不大于4”,B = “点数为奇数” 等等.,随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件,(2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,复合事件,互为对立事件,1. 包含关系,若事件 A 发生, 必然导致 B 发生 ,则称事件 B 包含事件 A,记作,实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,所以“产品不合格”,包含“长度不合格”.,图示 B 包含 A.,B,三、随机事件间的关系及运算,2. A等于B 若事件A 包含事件B，而且事件B包含 事件A，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B.,3. 事件 A 与 B 的并(和事件),实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并.,图示事件 A 与 B 的并.,A,和事件也可记为A+B。,4. 事件 A 与 B 的交 (积事件),图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.,和事件与积事件的运算性质,A A B， B A B 若A B， 则A B = B,A B A ， A B B 若A B， 则A B = A,5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相 容, 即,实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.,“骰子出现1点” “骰子出现2点”,图示 A 与 B 互斥.,实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .,6. 事件 A 与 B 的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B 的差. 记作A- B.,图示 A 与 B 的差.,A,B,实例 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合格” 与 “直径合格” 的差.,设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现” 称为事件 A 的对立（或余、逆）事件. 记作,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,B,若 A 与 B 对立, 则有,7. 事件 A 的对立事件,对立事件与互斥事件的区别,A、B 对立,A、B 互不相容(互斥),互不相容,对 立,事件的对立事件有如下性质,设A、B为事件，则有,事件间的运算规律,(6) 不多于一个事件发生;,(7) 不多于两个事件出现;,(8) 三个事件至少有两个出现;,(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现;,(10) A, B, C 中恰好有两个出现.,例2 某射手向一目标射击3次，Ai表示“第i次射击命中目标”，i=1,2,3，Bj表示“3次射击恰命中目标j次” ，j=0,1,2,3，试用Ai (i=1,2,3)的运算表示Bj (j=0,1,2,3)。,解：,(1)没有一个是次品;,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4)至少有三个不是次品;,(5)恰好有三个是次品;,(6)至多有一个是次品.,解,练习,(2)至少有一个是次品;,(3)只有一个是次品;,(4)至少有三个不是次品;,(5)恰好有三个是次品;,(6)至多有一个是次品.,例3 化简:,解,则,随机试验,四、小结,1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系,2. 概率论与集合论之间的对应关系,记号,概率论,集合论,样本空间，必然事件,全集,不可能事件,空集,基本事件,单元集,随机事件,全集的子集,A的对立事件,A的补集,A出现必然导致B出现,A是B的子集,事件A与事件B相等,集合A与集合B相等,事件A与事件B的差,A与B两集合的差集,事件A与B互不相容,A与B 两集合中没有 相同的元素,事件A与事件B的和,集合A与集合B的并集,事件A与事件B的 积事件,集合A与集合B的交集,一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,§1.2 频率与概率,1. 定义,一、频率的定义与性质,2. 性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;,重要结论,频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的 概率,1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义与性质,1. 概率的定义,2. 性质,证明,(4),设A、B为任意的两个事件，则有 P(B - A) = P(B) P(AB),AB,由于,又,所以,故,即,证明,(4),特别地，若AB，则有,由于,又由于AB，则P(AB) = P(A),证明,证明,由图可得,又由性质 4 得,因此得,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,例1 设A,B是两个随机事件,解,例2 设A,B是两个随机事件,解,由,得,例3 设A与B是互不相容的两个随机事件,解,解,练习,(3) 由图示得,2. 概率的主要性质,三、小结,一、等可能概型,二、小结,§1.2.2 等可能概型(古典概型),1. 定义,一、等可能概型(古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,由于计算古典概型中事件的概率时,只要求出样本点总数和事件所含样本点的个数,所以往往不需要写出样本空间的具体内容及事件中所含样本点,同样可得事件的概率.,另一方面,一些概率的样本空间比较复杂,具体写出比较烦琐,因此在计算古典概型中事件的概率时,可采用排列组合的方法计算m和n .,解,例2 从0,1,2,9这10个数中任意选出三个不同 的数字,试求3个数字中不会含数字0和5的概率.,解,设A表示”三个数字中不含0和5”.从0,1,2,9 这10个数中任意选出三个不同的数字共有,三个数字中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9这8个数中选出,选法有,即A中包含的基本事件总数为,则所求的概率为:,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例4 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,课堂练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,3. 古典概型的基本模型: 摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,例5 一批产品共有100件,其中三件次品,先从中连续抽取两次,每次抽取一件,考虑两种情况: (1)不放回抽样:第一次取一件不放回,第二次再抽取一件; (2)放回抽样:第一次取一件检查后放回,第二次再抽取一件. 试分别针对上述两种情况,求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率.,A包含的基本事件数为97×3，故,(1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品的抽取的顺序，接连两次抽取共有,即基本事件总数为,解,（2）采取放回抽样 第一次抽取有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数为100×100. 在这种情况下，A包含的基本事件数仍为97×3，故,练习1 从1,2,9这9个数中任意取一数, 取后放回,而后再取一数, 试求取出的两个数字不同的概率.,练习2 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到两个球颜色相同的概率.,练习1 从1,2,9这9个数中任意取一数, 取后放回,而后再取一数, 试求取出的两个数字不同的概率.,设A表示“取到的两个球颜色相同”， A包含两种情况：,A的取法共有,练习2 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到两个球颜色相同的概率.,解,故所求的概率为,思考 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,§1.3 条件概率,将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为,1. 引例,一、条件概率,同理可得,为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.,2. 定义,.,),(,),(,),(,0,),(,条件概率,发生的,发生的条件下事件,为在事件,称,且,是两个事件,设,A,B,B,P,AB,P,B,A,P,B,P,B,A,=,计算条件概率有两个基本的方法：,、利用定义 来计算,、在古典概型中利用古典概型的计算方法直接 计算,例1 在全部产品中有4%的废品，有72%的一等品.先从中任取一件为合格品，求它是一等品的概率.,解,设A表示“任取一件为合格品”， B表示“任取一件为一等品”，,P（A）=0.96，P（AB）=P（B）=0.72,设A表示“任取一件为合格品”， B表示“任取一件为一等品”，,例2 盒中有5个黑球3个白球，连续不放回的从中取两次球，每次取一个，若已知第一次取出的是白球，求第二次取出的是黑球的概率.,解,A表示“第一次取到的是白球”，B表示“第二次取到的是黑球”， 所求的概率为P（B | A）,由于第一次取到的是白球，所以第二次取球时，盒 中有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法知,二、 乘法定理,例3 在10个产品中，有2件次品，不放回地抽取2件产品，每次取一个，求取到的两件产品都是次品的概率.,解,解,例5 盒中有5个白球2个黑球，连续不放回的从中取三次球，每次取一个，求第三次才取到黑球的概率.,解,由乘法公式知,练习1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,练习2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,课堂练习,练习1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,设事件A 表示“ 能活 20 岁以上 ” ， 事件B 表示 “ 能活 25 岁以上”,则有,解,练习2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,1. 样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,证明,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,全概率公式的最简单形式为,例 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率.,解,则,由全概率公式知,例 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占35%，又知这三个厂的产品次品率分别为5% ，4%，3%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,例 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占35%，又知这三个厂的产品次品率分别为5% ，4%，3%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,例 设n（n2）张彩票中有1张奖券，甲、乙两人依次每人摸一张彩票，分别求甲、乙二人摸到奖券的概率.,解,设A表示“甲摸到奖券”，,B表示“乙摸到奖券”，,显然,而A发生与否直接影响B的发生的概率,而,由全概公式得：,（抽签公平性）,称此为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,证明,例1,),1,(,.,05,.,0,80,.,0,15,.,0,03,.,0,01,.,0,02,.,0,3,2,1,:,.,概率;,求它是次品的,元件,在仓库中随机地取一只,无区别的标志,且,仓库中是均匀混合的,设这三家工厂的产品在,提供元件的份额,次品率,元件制造厂,的数据,根据以往的记录有以下,件制造厂提供的,的元件是由三家元,某电子设备制造厂所用,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,例2 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中有5%呈阳性反应。设人群中有1%的人患这种病。若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？,解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”,则,由全概率公式得,由贝叶斯公式得,练习,(2),(1),解,练习1,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.,解,练习2,由贝叶斯公式得所求概率为,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,一、事件的相互独立性,二、几个重要定理,三、贝努利概型,第六节 独立性,四、小结,一、事件的相互独立性,则有,1.引例,事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,说明,2.定义,例1-31 袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。,解,设A表示“第一次取到白球”， B表示“第二次取到白球”,则问题转化为求P(AB),由于A与B相互独立，则P(AB)=P(A)(B),所以P(AB)=(5/8)*(5/8)=25/64,由于P(A) =P(B)=5/8,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考,由此可见两事件互斥但不独立.,3.三事件两两相互独立的概念,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,4.三事件相互独立的概念,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,推广2,推广1 设A1,A2,An是n个事件,如果对于任意的i, j (1i, jn), 都有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则称A1,A2,An两两相互独立.,证明,二、几个重要定理,首先证明 相互独立,证明,从而 相互独立,练习,证明,又因为 A、B 相互独立, 所以有,两个结论,例1-32 设A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且P(A)=1/3，求P(B),解,由题意,由于A与B相互独立，则,则有,也相互独立,故,例1-34 3门高射炮同时对一加敌机各射一炮, 它们击中的概率分别为 0.1, 0.2, 0.3, 求敌机恰中一弹的概率.,解,例1-30 两个射手独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8。求目标被击中的概率。,解,设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”， C表示“目标被击中”,则C=AB，P(A)=0.9，P(B)=0.8,P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),由于A与B相互独立，则P(AB)=P(A)(B),所以P(C)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98,例1-30 两个射手独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8。求目标被击中的概率。,解,设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”， C表示“目标被击中”,则C=AB，P(A)=0.9，P(B)=0.8,重要结论,若A、B相互独立，则,若A1、A2、An相互独立，则,设A，B，C分别表示3人能单独译出密码，则所求的概率为,例1-33 3人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为 ，求此密码被破译出的概率.,解,A，B，C相互独立，且,于是,练习 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?,解,事件 B 为“击落飞机”,练习,解,思考 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,解,设A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,D表示飞机被击落,则,由题意,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,1,C,P,B,P,A,P,C,P,B,P,A,P,C,P,B,P,A,P,A,P,+,+,=,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,四、n重贝努利试验,对许多随机事件，我们关心的是某件事件是否发生，例如，投掷硬币时注意的是正面是否朝上；产品抽样检查时，注意的是抽出的是否为正品；射手向目标射击时，注意的是目标是否被命中；等等，这类实验有其共同点：,（1）实验只有两个结果,（2）已知,将试验独立重复的进行n次，则称为n重贝努利试验.此类试验的概率模型称为贝努利概型.,对于n重贝努利试验，我们关心的是在n 次独立试验中事件恰好发生k（0kn）次的概率,定理1-1 在n重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为p（p），则事件恰好发生k次的概率,例1-35 一射手对一目标独立的射击次，每次射击的命中率为.，求 （）恰好命中两次的概率 （）至少命中一次的概率,解,因每次射击是相对独立的，故此问题可看作重贝努利概型，p=0.8,(1)设事件表示“次射击恰好命中次”，则所求概率为,(2)设事件B表示“次射击至少命中次”，事件表示“次射击都未命中”，则所求概率为,练习 一车间有台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t ，每台机器出故障的概率为.，问在同一时刻，（）没有机器出故障的概率；（）至多一台机器出故障的概率。,解,因在同一时刻观察台机器，它们是否出故障是相对独立的，故此问题可看作重贝努利概型，p=0.,(1)设事件表示“没有机器出故障”，则所求概率为,(2)设事件B表示“至多一台机器出故障”，事件表示“有一台机器出故障”，则所求概率为,例1-37 转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有若干台转炉同时炼钢，若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99，问同时至少要有几台转炉炼钢？,解,设有n个转炉同时炼钢，各炉是否炼出合格钢是独立的，可看作是n重贝努利试验，其中,设表示“至少能够炼出一炉合格钢”,则由题知，要求,又,则,则,故至少要有台转炉同时炼钢才能满足要求,五、小结,2.重要结论,若A、B相互独立，则,若A1、A2、An相互独立，则,在n重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为p（p），则事件恰好发生k次的概率,3、n重贝努利试验,