2018中考数学专题突破导学练第1讲实数及其运算试题20170731235.wps

第 1 1 讲 实数及其运算 【新课标解读】 了解：近似数与有效数字、科学记数法 理解：有理数、无理数、相反数、绝对值，实数及其分类，实数与数轴，估算 掌握：数轴，有理数的大小比较，有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，运用有 理数运算解决简单的问题，对含有较大数字的信息做出合理的解释和推断，实数的运算。 【知识点归纳】 1.正数和负数 （1）正数：大于 0“的数。负数：在正数前面加上负号 -”的数。 （2）可正、负数表示具有相反意义的量。相反意义的量必须：一是意义相反，二是具有一定 的数量而且是同类的量。 2.有理数的分类 （1）按正、负分类 有理数分为正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数） （2）按整数、分数分类 有理数分为整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数） 整数与分数对应，正数与负数对应。 3.数轴 （1）数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 （2）数轴的画法 数轴的画法可分为四个步骤：画一条水平的直线；在直线上适当选取一 点为原点；确定向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）；根据需 要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点 4.相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0 的相反数是 0，数 a 的相反数是-a （2“）带负号的多重符号的数的化简法则：化简的结果由 -”“号的个数决定，与 +”号无关， “如果 -”“号的个数是奇数，结果为 -”； “如果 -”“号的个数是偶数，结果为 +”。 5.绝对值 （1）在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作为|a| （2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是 0。 1 6.有理数的加法和差法 （1）有理数的加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 一个数同 0 相加，仍得这个数 （2）有理数的减法 减去一个数,等于加上这个数的相反数,即 a-b=a+(-b) (3)有理数加减混合运算的方法和步骤 有理数加减混合运算的方法和步骤：将算式中的减法都转化为加法；省略括号和括号 前面的加号； 利用加法法则和加法运算律计算 7.有理数的乘法和除法 （1）有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。 （2）有理数的除法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝 对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 （3）有理数的乘除混合运算 按从左到右的顺序计算，不能先算乘法，后算除法。 8.有理数的乘方及混合运算 （1）有理数的乘方 正数的任何正整数次幂都是正数，负数的奇数幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何 正整数次幂都是 0。 （2）有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 9.近似数 近似数和准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个 数精确到哪一位，精确度就是精确程度。 取某数近似数常见的方法：精确到某位或精确到小数点后某位，一个近似数四舍五入到 2 哪一位，就说这个近似数表确到哪一位。如：近似数 0.98精确到百分位或精确到 0.01；对 较大的数取近似数时,结果一般用科学记数法来表示。 10.有效数字 （1）从一个数的左边第一个非 0 数字起，到精确的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数 字。 （2）由近似数确定有效数字的方法： 近似数是小数或整数的形式 在确定一个近似数的有效数字时，应该注意对 0 的处理，因为有效数字是从左边第一个不 为 0 的数字起，到末位数字为止。“0”有三处位置：“前 0”“中 0”“后 0”，“前 0”“不算， 中 0”“后 0”不能丢，而且一个数的有效数字中不管有多少 0 或其他重复的数字，都要逐个写出。 近似数是科学记数法的形式 用科学记数法表示的近似数的有效数字，要根据科学记数法 a×10n中的情况，一般地，a 中含有的数字都是有效数字。 近似数是带有文字单位的形式 带有文字单位的近似数，有效数字是文字单位前面的数，与文字单位无关。 11.科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整 数），这种记数的方法叫做科学记数法。 12.实数的相关概念 （1）有理数：整数和分数统称为有理数。有理数的识别：任何分数都是有理数，有限小数 和无限循环小数也都是有理数0 既不是正数也不是负数，是自然数。 （2）无理数：无限不循环小数，叫做无理数。无理数常见的四种形式：根号型：开方开不 尽的数，如 2 ；三角函数型：如 sin45° 无限不循环小数：如 0.1010010001; 与 有关的数，如：6 (3)实数:有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴 数轴上的点与实数是一一对应的关系,即数轴上的每一个点都可以用实数表示,反之,任何 一个实数都可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应,这也是数形结合的体现. 13.实数的运算 3 (1)实数的运算顺序：先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号先算括号里面的，若没有，在 同一级运算中按从左到右的顺序进行。 （2）任何非零数的零次幂都等于 1，即表达式为 a0=1(a0)；任何不等于 0 的数的-p 次幂， 等于这个数 p 次幂的倒数，即a p p 1 a p (3)遇到绝对值，要先去掉绝对值符号，再进行计算。 【重难点指导】 重点：用正、负数表示具有相反意义的量以及相反数、绝对值的求法；有理数的基本运算；考 查有效数字及用科学记数法表示一些绝对值较大的数；与实数相关的概念，实数与数轴上的点 的对应关系，比较实数大小的方法，实数运算。 难点：绝对值的综合运用；有理数的混合运算；有效数字的辨认；实数的运算。 【考点类型详解】 考点一. .有理数的相关概念 例题：（2016·2016·四川攀枝花） 下列各数中，不是负数的是（ ） A2 B3 C D0.10 【考点】正数和负数 【分析】利用负数的定义判断即可得到结果 【解答】解：A、2 是负数，故本选项不符合题意； B、3 是正数，不是负数，故本选项符合题意； C、 是负数，故本选项不符合题意； D、0.10是负数，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】此题考查了正数与负数，分清正数与负数是解本题的关键 一题多变练习： 变式：（ 2016宜 昌 ） 如 果 “盈 利 5%”记 作 +5%， 那 么 3%表 示 （ ） A 亏 损 3% B 亏 损 8% C 盈 利 2% D 少 赚 3% 【 分 析 】 首 先 审 清 题 意 ， 明 确 “正 ”和 “负 ”所 表 示 的 意 义 ； 再 根 据 题 意 作 答 【 解 答 】 解 ： 盈 利 5%”记 作 +5%， 3%表 示 表 示 亏 损 3% 4 故 选 ： A 【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 正 负 数 的 意 义 ， 解 题 关 键 是 理 解 “正 ”和 “负 ”的 相 对 性 ， 明 确 什 么 是 一 对 具 有 相 反 意 义 的 量 在 一 对 具 有 相 反 意 义 的 量 中 ， 先 规 定 其 中 一 个 为 正 ， 则 另 一 个 就 用 负 表 示 考点二. .数轴、相反数、绝对值 例题：（2017.2017.湖南怀化）2 的倒数是（ ） A2 B2 C D 【考点】17：倒数 【分析】根据倒数的定义求解即可 【解答】解：2 得到数是 ， 故选：C 一题多变练习： （2017.江苏宿迁）5 的相反数是（ ） A5 B C D5 【考点】14：相反数 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：根据相反数的定义：5 的相反数是5 故选 D 考点三. .实数的简单运算 例题; ; 计算（1）+|1|，其结果为（ ） A2 B2 C0 D1 【考点】19：有理数的加法；15：绝对值 【分析】根据有理数的加法和绝对值可以解答本题 【解答】解：（1）+|1| =1+1 =2， 故选 B 一题多变练习： 变式：（2017新疆）下列四个数中，最小的数是（ ） 5 A1 B0 C D3 【考点】：有理数大小比较 【分析】根据有理数的大小比较方法：负数0正数，找出最小的数即可 【解答】解：10 3， 四个数中最小的数是1 故选：A 【点评】本题考查了有理数大小比较的方法：正数都大于 0；负数都小于 0；两个负数，绝对 值大的反而小比较有理数的大小也可以利用数轴，他们从左到右的顺序，就是从大到小的顺 序 考点四. .近似数与科学记数法 例题：（2017.2017.湖南怀化）“”为了贯彻习近平总书记提出的 精准扶贫 战略构想，怀化市 2016 年共扶贫 149700人，将 149700 用科学记数法表示为（ ） A1.497×105 B14.97×104 C0.1497×106 D1.497×106 【考点】1I：科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝 对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 149700用科学记数法表示为 1.497×105， 故选：A 一题多变练习： （2017.江苏宿迁）全球平均每年发生雷电次数约为 16000000次，将 16000000 用科学记数法 表示是 1.6×107 【考点】1I：科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝 对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：16 000 000=1.6×107， 故答案为：1.6×107 考点五. .与实数有关的概念 6 例题：（2016 贵州毕节 3 分） 的算术平方根是（ ） A2 B±2 C D 【考点】立方根；算术平方根 【分析】首先根据立方根的定义求出 的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解： =2，2 的算术平方根是 故选：C 一题多变练习： （ 2016台 湾 ） 判 断 2 1 之 值 介 于 下 列 哪 两 个 整 数 之 间 ？ （ ） A 3， 4 B 4， 5 C 5， 6 D 6， 7 【 分 析 】 由 2 即 6 2 7， 由 不 等 式 性 质 可 得 2 1 的 范 围 可 得 答 案 【 解 答 】 解 ： 2 = ， 且 ， 即 6 2 7， 5 2 1 6， 故 选 ： C 【 点 评 】 本 题 考 查 了 估 算 无 理 数 大 小 的 知 识 ， 注 意 夹 逼 法 的 运 用 是 解 题 关 键 考点六. .实数综合运算 例题：（2017.2017.湖南怀化）计算：| 1|+0（ ）13tan30°+ 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值 【分析】 1 是正数，所以它的绝对值是本身，任何不为 0 的零次幂都是 1， =4， tan30°= ， 表示 8 的立方根，是 2，分别代入计算可得结果 【解答】解：| 1|+0（ ）13tan30°+ ， = 1+143× +2， = 4 +2， =2 【达标检测评价】 1.1. -2的倒数是（ ） A 1 B 2 1 2 C-2 D2 7 【考点】互为倒数的定义 【分析】性质符号相同，分子分母位置颠倒的两个数称为互为倒数 1 【解析】： -2的倒数是 ，答案 A 2 2.2. （2017.2017.四川眉山）某微生物的直径为 0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（ ） A5.035×106 B50.35×105 C5.035×106 D5.035×105 【考点】1J：科学记数法表示较小的数 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10n，与较大数的 科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为 5.035×106， 故选：A 3.3.（20172017四川绵阳）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，0.5 的相反数 是（ ） A0.5 B±0.5 C0.5 D5 【考点】14：相反数 【分析】根据相反数的定义求解即可 【解答】解：0.5 的相反数是 0.5， 故选：A 4.4. （2016·广西百色·3分）计算：23=（ ） A5 B6 C8 D9 【考点】有理数的乘方 【分析】根据立方的计算法则计算即可求解 【解答】解：23=8 故选：C 5.5. 下列四个数中，比3 小的数是（ ） A0 B1 C1 D5 【考点】有理数大小比较 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 8 【解答】解：53101， 所以比3 小的数是5， 故选 D 6.6. （2016·山东省菏泽市·3分）当 1a2 时，代数式|a2|+|1a|的值是（ ） A1 B1 C3 D3 【考点】代数式求值；绝对值 【专题】计算题 【分析】根据 a 的取值范围，先去绝对值符号，再计算求值 【解答】解：当 1a2 时， |a2|+|1a|=2a+a1=1 故选：B 【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值，关键是根据a 的取值，先去绝对值符号 7.7. （2016贵州毕节 3 分）估计 的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到 6 之间 【考点】估算无理数的大小 【分析】”“利用 夹逼法 得出 的范围，继而也可得出 的范围 【解答】解：2= =3， 3 4， 故选 B 8.8. （ 2016天 津 ）实 数 a，b 在 数 轴 上 的 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ，把 a，b，0 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 正 确 的 是 （ ） A a 0 b B 0 a b C b 0 a D 0 b a 【 分 析 】根 据 数 轴 得 出 a 0 b，求 出 a b，b 0，a 0，即 可 得 出 答 案 【 解 答 】 解 ： 从 数 轴 可 知 ： a 0 b， a b， b 0， a 0， b 0 a， 故 选 C 9 【 点 评 】本 题 考 查 了 数 轴 ，有 理 数 的 大 小 比 较 的 应 用 ，能 根 据 数 轴 得 出 b 0 a， 是 解 此 题 的 关 键 9.9. 计算： +（ 3）0| |21cos60°= 【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函 数值 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算 【解答】解：原式= +12 = 故答案为 10.10. （2017.江苏宿迁）计算：|3|+（1）42tan45°（1）0 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简求出答 案 【解答】解：原式=3+12×11 =1 10