2018中考数学专题突破导学练第22讲矩形菱形正方形一试题20170731238.wps

第 2222 讲 矩形、菱形、正方形（一） 【知识梳理】 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 4.矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 5.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。 6.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一 组对角。 7.菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边相等的四边形是菱形。 1 8.S菱形= ab（a、b 为两条对角线） 2 【考点解析】 考点一：矩形的性质和判定 【例 1 1】（20172017 广西百色）矩形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，CE、AF分别交 BD于 G、H 两点 求证：（1）四边形 AFCE 是平行四边形； （2）EG=FH 【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）可证明 EG 和 FH所在的DEG、BFH 全等即可 【解答】解： 1 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，AD=BC， E、F 分别是 AD、BC的中点， AE= AD，CF= BC， AE=CF， 四边形 AFCE是平行四边形； （2）四边形 AFCE 是平行四边形， CEAF， DGE=AHD=BHF， ABCD， EDG=FBH， 在DEG 和BFH中 ， DEGBFH（AAS）， EG=FH 【例 2 2】（20172017 广东）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB上的点 E 处，折痕为 AF；再按图（3）操作，沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF上的点 H 处，折痕为 FG，则 A、H 两点间的距离为 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质 【分析】如图 3 中，连接 AH由题意可知在 RtAEH中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1，根据 AH= 2 ，计算即可 【解答】解：如图 3 中，连接 AH 由题意可知在 RtAEH中，AE=AD=3，EH=EFHF=32=1， AH= = = ， 故答案为 考点二、菱形的性质和判定 【例 3 3】（20172017广东）如图所示，已知四边形 ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD 为 锐角 （1）求证：ADBF； （2）若 BF=BC，求ADC的度数 【考点】L8：菱形的性质 【分析】（1）连结 DB、DF根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA，再利用 SAS证明BADFAD， 得出 DB=DF，那么 D 在线段 BF的垂直平分线上，又 AB=AF，即 A 在线段 BF 的垂直平分线上， 进而证明 ADBF； （2）设 ADBF 于 H，作 DGBC于 G，证明 DG= CD在直角CDG中得出C=30°，再根据 平行线的性质即可求出ADC=180°C=150° 【解答】（1）证明：如图，连结 DB、DF 四边形 ABCD，ADEF都是菱形， AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA 在BAD 与FAD中， 3 ， BADFAD， DB=DF， D 在线段 BF 的垂直平分线上， AB=AF， A 在线段 BF 的垂直平分线上， AD 是线段 BF的垂直平分线， ADBF； （2）如图，设 ADBF 于 H，作 DGBC于 G，则四边形 BGDH 是矩形， DG=BH= BF BF=BC，BC=CD， DG= CD 在直角CDG 中，CGD=90°，DG= CD， C=30°， BCAD， ADC=180°C=150° 【例 4 4】 4 【中考热点】 （20172017 浙江衢州）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0），C（0，6）作矩形 OABC、连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒 （1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长 （2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请 说明理由；如果不变，请求出 tanDEF 的值 （3）连结 AD，当 AD将DEF分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的 t 的值 【考点】LO：四边形综合题 【分析】（1）当 t=3 时，点 E 为 AB的中点，由三角形中位线定理得出 DEOA，DE= OA=4，再 由矩形的性质证出 DEAB，得出OAB=DEA=90°，证出四边形 DFAE 是矩形，得出 DF=AE=3 即可； （2）作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，证明四边形 DMAN是矩形，得出MDN=90°，DMAB，DN OA，由平行线得出比例式 ， = ，由三角形中位线定理得出 DM= AB=3，DN= OA=4，证明DMFDNE，得出 = ，再由三角函数定义即可得出答案； （3）作作 DMOA于 M，DNAB于 N，若 AD将DEF的面积分成 1：2 的两部分，设 AD交 EF 于点 G，则点 G 为 EF的三等分点； 当点 E 到达中点之前时，NE=3t，由DMFDNE 得：MF= （3t），求出 AF=4+MF= t+ ，得出 G（ ， t），求出直线 AD的解析式为 y= x+6，把 G（ ， t） 代入即可求出 t 的值； 5 当点 E 越过中点之后，NE=t3，由DMFDNE得：MF= （t3），求出 AF=4MF= t+ ，得出 G（ ， t），代入直线 AD的解析式 y= x+6 求出 t 的值即可 【解答】解：（1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点， A（8，0），C（0，6）， OA=8，OC=6， 点 D 为 OB的中点， DEOA，DE= OA=4， 四边形 OABC是矩形， OAAB， DEAB， OAB=DEA=90°， 又DFDE， EDF=90°， 四边形 DFAE是矩形， DF=AE=3； （2）DEF的大小不变；理由如下： 作 DMOA于 M，DNAB于 N，如图 2 所示： 四边形 OABC是矩形， OAAB， 四边形 DMAN是矩形， MDN=90°，DMAB，DNOA， ， = ， 点 D 为 OB的中点， M、N 分别是 OA、AB的中点， DM= AB=3，DN= OA=4， EDF=90°， FDM=EDN， 又DMF=DNE=90°， 6 DMFDNE， = ， EDF=90°， tanDEF= = ； （3）作 DMOA 于 M，DNAB 于 N， 若 AD将DEF的面积分成 1：2 的两部分， 设 AD交 EF 于点 G，则点 G 为 EF的三等分点； 当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，NE=3t， 由DMFDNE得：MF= （3t）， AF=4+MF= t+ ， 点 G 为 EF的三等分点， G（ ， t）， 设直线 AD的解析式为 y=kx+b， 把 A（8，0），D（4，3）代入得： ， 解得： ， 直线 AD的解析式为 y= x+6， 把 G（ ， t）代入得：t= ； 当点 E 越过中点之后，如图 4 所示，NE=t3， 由DMFDNE得：MF= （t3）， AF=4MF= t+ ， 点 G 为 EF的三等分点， G（ ， t）， 代入直线 AD的解析式 y= x+6 得：t= ； 综上所述，当 AD将DEF分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为 或 7 【达标检测】 一、 选择题： 1. （20172017 贵州安顺）如图，矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线 AC折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC于点 O，若 AO=5cm，则 AB的长为（ ） A6cm B7cm C8cm D9cm 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质 8 【分析】根据折叠前后角相等可证 AO=CO，在直角三角形 ADO 中，运用勾股定理求得 DO，再根 据线段的和差关系求解即可 【解答】解：根据折叠前后角相等可知BAC=EAC， 四边形 ABCD是矩形， ABCD， BAC=ACD， EAC=EAC， AO=CO=5cm， 在直角三角形 ADO中，DO= =3cm， AB=CD=DO+CO=3+5=8cm 故选：C 2. （20172017 山东聊城）如图，ABC 中，DEBC，EFAB，要判定四边形 DBFE是菱形，还需要 添加的条件是（ ） AAB=AC BAD=BD CBEAC DBE平分ABC 【考点】L9：菱形的判定 【分析】当 BE 平分ABE 时，四边形 DBFE是菱形，可知先证明四边形 BDEF 是平行四边形，再 证明 BD=DE即可解决问题 【解答】解：当 BE平分ABE时，四边形 DBFE是菱形， 理由：DEBC， DEB=EBC， EBC=EBD， EBD=DEB， BD=DE， DEBC，EFAB， 四边形 DBEF是平行四边形， 9 BD=DE， 四边形 DBEF是菱形 其余选项均无法判断四边形 DBEF是菱形， 故选 D 3. （20172017 山东临沂）在ABC 中，点 D 是边 BC上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D 作 DE AC，DFAB，分别交 AB，AC于 E，F 两点，下列说法正确的是（ ） A若 ADBC，则四边形 AEDF是矩形 B若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形 C若 BD=CD，则四边形 AEDF 是菱形 D若 AD 平分BAC，则四边形 AEDF 是菱形 【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论 【解答】解：若 ADBC，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项 A 错误； 若 AD垂直平分 BC，则四边形 AEDF是菱形，不一定是矩形；选项 B 错误； 若 BD=CD，则四边形 AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项 C 错误； 若 AD平分BAC，则四边形 AEDF是菱形；正确；故选：D 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关 键 4. （2017山东泰安）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD上一点，且 BC=EC，CF BE 交 AB于点 F，P 是 EB延长线上一点，下列结论： BE 平分CBF；CF平分DCB；BC=FB；PF=PC， 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 10 【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质 【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得 出答案 【解答】证明：BC=EC， CEB=CBE， 四边形 ABCD是平行四边形， DCAB， CEB=EBF， CBE=EBF， BE 平分CBF，正确； BC=EC，CFBE， ECF=BCF， CF 平分DCB，正确； DCAB， DCF=CFB， ECF=BCF， CFB=BCF， BF=BC， 正确； FB=BC，CFBE， B 点一定在 FC 的垂直平分线上，即 PB垂直平分 FC， PF=PC，故正确 故选：D 5. （20172017 浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6，将ABC 沿 AC折叠，使点 B 落 在点 E 处，CE 交 AD于点 F，则 DF 的长等于（ ） 11 A B C D 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质 【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB，E=B=90°，易证 RtAEFRtCDF，即可得到结论 EF=DF；易得 FC=FA，设 FA=x，则 FC=x，FD=6x，在 RtCDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方 程 x2=42+（6x）2，解方程求出 x 【解答】解：矩形 ABCD沿对角线 AC 对折，使ABC 落在ACE的位置， AE=AB，E=B=90°， 又四边形 ABCD为矩形， AB=CD， AE=DC， 而AFE=DFC， 在AEF 与CDF中， ， AEFCDF（AAS）， EF=DF； 四边形 ABCD为矩形， AD=BC=6，CD=AB=4， RtAEFRtCDF， FC=FA， 设 FA=x，则 FC=x，FD=6x， 在 RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即 x2=42+（6x）2，解得 x= ， 则 FD=6x= 故选：B 12 二、填空题： 6. (2017 湖北咸宁)如图，点 O 是矩形纸片 ABCD 的对称中心，E 是 BC上一点，将纸片沿 AE 折 叠后，点 B 恰好与点 O 重合若 BE=3，则折痕 AE 的长为 6 【考点】R4：中心对称；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题） 【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到 OE垂直平分 AC，得到 AE=EC，根据 AB为 AC 的一半 确定出ACE=30°，进而得到 OE等于 EC 的一半，求出 EC的长，即为 AE 的长 【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即 AC=2AB， 且 OE垂直平分 AC， AE=CE， 设 AB=AO=OC=x， 则有 AC=2x，ACB=30°， 在 RtABC中，根据勾股定理得：BC= x， 在 RtOEC中，OCE=30°， OE= EC，即 BE= EC， BE=3， OE=3，EC=6， 则 AE=6， 故答案为：6 7. （20172017 四川绵阳）如图，矩形 ABCD的对角线 AC 与 BD交于点 O，过点 O 作 BD的垂线分别 交 AD，BC于 E，F 两点若 AC=2 ，AEO=120°，则 FC 的长度为（ ） 13 【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形 【分析】先根据矩形的性质，推理得到 OF=CF，再根据 RtBOF求得 OF的长，即可得到 CF 的 长 【解答】解：EFBD，AEO=120°， EDO=30°，DEO=60°， 四边形 ABCD是矩形， OBF=OCF=30°，BFO=60°， FOC=60°30°=30°， OF=CF， 又RtBOF 中，BO= BD= AC= ， OF=tan30°×BO=1， CF=1， 8. （2017.2017.湖南怀化）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AOB=60°， AC=6cm，则 AB的长是（ ） 【考点】LB：矩形的性质 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OA=OB=OD=OC，由AOB=60°，判断出AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出 AB即可 【解答】解：四边形 ABCD是矩形， OA=OC=OB=OD=3， 14 AOB=60°， AOB 是等边三角形， AB=OA=3， 三、解答题 9. （2017湖北荆州）如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD，将ABC沿 BC方向平移， 使点 B 移到点 C，得到DCE （1）求证：ACDEDC； （2）请探究BDE的形状，并说明理由 【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质 【分析】（1）由矩形的性质得出 AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°，由平移的性质得： DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB，得出 AD=EC，由 SAS 即可得出结论； （2）由 AC=BD，DE=AC，得出 BD=DE即可 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°， 由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB， AD=EC， 在ACD 和EDC中， ， ACDEDC（SAS）； （2）解：BDE是等腰三角形；理由如下： AC=BD，DE=AC， BD=DE， BDE 是等腰三角形 10. （20172017广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO是矩形，点 A，C 的坐 标分别是 A（0，2）和 C（2 ，0），点 D 是对角线 AC上一动点（不与 A，C 重合），连结 BD， 15 作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF （1）填空：点 B 的坐标为 （2 ，2） ； （2）是否存在这样的点 D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出 AD的长度；若不存在， 请说明理由； （3）求证： = ； 设 AD=x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论），并求出 y 的 最小值 【考点】SO：相似形综合题 【分析】（1）求出 AB、BC 的长即可解决问题； （2）存在连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KC首先证明 B、D、E、C 四点共圆，可得DBC= DCE，EDC=EBC，由 tanACO= = ，推出ACO=30°，ACD=60°由DEC是等腰三 角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出DBC=DCE=EDC=EBC=30°，推出DBC=BCD=60°， 可得DBC 是等边三角形，推出 DC=BC=2，由此即可解决问题； （3）由（2）可知，B、D、E、C 四点共圆，推出DBC=DCE=30°，由此即可解决问题； 作 DHAB于 H想办法用 x 表示 BD、DE 的长，构建二次函数即可解决问题； 【解答】解：（1）四边形 AOCB 是矩形， BC=OA=2，OC=AB=2 ，BCO=BAO=90°， B（2 ，2） 故答案为（2 ，2） （2）存在理由如下： 连接 BE，取 BE 的中点 K，连接 DK、KC 16 BDE=BCE=90°， KD=KB=KE=KC， B、D、E、C 四点共圆， DBC=DCE，EDC=EBC， tanACO= = ， ACO=30°，ACB=60° 如图 1 中，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED=EC， DBC=DCE=EDC=EBC=30°， DBC=BCD=60°， DBC 是等边三角形， DC=BC=2， 在 RtAOC中，ACO=30°，OA=2， AC=2AO=4， AD=ACCD=42=2 当 AD=2时，DEC是等腰三角形 如图 2 中，DCE 是等腰三角形，易知 CD=CE，DBC=DEC=CDE=15°， ABD=ADB=75°， AB=AD=2 ， 综上所述，满足条件的 AD的值为 2 或 2 （3）由（2）可知，B、D、E、C 四点共圆， DBC=DCE=30°， tanDBE= ， = 17 如图 2 中，作 DHAB于 H 在 RtADH中，AD=x，DAH=ACO=30°， DH= AD= x，AH= = x， BH=2 x， 在 RtBDH中，BD= = ， DE= BD= ， 矩形 BDEF的面积为 y= 2= （x26x+12）， 即 y= x22 x+4 ， y= （x3）2+ ， 0， x=3 时，y 有最小值 18