离散时间信号z变换.ppt
第3章 离散时间信号与系统的频域分析,本章主要内容: 3.2 序列的Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域 3.2.3 逆Z变换 3.2.4 Z变换的性质和定理 3.2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,3.2 序列的Z变换,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，卷积积分等。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。,二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。,二z变换的导出,抽样信号的拉氏变换离散信号的z变换,对 取双边拉氏变换,单边z变换式为：,三对z变换式的理解,一、Z变换定义,双边Z变换,Z反变换：,单边Z变换,物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合,C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。,3.2.1 Z变换的定义,一、Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,3.2.3 逆Z变换 一、定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。,z变换公式：,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,1.留数法 由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。,二、求Z反变换的方法,2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。,通常，X(z)可表示 成有理分式形式：,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，MN时，才存在Bn，Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：,的z反变换。,例3-6 利用部分分式法，求,解：,分别求出各部分分式的z反变换，然后相加即得X(z)的z反变换。,3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。,3.2.4 Z变换的性质和定理 如果 则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,例3-8 已知 ,求其z变换。,解：,2. 序列的移位,如果 则有：,例3-9 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3) 的z变换。,3. Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,如果,，则,另一种形式：,5. 共轭序列,如果,，则,证明：,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：,7. 初值定理,证明：,8. 终值定理,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,9.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例3-10,解：,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）,如果,则有:,*几点说明：,3.2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,一、Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则,序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：,因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。,(1) r与的关系,= 0，S平面的实轴，= 0，Z平面正实轴； =0(常数)，S:平行实轴的直线; = 0T, Z:始于原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.,0,jImZ,ReZ,(2) 与的关系（=T）,二、Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,
