运动方程及其解.ppt
1.运动方程及其解,振动物体不受阻力作用，只在回复力作用下的振动称为无阻尼自由振动。但振动时的阻尼是不可避免的，例如空气的阻力、弹簧伸缩时的内摩擦、能量的辐射等，均可将它们等效为摩擦阻尼。在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。,§ 15-3 阻尼与受迫振动,一. 阻尼振动,物体在速度不太大时，其阻力与速度大小成正比而反向, 称为阻力系数，由物体的形状、大小和介质的性质决定。,质量为m的物体在回复力和阻力作用下的运动方程为,令,严格说，阻尼振动不是周期性振动。称为准周期性振动。,将振动物体两次通过极大（极小）位置经历的时间叫做阻尼振动的周期。,显然，其周期比无阻尼时长。,2. 阻尼因数对振动的影响,1、2为阻尼振动状态，3为临界阻尼状态，4、5为过阻尼状态。用灵敏电流计测微电流时，往往将电流设计在临界阻尼状态以减小表针达到平衡状态的时间。,二. 受迫振动,为能获得稳定的振动，对振动系统作用一周期性外力。物体在周期性外力作用下的振动称为受迫振动。这种周期性外力称为强迫力。喇叭纸盆的振动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。,1.运动方程及其解,该微分方程的解为,该解的第一项随时间迅速衰减，称为暂态解，第二项不随时间衰减，称为稳态解。,达到稳定状态时，受迫振动的角频率不是振子的固有频率而是强迫力的角频率；受迫振动的振幅和初相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。,2. 共振（resonance),理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为,稳态时物体的速度,速度振幅,受迫振动时，振动物体因强迫力作功获得能量，而因阻尼作用而消耗能量。在稳态振动情况下，一周期内外力所作功恰好补偿阻尼消耗的能量，因而系统维持等幅振动。,位移共振,对一定的振动系统，如果强迫力的幅值一定，稳态时位移振幅随强迫力的频率改变。,当强迫力的角频率为某个特定值时，位移振幅达到最大值，把这种位移振幅达到最大值的现象叫做位移共振。,由,求得共振圆频率为,共振时的位移振幅为,速度共振,受迫振动的速度在一定条件下也会发生共振，其共振圆频率为,这表明，当强迫力的频率等于系统固有频率0时，速度幅值达到最大值。在给定幅值的周期性外力作用下，振动时的阻尼愈小，速度幅值的极大值也越大，共振曲线越为尖锐。,共振的危害与利用,危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，,利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共振,受迫振动与无阻尼简谐振动的区别,尽管受迫振动与无阻尼简谐振动的表达式相似，受迫振动的受力与无阻尼简谐振动的受力不同，运动情况也不同。受迫振动以强迫力的频率振动，阻力消耗的能量由强迫力作功补偿；无阻尼简谐振动以系统固有频率振动，不消耗能量。,无阻尼简谐振动的振幅和初位相由初始条件决定；稳定的受迫振动的振幅和初位相由系统性质及强迫力性质共同决定，与初始条件无关。,§15-4 电磁振荡,电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡，产生电磁振荡的的电路称为振荡电路，最简单的振荡电路由一个电容和一个自感线圈组成，称为LC振荡电路。,1. LC电路的振荡,使电源给电容器充电，然后将开关接通电感器，在此瞬间电容器上的电荷最多，两极板间的场强最大，电场的能量全部集中在两极板之间。,电容器放电时自感线圈（电路）中的电流逐渐增大到最大值，电容器上的电荷逐渐减小为零。电流激发的磁场随之增大到最大，此过程电容器中电场的能量全部转化为线圈中磁场的能量。,电容器放电结束时电路中的电流最大，由于电磁惯性，电流将对电容器作反向充电，当电流减小为零时，电容器的电荷量达到反向的最大值。线圈内的磁场能量重又转化为电场的能量。,随后电容器又进行反向放电，又将电场的能量转化为磁场的能量；再后电容器又被充电，回复原状。,可见，LC电路中电容器上的电荷及电路中的电流均作周期性变化，电场与磁场的能量相应作周期性变化。,如电路中无能量损耗，这种周期性变化将持续下去，这种情况称为无阻尼的自由振荡。其变化规律可与弹簧振子的自由振动相类比，电容器中的电荷与弹簧振子的位移变化相对应，线圈中的电流与弹簧振子的速度相对应，磁场的能量对应于机械振动的动能，电场的能量对应于机械振动的势能。,2电流随时间的变化规律,设t时刻电容器极板上的电量为q，电路中的电流为i，回路电流沿顺时针方向。线圈两端的电势差等于电容器极板间的电势差，有,由于电流的方向使电容器的电量减少，故有,令,得,即,上述微分方程的解为,振荡的频率和周期分别为,对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流,3LC振荡电路的能量,任意时刻t电容器中的电场能量,任意时刻t线圈中的磁场能量,无阻尼自由振荡电路的电磁能量是守恒的。,2. 阻尼振荡,实际电路总有电阻存在，因此是RLC电路，与机械振动类比，微分方程为,阻尼不大时方程的解为,因电路有电阻存在，电容器上的电量及电路中的电流均振幅渐次降低并趋近于零。,3. 受迫振荡 电共振,如在RLC电路中接入一电动势周期性变化的电源补偿电路消耗的能量，则能使电路中的电流振幅维持不变。这种在周期性外电动势持续作用下的振荡称为受迫振荡。,其稳态解为,电路中的电流为,
