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第三章 行波法与积分变换法,一 行波法,适用范围： 无界域内波动方程，等,1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。,关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,一维波动方程的达朗贝尔公式,行波法,结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。,a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波,4 解的物理意义,b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,5 达朗贝尔公式的应用,特征线,特征变换,行波法又叫特征线法,6 相关概念,7 非齐次问题的处理,利用叠加原理将问题进行分解：,利用齐次化原理，若 满足：,则：,令：,从而原问题的解为,双曲型方程,椭圆型方程,抛物型方程,特征方程,例1 解定解问题,解,例2 求解,解：特征方程为,令：,例3 求解Goursat问题,解：令,补充作业：,解定解问题,二 积分变换法,1 傅立叶变换法,傅立叶变换的性质,微分性,位移性,积分性,相似性,傅立叶变换的定义,偏微分方程变常微分方程,例1 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,例2 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,2 拉氏变换法,拉普拉斯变换的性质,微分性,相似性,拉普拉斯变换的定义,偏微分方程变常微分方程,例3 解定解问题,解：对t求拉氏变换,例4 解定解问题,解：对x求傅氏变换,对t求拉氏变换,例5 解定解问题,解：对t求拉氏变换,对x求傅氏变换,例6 求方程,解法一：,解法二：对y求拉氏变换,例7 解定解问题,解：对t取拉氏变换,x取傅立叶变换,其中,3 积分变换法求解问题的步骤,对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程,对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件,对常微分方程，求原定解条件解的变换式,对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解,4 积分变换法求解问题的注意事项,如何选取适当的积分变换,定解条件中那些需要积分变换，那些不需取,如何取逆变换,思考,利用积分变换方法求解问题的好处是什么？,