离散型随机变量的期望与方差第课时0000.ppt
第十一章 概率与统计,离散型随机变量的期望与方差,第 讲,2,（第二课时）,题型4 求随机变量的方差,1. 已知离散型随机变量的分布列为 设=2+3，求E，D.,解：因为 所以 点评：由随机变量的分布列直接按公式计算可求得方差.对相关的两个随机变量、，若满足一定关系式：=a+b，则E(a+b)=aE+b，D(a+b)=a2D(或D=E 2-(E)2).,设随机变量具有分布 k=1，2，3，4，5，求E(+2)2，D(2-1)，(-1). 解：因为,所以,2. 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值),题型5 期望在实际问题中的决策作用,解：(1)不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元); (2)若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85(万元)； (3)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90(万元);,(4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元). 综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少. 点评：从两种(或多种)随机实验事件方案中进行优选或决策，一般是比较它们的期望值，期望值大就是平均值大.,春节期间，某鲜花店购进某种鲜花的进货价为每束2.5元，销售价为每束5元.若在春节期间没有售完，则节后以每束1.5元的价格处理.据往年有关资料统计，春节期间这种鲜花的需求量(单位：束)服从下列分布： 问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜?,解：依据题意，售出一束鲜花获利润2.5元，处理一束鲜花亏损1元. (1)若进货20束，因为P(20)=1， 所以利润的期望值E1=1×20×2.5=50(元). (2)若进货30束，如果只能售出20束，则利润为20×2.5-10×1=40(元);如果能售出30束，则利润为30×2.5=75(元). 因为P(=20)=0.2，P(30)=0.8， 所以利润的期望值E2=0.2×40+0.8×75=68(元).,(3)若进货40束，则同理可得利润的期望值 E3=0.2×(20×2.5-20×1)+0.35×(30×2.5-10×1)+0.45×40×2.5=73.75(元). (4)若进货50束，则利润的期望值 E4=0.2×(20×2.5-30×1)+0.35×(30×2.5-20×1)+0.3×(40×2.5-10×1)+0.15×50×2.5=69(元). 因为E3最大，故该鲜花店春节前进货40束鲜花为宜.,3. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式 为 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：,题型6 期望与函数的综合应用,设L1、L2、L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量q表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润. (1)分别求利润L1、L2、L3与产量q的函数关系式； (2)当产量q确定时，求期望Eq; (3)试问产量q取何值时，Eq取得最大值.,解：(1)由题意可得 同理可得,(2)由期望的定义可知， (3)由(2)可知，Eq是产量q的函数，设,得f (q)=-q2+100. 令f (q)=0，解得q=10或q=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义，当0q10时，f (q)0;当q10时，f (q)0可知，当q=10时，f(q)取得最大值，即Eq最大时的产量q为10. 点评：若随机变量中的概率含有参数，则其期望值可转化为含参变量的函数，利用函数的一些性质可进一步讨论期望的有关问题.,小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6(a，b，cN)，小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜. (1)用a、b、c表示小张胜的概率； (2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.,解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球) (2)设小张的得分为随机变量，则,所以 因为a，b，cN，a+b+c=6， 所以b=6-a-c.当a=c=0，b=6时， E最大，为 .,有甲、乙两种钢筋，从中各抽取等量样品检查其抗拉强度指标，得如下分布列： 甲： 乙：,题型 产品质量的比较,其中、分别表示甲、乙的抗拉强度，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好? 解：因为E=110×0.1+120×0.2 +125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E=100×0.1+115×0.2+125×0.4 +130×0.1+145×0.2=125， 又D=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2 +(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1 +(135-125)2×0.2=50，,D=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2 +(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+ (145-125)2×0.2=165. 所以E=E，DD，这表明甲、乙两种钢筋的抗拉强度的平均水平一致，但甲的稳定性较乙的要好，故甲种钢筋的质量比乙种钢筋好.,1. 对离散型随机变量的方差应注意： (1)D表示随机变量对E的平均偏离程度，D越大，表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D越小，的取值越集中，在E附近.统计中常用D来描述的分散程度. (2)D与E一样也是一个实数，由的分布列唯一确定.,2.分布列、期望、方差常与应用问题结合，对此首先必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出分布列，然后按定义求期望、方差等. 3. 若B(n，p)，可以利用公式E=np，D=np(1-p)直接计算.,4. 对某些与随机变量有关的实际应用问题，常转化为期望和方差问题，通过对期望或方差的比较，确定问题的解答结果，同时注意运用分类讨论的数学思想，把问题分解为n个小问题来解决，从而降低解题难度.,
