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    2018中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题20170731240.wps

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    2018中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题20170731240.wps

    第 2424 讲 梯 形 【知识梳理】 1.梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2.特殊梯形的分类:直角梯形和等腰梯形. (1)直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 (2)等腰梯形的定义:两腰相等的梯形. 3. 特殊梯形的性质与判定: (1)等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 4.梯形中常规辅助线的添加方式: 本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究,要求学生在学习过程中多动手多动脑, 把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点, 这样有利于学生对知识的把握。 【考点解析】 考点一:梯形的有关计算 【例 1 1】如图所示,四边形 ABCD是梯形,ADBC,CA是BCD的平分线,且 ABAC,AB=4, AD=6,则 tanB=( ) 11 A2 3 B2 2 C D 4 5 5 4 思路分析:先判断 DA=DC,过点 D 作 DEAB,交 AC于点 F,交 BC于点 E,由等腰三角形的性 质,可得点 F 是 AC中点,继而可得 EF是CAB的中位线,继而得出 EF、DF的长度,在 RtADF 中求出 AF,然后得出 AC,tanB 的值即可计算 解:CA 是BCD 的平分线, 1 DCA=ACB, 又ADBC, ACB=CAD, DAC=DCA, DA=DC, 如图,过点 D 作 DEAB,交 AC 于点 F,交 BC于点 E, ABAC, DEAC(等腰三角形三线合一的性质), 点 F 是 AC中点, AF=CF, EF 是CAB 的中位线, 1 EF= AB=2, 2 AF DF =1, FC EF EF=DF=2, 在 RtADF中,AF= AD2 DF2 4 2 , 则 AC=2AF=8 2 , AC 8 2 2 2 AB 4 tanB= 故选 B 点 评:本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理,解答本题的 关键是作出辅助线,判断点 F 是 AC中点,难度较大 考点二、等腰梯形的性质 【例 2 2】如图,梯形 ABCD中,ADBC,ABDE,DEC=C,求证:梯形 ABCD是等腰梯形 2 思路分析:由 ABDE,DEC=C,易证得B=C,又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯 形,即可证得结论 证明:ABDE, DEC=B, DEC=C, B=C, 梯形 ABCD是等腰梯形 点 评:此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单,注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等 腰梯形定理的应用,注意数形结合思想的应用 考点三、梯形的判定 【例 4 4】如图,梯形 ABCD中,ADBC,点 M 是 AD 的中点,不添加辅助线,梯形满足 AB=DC (或 ABC=DCB 、 A=D )等 条件时,有 MB=MC(只填一个即可) 考点: 梯形;全等三角形的判定. 专题: 开放型 分析: 根据题意得出ABMDCM,进而得出 MB=MC 解答: 解:当 AB=DC 时,梯形 ABCD 中,ADBC, 则A=D, 点 M 是 AD的中点, AM=MD, 在ABM 和DCM 中, , 3 ABMDCM(SAS), MB=MC, 同理可得出:ABC=DCB、A=D 时都可以得出 MB=MC, 故答案为:AB=DC(或ABC=DCB、A=D)等 点评: 此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质,得出ABMDCM 是解 题关键 【中考热点】 如图 1,在梯形 ABCD中,ABCD,B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P 为线段 BC上的一动点, 且和 B、C 不重合,连接 PA,过 P 作 PEPA交 CD 所在直线于 E设 BP=x,CE=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD上,求 m 的取值范围; (3)如图 2,若 m=4,将PEC沿 PE翻折至PEG位置,BAG=90°,求 BP长 思路分析:(1)证明ABPPCE,利用比例线段关系求出 y 与 x 的函数关系式; (2)根据(1)中求出的 y 与 x 的关系式,利用二次函数性质,求出其最大值,列不等式确定 m 的取值范围; (3)根据翻折的性质及已知条件,构造直角三角形,利用勾股定理求出 BP 的长度解答中提 供了三种解法,可认真体会 解:(1)APB+CPE=90°,CEP+CPE=90°, APB=CEP,又B=C=90°, ABPPCE, AB BP 2 x ,即 , PC CE m x y 4 1 m y=- x2+ x 2 2 1 m 1 m m2 (2)y=- x2+ x=- (x- )2+ , 2 2 2 2 8 m m2 当 x= 时,y 取得最大值,最大值为 2 8 点 P 在线段 BC上运动时,点 E 总在线段 CD 上, m 2 1,解得 m2 2 8 m 的取值范围为:0m2 2 (3)由折叠可知,PG=PC,EG=EC,GPE=CPE, 又GPE+APG=90°,CPE+APB=90°, APG=APB BAG=90°,AGBC, GAP=APB, GAP=APG, AG=PG=PC 解法一:如解答图所示,分别延长 CE、AG,交于点 H, 则易知 ABCH为矩形,HE=CH-CE=2-y,GH=AH-AG=4-(4-x)=x, 在 RtGHE中,由勾股定理得:GH2+HE2=GH2, 即:x2+(2-y)2=y2,化简得:x2-4y+4=0 1 m 1 由(1)可知,y=- x2+ x,这里 m=4,y=- x2+2x, 2 2 2 2 代入式整理得:x2-8x+4=0,解得:x= 或 x=2, 3 5 2 BP 的长为 或 2 3 解法二:如解答图所示,连接 GC AGPC,AG=PC, 四边形 APCG为平行四边形,AP=CG 易证ABPGNC,CN=BP=x 过点 G 作 GNPC于点 N,则 GH=2,PN=PC-CN=4-2x 在 RtGPN中,由勾股定理得:PN2+GN2=PG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 2 整理得:x2-8x+4=0,解得:x= 或 x=2, 3 2 BP 的长为 或 2 3 解法三:过点 A 作 AKPG于点 K, APB=APG, AK=AB 易证APBAPK, PK=BP=x, GK=PG-PK=4-2x 在 RtAGK中,由勾股定理得:GK2+AK2=AG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 整理得:x2-8x+4=0, 2 解得:x= 或 x=2, 3 2 BP 的长为 或 2 3 点 评:本题是代数几何综合题,考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折 叠、函数关系式、二次函数最值等知识点,所涉及考点众多,有一定的难度注意第(2)问 中求 m 取值范围时二次函数性质的应用,以及第(3)问中构造直角三角形的方法 【达标检测】 1. 如图,等腰梯形 ABCD 的对角线长为 13,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA的中点, 则四边形 EFGH的周长是( ) 6 A 13 B 26 C 36 D 39 考点: 等腰梯形的性质;中点四边形 分析: 首先连接 AC,BD,由点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA的中点,可得 EH,FG, EF,GH 是三角形的中位线,然后由中位线的性质求得答案 解答: 解:连接 AC,BD, 等腰梯形 ABCD的对角线长为 13, AC=BD=13, 点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点, EH=GF=BD=6.5,EF=GH=AC=6.5, 四边形 EFGH的周长是:EH+EF+FG+GF=26 故选 B 点评: 此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质此题难度不大,注意掌握辅助 线的作法,注意掌握数形结合思想的应用 2. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,D=45°,AB=1,CD=3,BEAD 交 CD于 E,则BCE 的周长为 第 1 题图 7 考点: 等腰梯形的性质 分析: 首先根据等腰梯形的性质可得D=C=45°,进而得到EBC=90°,然后证明四边形 ABED 是平行四边形,可得 AB=DE=1,再得 EC=2,然后再根据勾股定理可得 BE长,进而得到BCE 的周长 解答: 解:梯形 ABCD 是等腰梯形, D=C=45°, EBAD, BEC=45°, EBC=90°, ABCD,BEAD, 四边形 ABED是平行四边形, AB=DE=1, CD=3, EC=31=2, EB2+CB2=EC2, EB=BC= , BCE 的周长为:2+2 , 故答案为:2+2 点评: 此题主要考查了等腰梯形的性质,以及平行四边形的判定和性质,勾股定理的应用, 关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等 3. 如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,BE 平分ABC 交 CD 于 E,且 BECD,CE:ED=2:1如果 BEC 的面积为 2,那么四边形 ABED 的面积是 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;梯形 解析:首先延长 BA,CD 交于点 F,易证得BEFBEC,则可得 DF:FC=1:4,又由ADF BCF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求得ADF的面积,继而求得答案 解答:解:延长 BA,CD交于点 F, 8 BE 平分ABC, EBF=EBC, BECD, BEF=BEC=90°, 在BEF 和BEC中, , BEFBEC(ASA), EC=EF,SBEF=SBEC=2, SBCF=SBEF+SBEC=4, CE:ED=2:1 DF:FC=1:4, ADBC, ADFBCF, =( )2= , SADF= ×4=, S 四边形 ABCD=SBEFSADF=2= 故答案为: 点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质此题 难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用 4. 如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90°,B=30°,CEAB,垂足为点 E若 AD=1, AB=2 ,求 CE的长 9 考点:直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形. 解析:利用锐角三角函数关系得出 BH的长,进而得出 BC 的长,即可得出 CE的长 解答:解:过点 A 作 AHBC于 H,则 AD=HC=1, 在ABH 中,B=30°,AB=2 , cos30°= , 即 BH=ABcos30°=2 × =3, BC=BH+BC=4, CEAB, CE=BC=2 点评:此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中 30°所对的边等于斜边的一半 等知识,得出 BH的长是解题关键 5. 已知等腰梯形中,AB=DC=2,ADBC,AD=3,腰与底相交所成的锐角为 60°,动点 P 在线段 BC 上运动( 点 P 不与 B、C 点重合),并且APQ=60°,PQ 交射线 CD 于点 Q,若 CQ=y, BP=x, (1)求下底 BC 的长 (2)求 y 与 x 的函数解析式,并指出当点 P 运动到何位置时,线段 CQ 最长,最大值为多少? (3)在(2)的条件下,当 CQ最长时,PQ与 AD 交于点 E,求 QE的长 11解:(1)如图 1,过点 D 作 DEAB,交 BC于 E, 10 ADBC, 四边形 ABED是平行四边形, BE=AD=3,DE=AB=DC=2, DEAB, DEC=B=60°, DEC 为等边三角形, EC=DC=2, BC=BE+EC=3+2=5; (2)如图 2,在CPQ与BAP 中, C B 60 , 1 2 120 - 3 CPQBAP, CQ:BP=CP:BA,即 y:x=(5-x):2, 1 5 y=- x2+ x, 2 2 5 5 2 当 x= ,即当点 P 运动到 BC中点时,线段 CQ 最长, 1 2 2( ) 2 5 0 (2) 25 2 此时最大 值为 ; 1 8 4( ) 2 (3)如图 3, 11 5 25 在(2)的条件下,当 CQ 最长时,BP=CP= ,CQ= , 2 8 25 9 QD=CQ-CD= -2= 8 8 DECP, QDEQCP, QE:QP=DE:CP=QD:QC, 5 9 25 即 QE:QP=DE: = : =9:25, 2 8 8 9 可设 QE=9k,QP=25k,且 DE= , 10 9 21 PE=QP-QE=16k,AE=AD-DE=3- = 10 10 在DEQ 与PEA中, QDE APE 60 , QED AEP DEQPEA, DE:PE=EQ:EA, 9 21 :16k=9k: , 10 10 21 解得 k= , 40 9 21 QE=9k= 40 6. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=DC=5cm,AD=4cm,BC=10cm,点 E 从点 C 出发,以 1cm/s的 速度沿 CB向点 B 移动,点 F 从点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BA 方向向点 A 移动,当点 F 到达点 A 时,点 E 停止运动;设运动的时间为 t(s) (0t2.5)问: (1)当 t 为何值时,EF平分等腰梯形 ABCD 的周长? (2)若BFE的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式; 12 (3)是否存在某一时刻 t,使五边形 AFECD 的面积与BFE的面积之比是 3:2?若存在求出 t 的值;若不存在,说明理由 15 (4)在点 E、F 运动的过程中,若线段 EF= cm,此时 EF 能否垂直平分 AB? 15 4 4解:(1)EF 平分等腰梯形 ABCD的周长, 1 BE+BF= (AD+BC+CD+AB)=12, 2 10-t+2t=12, t=2; 答:当 t 为 2s时,EF平分等腰梯形 ABCD 的周长; (2)如图,过 A 作 ANBC 于 N,过 F 作 FGBC于 G, 1 1 则 BN= (BC-AD)= ×(10-4)=3(cm), 2 2 ANBC,FGBC, FGAN, ABNFGB, FG BF , AN AB FG 2t , 4 5 8 FG= t, 5 1 1 8 SBEF= ×BE×FG= (10-t) t, 2 2 5 4 S=- t2+8t; 5 (3)假设存在某一时刻 t,使五边形 AFECD 的面积与BFE的面积之比是 3:2, 13 1 4 4 S五边形 AFECD=S梯形 ABCD-SBFE= ×(4+10)×4-(- t2+8t)=28+ t2-8t, 2 5 5 4 4 即 2(28+ t2-8t)=3(- t2+8t), 5 5 解得:t=5+ 11 (大于 2.5,舍去),t=5- 11 ; 即存在某一时刻 t,使五边形 AFECD的面积与BFE 的面积之比是 3:2,t 的值是(5- 11 ) s; (4)假设存在 EF 垂直平分 AB, 则ABNBEF, EF DF AN DN , EF 5 2 4 3 , 20 2 15 EF= , 15 3 4 15 即线段 EF= cm,此时 EF 不能垂直平分 AB 15 4 14

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