2018中考数学专题突破导学练第23讲矩形菱形正方形二试题20170731239.wps

第 2323 讲 矩形、菱形、正方形（二） 【知识梳理】 1.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 2. 正方形的性质： 四条边都相等； 四个角都是直角； 对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3. 正方形判定定理： 邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形。 【考点解析】 考点一：正方形的判定和性质 【例 1 1】（20172017 广东）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与 AC相交于点 F，连 接 BF，下列结论：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正确 的是（ ） A B C D 【考点】LE：正方形的性质 【分析】由AFDAFB，即可推出 SABF=SADF，故正确，由 BE=EC= BC= AD，ADEC， 推出 = = = ，可得 SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，SADF=2SCDF，故错误正确，由 此即可判断 【解答】解：四边形 ABCD是正方形， ADCB，AD=BC=AB，FAD=FAB， 在AFD 和AFB中， 1 ， AFDAFB， SABF=SADF，故正确， BE=EC= BC= AD，ADEC， = = = ， SCDF=2SCEF，SADF=4SCEF，SADF=2SCDF， 故错误正确， 故选 C 【例 2 2】（2017.2017.湖南怀化）如图，四边形 ABCD 是正方形，EBC 是等边三角形 （1）求证：ABEDCE； （2）求AED的度数 【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质 【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到 AB=BE=CE=CD，ABE=DCE=30°， 由此即可证明； （2）只要证明EAD=ADE=15°，即可解决问题； 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABC 是等边三角形， BA=BC=CD=BE=CE，ABC=BCD=90°，EBC=ECB=60°， ABE=ECD=30°， 在ABE 和DCE中， 2 ， ABEDCE（SAS） （2）BA=BE，ABE=30°， BAE= =75°， BAD=90°， EAD=90°75°=15°，同理可得ADE=15°， AED=180°15°15°=150° 考点二、有关特殊平行四边形的综合运用 【例 3 3】（20172017 四川南充）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF= AB （1）求证：EFAG； （2）若点 F、G 分别在射线 AB、BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍，EFAG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形 ABCD 的边长为 4，P 是正方形 ABCD 内一点，当 SPAB=SOAB，求PAB周长的最小 值 【考点】LO：四边形综合题 【分析】（1）由正方形的性质得出 AD=AB，EAF=ABG=90°，证出 ，得出AEF BAG，由相似三角形的性质得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出 3 AOE=90°即可； （2）证明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出 结论； （3）过 O 作 MNAB，交 AD 于 M，BC 于 N，则 MNAD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点 P 在线段 MN上，当 P 为 MN的中点时，PAB的周长最小，此时 PA=PB，PM= MN=2，连接 EG， 则 EGAB，EG=AB=4，证明AOFGOE，得出 = ，证出 = ，得出 AM= AE= ，由勾股定理求出 PA，即可得出答案 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AD=AB，EAF=ABG=90°， 点 E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF= AB = ， = ， ， AEFBAG， AEF=BAG， BAG+EAO=90°， AEF+EAO=90°， AOE=90°， EFAG； （2）解：成立；理由如下： 根据题意得： = ， = ， ， 又EAF=ABG， AEFBAG， AEF=BAG， BAG+EAO=90°， 4 AEF+EAO=90°， AOE=90°， EFAG； （3）解：过 O 作 MNAB，交 AD于 M，BC于 N，如图所示： 则 MNAD，MN=AB=4， P 是正方形 ABCD 内一点，当 SPAB=SOAB， 点 P 在线段 MN上，当 P 为 MN 的中点时，PAB 的周长最小， 此时 PA=PB，PM= MN=2， 连接 EG、PA、PB，则 EGAB，EG=AB=4， AOFGOE， = ， MNAB， = ， AM= AE= ×2= ， 由勾股定理得：PA= = ， PAB 周长的最小值=2PA+AB= +4 中考热点】 （20172017 山东枣庄）在矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED 的角平分线 EF 与 DC交于点 F，若 AB=9，DF=2FC，则 BC= （结果保留根号） 5 【考点】LB：矩形的性质；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定与性质 【分析】先延长 EF 和 BC，交于点 G，再根据条件可以判断三角形 ABE为等腰直角三角形，并 求得其斜边 BE的长，然后根据条件判断三角形 BEG 为等腰三角形，最后根据EFDGFC 得 出 CG与 DE 的倍数关系，并根据 BG=BC+CG进行计算即可 【解答】解：延长 EF和 BC，交于点 G 矩形 ABCD中，B 的角平分线 BE与 AD 交于点 E， ABE=AEB=45°， AB=AE=9， 直角三角形 ABE中，BE= = ， 又BED 的角平分线 EF 与 DC交于点 F， BEG=DEF ADBC G=DEF BEG=G BG=BE= 由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC 设 CG=x，DE=2x，则 AD=9+2x=BC BG=BC+CG =9+2x+x 解得 x= BC=9+2（ 3）= 故答案为： 6 【达标检测】 一、 选择题： 1. （20172017 广西百色）如图，在正方形 OABC中，O 为坐标原点，点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 的 坐标为（2，0），将正方形 OABC沿着 OB 方向平移 OB 个单位，则点 C 的对应点坐标为 （ 1 ， 3 ） 【考点】Q3：坐标与图形变化平移 【分析】将正方形 OABC沿着 OB 方向平移 OB 个单位，即将正方形 OABC 沿先向右平移 1 个单 位，再向上平移 1 个单位，根据平移规律即可求出点 C 的对应点坐标 【解答】解：在正方形 OABC中，O 为坐标原点，点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 的坐标为（2， 0）， OC=OA=2，C（0，2）， 将正方形 OABC 沿着 OB方向平移 OB个单位，即将正方形 OABC沿先向右平移 1 个单位，再 向上平移 1 个单位， 点 C 的对应点坐标是（1，3） 故答案为（1，3） 2. 3. （20172017 山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （x0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC分别相交于 M，N 两点，OMN的面积为 10若动点 P 在 x 轴上， 则 PM+PN的最小值是（ ） 7 A6 B10 C2 D2 【分析】由正方形 OABC的边长是 6，得到点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为 6，求得 M（6， ）， N（ ，6），根据三角形的面积列方程得到 M（6，4），N（4，6）， 作 M 关于 x 轴的对称点 M， 连接 NM交 x 轴于 P，则 NM的长=PM+PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：正方形 OABC的边长是 6， 点 M 的横坐标和点 N 的纵坐标为 6， M（6， ），N（ ，6）， BN=6 ，BM=6 ， OMN 的面积为 10， 6×6 ×6× 6× ×（6 ）2=10， k=24， M（6，4），N（4，6）， 作 M 关于 x 轴的对称点 M，连接 NM交 x 轴于 P，则 NM的长=PM+PN 的最小值， AM=AM=4， BM=10，BN=2， NM= = =2 ， 故选 C 8 【点评】本题考查了反比例函数的系数 k 的几何意义，轴对称最小距离问题，勾股定理，正 方形的性质，正确的作出图形是解题的关键 4. （2017山东泰安）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，MEAM，ME交 AD 的延长线于点 E若 AB=12，BM=5，则 DE 的长为（ ） A18 B C D 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质 【分析】先根据题意得出ABMMCG，故可得出 CG的长，再求出 DG 的长，根据MCGEDG 即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD是正方形，AB=12，BM=5， MC=125=7 MEAM， AME=90°， AMB+CMG=90° AMB+BAM=90°， BAM=CMG，B=C=90°， ABMMCG， = ，即 = ，解得 CG= ， DG=12 = AEBC， 9 E=CMG，EDG=C， MCGEDG， = ，即 = ，解得 DE= 故选 B 二、填空题： 5. （20172017 贵州安顺）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，ABE 是等边三角形，点 E 在正方 形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 【考点】PA：轴对称最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质 【分析】由于点 B 与 D 关于 AC对称，所以连接 BD，与 AC的交点即为 P 点此时 PD+PE=BE最 小，而 BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的边长为 6，可求出 AB的长，从而得出 结果 【解答】解：设 BE与 AC 交于点 P，连接 BD， 点 B 与 D 关于 AC对称， PD=PB， PD+PE=PB+PE=BE 最小 即 P 在 AC与 BE 的交点上时，PD+PE 最小，为 BE 的长度； 正方形 ABCD的边长为 6， AB=6 又ABE 是等边三角形， BE=AB=6 故所求最小值为 6 10 故答案为：6 6. （2017新疆）如图，在边长为 6cm的正方形 ABCD中，点 E、F、G、H 分别从点 A、B、C、D 同时出发，均以 1cm/s 的速度向点 B、C、D、A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停 止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 18 cm2 【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质 【分析】设运动时间为 t（0t6），则 AE=t，AH=6t，由四边形 EFGH的面积=正方形 ABCD 的面积4 个AEH的面积，即可得出 S四边形 EFGH 关于 t 的函数关系式，配方后即可得出结 论 【解答】解：设运动时间为 t（0t6），则 AE=t，AH=6t， 根据题意得：S四边形 EFGH=S正方形 ABCD4SAEH=6×64× t（6t）=2t212t+36=2（t3） 2+18， 当 t=3时，四边形 EFGH的面积取最小值，最小值为 18 故答案为：3；18 【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出 S四边形 EFGH关于 t 的函数关系式是解题的关键 7. （2017.江苏宿迁）如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，若点 P 在对 角线 BD上移动，则 PA+PE 的最小值是 11 【考点】PA：轴对称最短路线问题；LE：正方形的性质 【分析】作出点 E 关于 BD 的对称点 E，连接 AE与 BD 交于点 P，此时 AP+PE 最小，求出 AE 的长即为最小值 【解答】解：作出点 E 关于 BD的对称点 E，连接 AE与 BD交于点 P，此时 AP+PE 最小， PE=PE， AP+PE=AP+PE=AE， 在 RtABE中，AB=3，BE=BE=1， 根据勾股定理得：AE= ， 则 PA+PE的最小值为 ， 故答案为： 三、解答题 8. （2017.2017.四川眉山）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作 BFDE，垂足为 F，BF分别交 AC 于 H，交 BC于 G （1）求证：BG=DE； （2）若点 G 为 CD 的中点，求 的值 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性 质 【分析】（1）由于 BFDE，所以GFD=90°，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定 即可证明BCGDCE，从而可知 BG=DE； （2）设 CG=1，从而知 CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG= ，由易证ABHCGH，所以 ，从而可求出 HG的长度，进而求出 的值 12 【解答】解：（1）BFDE， GFD=90°， BCG=90°，BGC=DGF， CBG=CDE， 在BCG 与DCE中， BCGDCE（ASA）， BG=DE， （2）设 CG=1， G 为 CD 的中点， GD=CG=1， 由（1）可知：BCGDCE（ASA）， CG=CE=1， 由勾股定理可知：DE=BG= ， sinCDE= = ， GF= ， ABCG， ABHCGH， = ， BH= ，GH= ， = 9. （20172017 浙江衢州）问题背景 如图 1，在正方形 ABCD的内部，作DAE=ABF=BCG=CDH，根据三角形全等的条件，易得 DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH是正方形 类比探究 13 如图 2，在正ABC的内部，作BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF两两相交于 D，E，F 三点（D， E，F 三点不重合） （1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明 （2）DEF是否为正三角形？请说明理由 （3）进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系，设 BD=a，AD=b，AB=c，请探索 a， b，c 满足的等量关系 【考点】LO：四边形综合题 【分析】（1）由正三角形的性质得出CAB=ABC=BCA=60°，AB=BC，证出ABD=BCE，由 ASA 证明ABDBCE 即可； （2）由全等三角形的性质得出ADB=BEC=CFA，证出FDE=DEF=EFD，即可得出结论； （3）作 AGBD 于 G，由正三角形的性质得出ADG=60°，在 RtADG中，DG= b，AG= b， 在 RtABG中，由勾股定理即可得出结论 【解答】解：（1）ABDBCECAF；理由如下： ABC 是正三角形， CAB=ABC=BCA=60°，AB=BC， ABD=ABC2，BCE=ACB3，2=3， ABD=BCE， 在ABD 和BCE中， ， ABDBCE（ASA）； （2）DEF是正三角形；理由如下： ABDBCECAF， ADB=BEC=CFA， FDE=DEF=EFD， 14 DEF 是正三角形； （3）作 AGBD 于 G，如图所示： DEF 是正三角形， ADG=60°， 在 RtADG中，DG= b，AG= b， 在 RtABG中，c2=（a+ b）2+（ b）2， c2=a2+ab+b2 10. (2017 湖北宜昌)正方形 ABCD的边长为 1，点 O 是 BC 边上的一个动点（与 B，C 不重合）， 以 O 为顶点在 BC所在直线的上方作MON=90° （1）当 OM 经过点 A 时， 请直接填空：ON 不可能 （可能，不可能）过 D 点；（图 1 仅供分析） 如图 2，在 ON上截取 OE=OA，过 E 点作 EF垂直于直线 BC，垂足为点 F，作 EHCD于 H，求 证：四边形 EFCH为正方形 （2）当 OM 不过点 A 时，设 OM 交边 AB于 G，且 OG=1在 ON上存在点 P，过 P 点作 PK垂直于 直线 BC，垂足为点 K，使得 SPKO=4SOBG，连接 GP，求四边形 PKBG 的最大面积 【考点】LO：四边形综合题 【分析】（1）若 ON 过点 D 时，则在OAD 中不满足勾股定理，可知不可能过 D 点； 由条件可先判业四边形 EFCH为矩形，再证明OFEABO，可证得结论； （2）由条件可证明PKOOBG，利用相似三角形的性质可求得 OP=2，可求得POG 面积为 15 定值及PKO 和OBG的关系，只要CGB 的面积有最大值时，则四边形 PKBG 的面积就最大， 设 OB=a，BG=b，由勾股定理可用 b 表示出 a，则可用 a 表示出CBG的面积，利用二次函数的 性质可求得其最大值，则可求得四边形 PKBG面积的最大值 【解答】解： （1）若 ON 过点 D，则 OAAB，ODCD， OA2AD2，OD2AD2， OA2+OD22AD2AD2， AOD90°，这与MON=90°矛盾， ON 不可能过 D 点， 故答案为：不可能； EHCD，EFBC， EHC=EFC=90°，且HCF=90°， 四边形 EFCH为矩形， MON=90°， EOF=90°AOB， 在正方形 ABCD中，BAO=90°AOB， EOF=BAO， 在OFE 和ABO中 OFEABO（AAS）， EF=OB，OF=AB， 又 OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC， CF=EF， 四边形 EFCH为正方形； （2）POK=OGB，PKO=OBG， PKOOBG， SPKO=4SOBG， =（ ）2=4， 16 OP=2， SPOG= OGOP= ×1×2=1， 设 OB=a，BG=b，则 a2+b2=OG2=1， b= ， SOBG= ab= a = = ， 当 a2= 时，OBG 有最大值 ，此时 SPKO=4SOBG=1， 四边形 PKBG的最大面积为 1+1+ = 17