2018中考数学专题突破导学练第27讲与圆有关的计算试题20170731243.wps

第 2727 讲 与圆有关的计算 【知识梳理】 知识点一：弧长、扇形的面积 nr 1如果弧长为 l，圆心角为 n°，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为：l . 180 2由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形若扇形的圆心角为 nr2 1 n°，所在圆半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S ，或 S lr. 360 2 注：公式中的 n 表示 1°的圆心角的倍数，所以不带单位 重点： 公式的牢记。 难点： 灵活运用公式 知识点二：圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长 c，半径等于圆锥的母线 r 1 长 l.若圆锥的底面半径为 r，这个扇形的圆心角为 ，则 ·360°，S 圆锥侧 cl rl， l 2 S 圆锥全 rl r2 重点： 把握侧面积的计算公式。 难点：把握侧面积的计算公式。 知识点三：阴影部分的面积 1规则图形 按规则图形的面积公式去求 2不规则图形 “”“采用 转化 的数学思想方法把不规则图形的面积采用 割补法”“等积变形法”“平移 ”“”法旋转法 等转化为规则图形的面积. 重点： 规则图形的熟练求解 难点：图形之间的转化 【考点解析】 考点一： 弧长、扇形的面积 【例题 1 1】（20172017 贵州安顺）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE （1）求证：BE与O 相切； （2）设 OE 交O 于点 F，若 DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积 1 【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算 【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得OCE=90°，再根据垂径定理得到 CD=BD，则 OD 垂中平分 BC，所以 EC=EB，接着证明OCEOBE得到OBE=OCE=90°，然后根据切线 的判定定理得到结论； （2）设O 的半径为 r，则 OD=r1，利用勾股定理得到（r1）2+（ ）2=r2，解得 r=2， 再利用三角函数得到BOD=60°，则BOC=2BOD=120°，接着计算出 BE= OB=2 ， 然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2SOBES 扇形 BOC进行计算 即可 【解答】（1）证明：连接 OC，如图， CE 为切线， OCCE， OCE=90°， ODBC， CD=BD， 即 OD垂中平分 BC， EC=EB， 在OCE 和OBE中 ， OCEOBE， OBE=OCE=90°， OBBE， BE 与O 相切； 2 （2）解：设O 的半径为 r，则 OD=r1， 在 RtOBD中，BD=CD= BC= ， （r1）2+（ ）2=r2，解得 r=2， tanBOD= = ， BOD=60°， BOC=2BOD=120°， 在 RtOBE中，BE= OB=2 ， 阴影部分的面积=S四边形 OBECS 扇形 BOC =2SOBES 扇形 BOC =2× ×2×2 =4 考点二、圆锥的侧面展开图 【例 1 1】一个侧面积为 16 cm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 4 cm 【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体 【分析】设底面半径为 r，母线为 l，由轴截面是等腰直角三角形，得出 2r= l，代入 S侧 =rl，求出 r，l，从而求得圆锥的高 【解答】解：设底面半径为 r，母线为 l， 主视图为等腰直角三角形， 2r= l， 侧面积 S侧=rl=2r2=16 cm2， 解得 r=4，l=4 ， 3 圆锥的高 h=4cm， 故答案为：4 类型三：不规则图形面积的计算 【例 1 1】（20172017 浙江衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O 的直径，CD、EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB=10，CD=6，EF=8则图中阴影部分的面积是（ ） A B10 C24+4 D24+5 【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理 【分析】作直径 CG，连接 OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得 DG的长，证明 DG=EF，则 S 扇形 ODG=S扇形 OEF，然后根据三角形的面积公式证明 SOCD=SACD，SOEF=SAEF，则 S 阴影=S扇形 OCD+S扇 形 OEF=S扇形 OCD+S扇形 ODG=S半圆，即可求解 【解答】解：作直径 CG，连接 OD、OE、OF、DG CG 是圆的直径， CDG=90°，则 DG= = =8， 又EF=8， DG=EF， = ， S扇形 ODG=S扇形 OEF， ABCDEF， SOCD=SACD，SOEF=SAEF， S阴影=S扇形 OCD+S扇形 OEF=S扇形 OCD+S扇形 ODG=S半圆= ×52= 故选 A 4 【中考热点】 （2017新疆）如图，AC为O 的直径，B 为O 上一点，ACB=30°，延 长CB 至点D，使得CB=BD， 过点 D 作 DEAC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE （1）求证：BE是O 的切线； （2）当 BE=3 时，求图中阴影部分的面积 【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算 【分析】（1）连 接BO，根据OBC 和BCE都是等腰三角形，即可得到BEC=OBC=OCB=30°， 再根据三角形内角和即可得到EBO=90°，进而得出 BE是O 的切线； （2）在 RtABC中，根据ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及 RtABC 的面积，进 而得到阴影部分的面积 【解答】解：（1）如图所示，连接 BO， ACB=30°， OBC=OCB=30°， DEAC，CB=BD， RtDCE 中，BE= CD=BC， BEC=BCE=30°， BCE 中，EBC=180°BECBCE=120°， EBO=EBCOBC=120°30°=90°， BE 是O 的切线； （2）当 BE=3 时，BC=3， 5 AC 为O 的直径， ABC=90°， 又ACB=30°， AB=tan30°×BC= ， AC=2AB=2 ，AO= ， 阴影部分的面积=半圆的面积RtABC的面积= ×AO2 AB×BC= ×3 × × 3= 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂 直于这条半径的直线是圆的切线 【达标检测】 一、 选择题： 1. (2017 湖北咸宁)如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD内接于O，连接 OB、OD，若BOD= BCD，则 的长为（ ） A B C2 D3 【考点】MN：弧长的计算；M6：圆内接四边形的性质 【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A=60°，得出BOD=120°，再由弧长公 式即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD内接于O， BCD+A=180°， BOD=2A，BOD=BCD， 2A+A=180°， 6 解得：A=60°， BOD=120°， 的长= =2； 故选：C 2. 如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB=60°，以点 D 为圆心，菱形的高 DF为半径画弧， 交 AD于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是（ ） A18 9 B183 C9 D18 3 【考点】菱形的性质；扇形面积的计算 【分析】由菱形的性质得出 AD=AB=6，ADC=120°，由三角函数求出菱形的高 DF，图中阴影 部分的面积=菱形 ABCD 的面积扇形 DEFG的面积，根据面积公式计算即可 【解答】解：四边形 ABCD是菱形，DAB=60°， AD=AB=6，ADC=180°60°=120°， DF 是菱形的高， DFAB， DF=ADsin60°=6× =3 ， 图中阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积扇形 DEFG的面积=6×3 =18 9 故选：A 【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的 高是解决问题的关键 3. 如图，在 RtABC 中，A=30°，BC=2 ，以直角边 AC为直径作O 交 AB 于点 D，则图中 阴影部分的面积是（ ） 7 A B C D 【考点】扇形面积的计算；含 30度角的直角三角形 【分析】连接连接 OD、CD，根据 S阴=SABCSACD（S扇形 OCDSOCD）计算即可解决问题 【解答】解：如图连接 OD、CD AC 是直径， ADC=90°， A=30°， ACD=90°A=60°， OC=OD， OCD 是等边三角形， BC 是切线 ACB=90°，BC=2 ， AB=4 ，AC=6， S 阴=SABCSACD（S扇形 OCDSOCD） = ×6×2 ×3× （ ×32） = 故选 A 4. （20172017 山东临沂）如图，AB是O 的直径，BT 是O 的切线，若ATB=45°，AB=2，则阴 影部分的面积是（ ） 8 A2 B C1 D + 【分析】设 AC交O 于 D，连结 BD，先根据圆周角定理得到ADB=90°，则可判断ADB、BDC 都是等腰直角三角形，所以 AD=BD=CD= AB= ，然后利用弓形 AD的面积等于弓形 BD的面 积得到阴影部分的面积=SBTD 【解答】解：BT 是O 的切线； 设 AT交O 于 D，连结 BD， AB 是O 的直径， ADB=90°， 而ATB=45°， ADB、BDT都是等腰直角三角形， AD=BD=TD= AB= ， 弓形 AD的面积等于弓形 BD 的面积， 阴影部分的面积=SBTD= × × =1 故选 C 【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三 角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积 二、填空题： 5. （2017.2017.湖南怀化）如图，O 的半径为 2，点 A，B 在O 上，AOB=90°，则阴影部分的 面积为 2 9 【考点】MO：扇形面积的计算 【分析】根据AOB=90°，OA=OB 可知OAB是直角三角形，根据 S阴影=S扇形 OABSOAB即可得 出结论 【解答】解：AOB=90°，OA=OB， OAB 是等腰直角三角形 OA=2， S阴影=S扇形 OABSOAB= ×2×2=2 故答案为 2 6. 小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为 30cm，面积为 300cm2，则这个圣诞帽的底面半径为 10 cm 【考点】圆锥的计算 【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为 30cm，面积为 300cm2的扇形卡纸制作一个 圣诞帽，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径 【解答】解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为 R、l，圣诞帽底面半径为 r， 则由题意得 R=30，由 Rl=300 得 l=20； 由 2r=l 得 r=10cm 故答案是：10 7. 如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC所在直线上有一点 O，OA=AC=2，将正方形绕 O 点顺时针 旋转 60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2+2 【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形 ABCD的面积 10 【解答】解：OA=AC=2， AB=BC=CD=AD= ，OC=4， S阴影= + =2+2， 故答案为：2+2 【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转 换为规则图形的面积是解答此题的关键 8. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以 AB边的 中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 2 （结果保留 ） 【分析】根据题意有 S阴影部分=S扇形 BADS 半圆 BA，然后根据扇形的面积公式：S= 和圆的 面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可 【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形 BADS 半圆 BA， S 扇形 BAD= =4， S半圆 BA= 22=2， S 阴影部分=42=2 故答案为 2 【点评】此题考查了扇形的面积公式：S= ，其中 n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半 径），或 S= lR，l 为扇形的弧长，R 为半径 三、解答题 9. 如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC上，且 AF=AD，过点 D 作 DEAF，垂足为点 E （1）求证：DE=AB； 11 （2）以 A 为圆心，AB长为半径作圆弧交 AF 于点 G，若 BF=FC=1，求扇形 ABG的面积（结果 保留 ） 【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】（1）根据矩形的性质得出B=90°，AD=BC，ADBC，求出DAE=AFB， AED=90°=B，根据 AAS推出ABFDEA 即可； （2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB= ， GDE=BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， B=90°，AD=BC，ADBC， DAE=AFB， DEAF， AED=90°=B， 在ABF 和DEA中 ， ABFDEA（AAS）， DE=AB； （2）解：BC=AD，AD=AF， BC=AF， BF=1，ABF=90°， 由勾股定理得：AB= = ， BAF=30°， ABFDEA， GDE=BAF=30°，DE=AB=DG= ， 12 扇形 ABG的面积= = 【点评】本题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的 性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键 10. (2017 湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的 “中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为 智慧三角形” 理解： （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使ABC为“智慧三角 形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）； （2）如图 2，在正方形 ABCD中，E 是 BC 的中点，F 是 CD上一点，且 CF= CD，试判断AEF “是否为 智慧三角形”，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y=3 上的一点，若在O 上存在一点 P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐 标 【考点】MR：圆的综合题 【分析】（1）连结 AO 并且延长交圆于 C1，连结 BO 并且延长交圆于 C2，即可求解； （2）设正方形的边长为 4a，表示出 DF=CF 以及 EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出 AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF “为 智慧三角形”； （3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为 1，当 斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3，根据 勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P 的横坐标，再根据勾股 定理可求点 P 的纵坐标，从而求解 13 【解答】解：（1）如图 1 所示： （2）AEF“是否为 智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为 4a， E 是 DC 的中点， DE=CE=2a， BC：FC=4：1， FC=a，BF=4aa=3a， 在 RtADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2， 在 RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2， 在 RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2， AE2+EF2=AF2， AEF 是直角三角形， 斜边 AF上的中线等于 AF 的一半， AEF“为 智慧三角形”； （3）如图 3 所示： “”由 智慧三角形 的定义可得OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为 3， 由勾股定理可得 PQ= =2 ， PM=1×2 ÷3= ， 由勾股定理可求得 OM= = ， 故点 P 的坐标（ ， ）， （ ， ） 14 14