复旦修订版刘金旺3向量组与向量空间.ppt
第三章 向量与向量空间,第一节 n维向量,第二节 线性相关与线性无关,第三节 线性相关性的判别定理,第四节 向量组的秩,第五节 向量空间,§1 n维向量,用小写的粗黑体字母来表示向量 。,返回,上一页,下一页,数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。,n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定义4 分量全为零的向量 （0，0，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,-an） 称为 的负向量，记为 。,向量的减法定义为,向量的加法与数乘具有下列性质 ：,返回,上一页,下一页,满足（1）（8）的运算称为线性运算。,返回,上一页,下一页,§2 线性相关与线性无关,返回,上一页,下一页,当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,ks）使,返回,上一页,下一页,也可用矩阵形式表示：,返回,上一页,下一页,若所给向量均为行向量，则有,若所给向量均为列向量，则有,返回,上一页,下一页,解 假设存在一组常数k1,k2,kn 使得,所以,即 k1=k2=kn=0,因此 线性关。,返回,上一页,下一页,证 假设存在一组常数k1,k2,k3 使得,由 线性无关，故有,由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0,所以 线性无关。,返回,上一页,下一页,设k10,那么,返回,上一页,下一页,例如，向量组,是线性相关的，因为,对于只有两个向量a，b的向量组，由定理可得，a， b线性相关的充分必要条件是a， b的对应分量成比例。,返回,上一页,下一页,证 由于 线性相关，就有不全为零的数k1,k2, kt,k，使,返回,上一页,下一页,设,因此表示式是唯一的。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,有,返回,上一页,下一页,向量组的等价具有下述性质：,返回,上一页,下一页,§3 线性相关性的判别定理,定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。,设这个部分组为 。则有不全为零的数k1,k2, ,kr，使,推论 含有零向量的向量组必线性相关。,返回,上一页,下一页,证 对任意的常数k1,k2,ks，,返回,上一页,下一页,上两式只是各分量的排列顺序不同，因此,当且仅当,返回,上一页,下一页,证 对列向量来证明定理。,返回,上一页,下一页,利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。,返回,上一页,下一页,引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,返回,上一页,下一页,推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。,返回,上一页,下一页,回顾：矩阵的秩,定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式 规定：零矩阵的秩等于零,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数,向量组的秩的概念,定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ,§4 向量组的秩,定义8 设存在向量组a1 ,a2, as 的一个部分组,满足：,(1)部分组,线性无关。,(2)部分组,都有,线性相关。,则称部分组,是向量组a1 ,a2, as 的一个,极大线性无关组（简称为极大无关组）。,满足：,定义8若向量组a1,a2, as的一个部分组,性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。,性质2 一向量组的任意两极大线性无关组都等价。,性质3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量。,定义9 向量组a1,a2, ,as 的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为,定理9 向量组任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。,推论 秩为r的向量组中，任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。,引理 设a1,a2,ar是r个n维向量(rn),则a1,a2,as,线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,ar)至少,存在一个r阶子式不为零。,定理10 设A为m×n矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量 组的秩，也等于它的行向量组的秩。,推论 矩阵A的秩与列秩相等。,§5 向量空间,定义15 设V为n维向量的集合，如果V非空且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的 和常数k都有 就称集合V为一个向量空间。,例 n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3维向量可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。,例 n维零向量所形成的集合0构成一个向量空间。,返回,上一页,下一页,定义16 如果V1和V2都是向量空间且 ,就称V1是V2的子空间。,如果向量空间V没有基，就说V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量。,返回,上一页,下一页,如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。,解 由,知 线性无关， 因此 是R3的一个基。,返回,上一页,下一页,且存在有限个初等矩阵P1，P2，Pl，使得 P1P2PlA=E, (1) 则A-1=P1P2Pl,返回,上一页,下一页,（）说明A经过有限次初等行变换变成E,（）说明B经过有限次初等行变换变成X,故可用初等行变换求X,因此只需对矩阵(A¦B) 作初等行变换，当把A变为E时，B就变成了A-1B。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,所以,返回,上一页,
