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    2018中考数学专题突破导学练第20讲锐角三角函数试题20170731236.wps

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    2018中考数学专题突破导学练第20讲锐角三角函数试题20170731236.wps

    第 2020 讲 锐角三角函数 【知识梳理】 1.锐角三角函数概念: RtABC 中 (1)A 的对边与斜边的比值是A 的正弦,记作 sinA A 的 对 边 斜 边 (2)A 的邻边与斜边的比值是A 的余弦,记作 cosA A 的 邻 边 斜 边 (3)A 的对边与邻边的比值是A 的正切,记作 tanA A 的 对 边 A 的 邻 边 2.特殊角的三角函数值: a sina cosa tana 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 【考点解析】 考点一:锐角三角函数 【例 1 1】(2017山东滨州)如图,在ABC中,ACBC,ABC=30°,点 D 是 CB 延长线上的一 点,且 BD=BA,则 tanDAC 的值为( ) A2+ B2 C3+ D3 【考点】T7:解直角三角形 【分析】通过解直角ABC 得到 AC 与 BC、AB间的数量关系,然后利用锐角三角函数的定义求 tan DAC 的值 1 【解答】解:如图,在ABC 中,ACBC,ABC=30°, AB=2AC,BC= = AC BD=BA, DC=BD+BC=(2+ )AC, tanDAC= = =2+ 故选:A 考点二、特殊角的三角函数值 【例 2 2】(2017玉林)计算:(2017)0+ 2tan45° 【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;T5:特殊角的三角函数值. 【专题】11 :计算题 【分析】首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可 【解答】解:(2017)0+ 2tan45° =1+22×1 =1 【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运 算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有 括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行另外,有理数的运算律在实 数范围内仍然适用 考点三、解直角三角形及其应用 【例 3 3】(2017玉林)如图,一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上,轮船沿正 东方向航行 30海里到达 B 处后,此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上,此时轮船与灯塔 P 的距离是( ) A15 海里 B30海里 C45海里 D30 海里 【考点】TB:解直角三角形的应用方向角问题;KU:勾股定理的应用. 【分析】作 CDAB,垂足为 D构建直角三角形后,根据 30°的角对的直角边是斜边的一半, 求出 BP 【解答】解:作 BDAP,垂足为 D 2 根据题意,得BAD=30°,BD=15 海里, PBD=60°, 则DPB=30°,BP=15×2=30(海里), 故选:B 【点评】本题考查了解直角三角形,解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线 【中考热点】 (2017 张家界)位于张家界核心景区的贺龙铜像,是我国近百年来最大的铜像铜像由像体 AD 和底座 CD两部分组成如图,在 RtABC 中,ABC=70.5°,在 RtDBC 中,DBC=45°, 且 CD=2.3 米,求像体 AD 的高度(最后结果精确到 0.1 米,参考数据:sin70.5°0.943, cos70.5°0.334,tan70.5°2.824) 【考点】T8:解直角三角形的应用 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 BC的长,再利用 tan70.5°= 求出答案 【解答】解:在 RtDBC中,DBC=45°,且 CD=2.3米, BC=2.3m, 在 RtABC中,ABC=70.5°, tan70.5°= = 2.824, 解得:AD4.2, 3 答:像体 AD 的高度约为 4.2m 【达标检测】 1. (2017温州)如图,一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米,已知 cos= ,则小 车上升的高度是( ) A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米 【考点】T9:解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】在 RtABC 中,先求出 AB,再利用勾股定理求出 BC即可 【解答】解:如图 AC=13,作 CBAB, cos= = , AB=12, BC= =132122=5, 小车上升的高度是 5m 故选 A 【点评】此题主要考查解直角三角形,锐角三角函数,勾股定理等知识,解题的关键是学会构 造直角三角形解决问题,属于中考常考题型 2. (20152015,广西玉林,2 2,3 3 分)计算:cos245°+sin245°=( ) A B 1 C D 考点:特殊角的三角函数值 分析:首先根据 cos45°=sin45°= ,分别求出 cos245°、sin245°的值是多少;然后把它 们求和,求出 cos245°+sin245°的值是多少即可 解答: 解:cos45°=sin45°= , cos245°+sin245° = 4 = =1 故选:B 点评: 此题主要考查了特殊角的三角函数值,要熟练掌握,解答此类问题的关键是要明确: (1)30°、45°、60°角的各种三角函数值;(2)一个角正弦的平方加余弦的平方等于 1 3.如图,在 RtABC 中,C=90°,AB=13,AC=7,则 sinB= 考点:锐角三角函数的定义;勾股定理 分析:根据锐角三角函数定义直接进行解答 解答: 解:在 RtABC中,C=90°,AB=13,AC=7, sinB= = 故答案是: 点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边, 余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边 4. 计算:| 1|+20120()13tan30° 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 专题: 计算题 分析: 根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则,以及特殊三角函数值计算即 可 解答: 解:原式= 1+1(3)3× = +3 =3 点评: 本题考查了实数的运算,解题的关键是掌握有关运算的法则 5. (2017黑龙江)ABC 中,AB=12,AC= ,B=30°,则ABC 的面积是 21 或 15 【考点】T7:解直角三角形 【专题】32 :分类讨论 【分析】过 A 作 ADBC于 D(或延长线于 D),根据含 30 度角的直角三角形的性质得到 AD 的 长,再根据勾股定理得到 BD,CD 的长,再分两种情况:如图 1,当 AD在ABC内部时、如图 5 2,当 AD 在ABC 外部时,进行讨论即可求解 【解答】解:如图 1,作 ADBC,垂足为点 D, 在 RtABD中,AB=12、B=30°, AD= AB=6,BD=ABcosB=12× =6 , 在 RtACD中,CD= = = , BC=BD+CD=6 + =7 , 则 SABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ; 如图 2,作 ADBC,交 BC 延长线于点 D, 由知,AD=6、BD=6 、CD= , 则 BC=BDCD=5 , SABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 , 故答案为:21 或 15 【点评】本题主要考查了解直角三角形,勾股定理,本题关键是得到 BC和 AD 的长,同时注意 分类思想的运用 6 6. 小华为了测量楼房 AB的高度,他从楼底的 B 处沿着斜坡向上行走 20m,到达坡顶 D 处已 知斜坡的坡角为 15°(以下计算结果精确到 0.1m) (1)求小华此时与地面的垂直距离 CD的值; (2)小华的身高 ED是 1.6m,他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45°,求楼房 AB 的高度 考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析: (1)利用在 RtBCD 中,CBD=15°,BD=20,得出 CD=BDsin15°求得答案即可; (2)由图可知:AB=AF+DE+CD,利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得 AF 得出答 案即可 解答: 解:(1)在 RtBCD 中,CBD=15°,BD=20, CD=BDsin15°, CD=5.2(m) 答:小华与地面的垂直距离 CD 的值是 5.2m; (2)在 RtAFE中, AEF=45°, AF=EF=BC, 由(1)知,BC=BDcos15°19.3(m), AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1(m) 答:楼房 AB 的高度是 26.1m 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题,解题的关 键是构造直角三角形 7. (2017 江西)如图 1“”,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的 视线角 约 为 20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角” 约为 100°图 2 是其侧面简化示意 图,其中视线 AB 水平,且与屏幕 BC垂直 (1)若屏幕上下宽 BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离 AB的长; (2)若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm,上臂 DE=30cm,下臂 EF 水平放置在键盘上,其到地 面的距离 FH=72cm请判断此时 是否符合科学要求的 100°? (参考数据:sin69° ,cos21° ,tan20° ,tan43° ,所有结果精确到 个位) 7 【考点】T8:解直角三角形的应用 【分析】(1)RtABC中利用三角函数即可直接求解; (2)延长 FE 交 DG于点 I,利用三角函数求得DEI即可求得 的值,从而作出判断 【解答】解:(1)RtABC中,tanA= , AB= = = =55(cm); (2)延长 FE 交 DG于点 I 则 DI=DGFH=10072=28(cm) 在 RtDEI中,sinDEI= = = , DEI=69°, =180°69°=111°100°, 此时 不是符合科学要求的 100° 8 8.(2017宁德)如图,在边长为 1 的正方形组成的 5×8 方格中,ABC的顶点都在格点上 (1)在给定的方格中,以直线 AB 为对称轴,画出ABC 的轴对称图形ABD (2)求 sinABD的值 【考点】P7:作图轴对称变换;T7:解直角三角形 【分析】(1)根据格点的特点作出点 C 关于直线 AB 的对称点 D,连接 AD,BD即可; (2)根据格点的特点可知DBC=90°,再由轴对称的性质可知ABD=ABC=45°,据此可得 出结论 【解答】解:(1)如图,ABD即为所求; (2)由图可知,DBC=90°, 点 C 与点 D 关于直线 AB的对称, ABD=ABC=45°, sinABD=sin45°= 【点评】本题考查的是作图轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键 9. (20172017 湖南株洲) 如图示一架水平飞行的无人机 AB的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的 俯角为 其中 tan=2 ,无人机的飞行高度 AH 为 500 米,桥的长度为 1255 米 求点 H 到桥左端点 P 的距离; 若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°,求这架无人机的长度 AB 9 【考点】TA:解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】在 RtAHP中,由 tanAPH=tan= ,即可解决问题; 设 BCHQ于 C在 RtBCQ 中,求出 CQ= =1500米,由 PQ=1255米,可得 CP=245 米,再根据 AB=HC=PHPC 计算即可; 【解答】解:在 RtAHP中,AH=500 , 由 tanAPH=tan= = =2 ,可得 PH=250米 点 H 到桥左端点 P 的距离为 250米 设 BCHQ于 C 在 RtBCQ中,BC=AH=500 ,BQC=30°, CQ= =1500米, PQ=1255 米, CP=245 米, HP=250 米, AB=HC=250245=5 米 答:这架无人机的长度 AB为 5 米 10. (2017 乌鲁木齐)一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60°方向,距离港口 20 海里 B 处,它沿 北偏西 37°方向航行至 C 处突然出现故障,在 C 处等待救援,B,C 之间的距离为 10 海里,救 援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处,求救援的艇的航行速度(sin37°0.6,cos37° 0.8, 1.732,结果取整数) 10 【考点】TB:解直角三角形的应用方向角问题 【分析】辅助线如图所示:BDAD,BECE,CFAF,在 RtABD中,根据勾股定理可求 AD, 在 RtBCE中,根据三角函数可求 CE,EB,在 RtAFC 中,根据勾股定理可求 AC, 再根据路程÷时间=速度求解即可 【解答】解:辅助线如图所示: BDAD,BECE,CFAF, 有题意知,FAB=60°,CBE=37°, BAD=30°, AB=20 海里, BD=10 海里, 在 RtABD中,AD= =10 17.32海里, 在 RtBCE中,sin37°= , CE=BCsin37°0.6×10=6 海里, cos37°= , EB=BCcos37°0.8×10=8 海里, EF=AD=17.32 海里, FC=EFCE=11.32海里, AF=ED=EB+BD=18 海里, 在 RtAFC中, AC= = 21.26 海里, 11 21.26×364 海里/小时 答:救援的艇的航行速度大约是 64海里/小时 12

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