2018中考数学专题突破导学练第26讲与圆有关的位置关系试题20170731242.wps

第 2626 讲 有关的位置关系 【知识梳理】 知识点一：点和圆的位置关系 1点和圆的位置关系：如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上d r；(2)点在圆内dr. 2过三点的圆 (1)经过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆 (2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角 形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形 (3)三角形外接圆的作法：确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离为半径 重点： 点和圆的位置关系 难点： 利用半径之间的关系判断点与圆的位置关系 知识点二：直线和圆的位置关系 1直线和圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线 叫圆的切线； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离 2直线和圆的位置关系的性质与判定 如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么： (1)直线 l 和O 相交dr. 重点：直线和圆的位置关系的有关概念 难点：直线和圆的位置关系的性质与判定 知识点三：切线的判定和性质 1切线的判定方法 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线 2切线的性质 1 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； (3)推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 重点：切线的判定方法 难点：切线的性质的把握。 知识点四：两圆的位置关系 设 R、r 为两圆的半径，d 为圆心距则： (1)两圆外离dRr； (2)两圆外切dRr； (3)两圆相交Rrr)； (5)两圆内含dr) 注意：两圆内含时，如果 d 为 0，则两圆为同心圆 重点：两圆的位置关系 难点：两圆的位置关系 知识点五：三角形多边形的内切圆 1与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念 (1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形； (2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形 2三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离 相等，且在三角形内部. 重点：与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念。 难点：三角形的内心的性质. 【考点解析】 考点一： 直线与圆的位置关系 【例题 1 1】（20172017广西百色）以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 y=x+b 与O 相交，则 b 的取值范围是（ ） A0b2 B2 C2 2 D2 b2 【考点】MB：直线与圆的位置关系；F7：一次函数图象与系数的关系 【分析】求出直线 y=x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线 y=x+b 与圆相 切，且函数经过二、三、四象限时 b 的值，则相交时 b 的值在相切时的两个 b 的值之间 2 【解答】解：当直线 y=x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图 在 y=x+b 中，令 x=0时，y=b，则与 y 轴的交点是（0，b）， 当 y=0时，x=b，则 A 的交点是（b，0）， 则 OA=OB，即OAB 是等腰直角三角形 连接圆心 O 和切点 C则 OC=2 则 OB= OC=2 即 b=2 ； 同理，当直线 y=x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=2 则若直线 y=x+b 与O 相交，则 b 的取值范围是2 b2 【例题 2 2】（20172017 广西百色）已知ABC 的内切圆O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F， 若 = ，如图 1， （1）判断ABC的形状，并证明你的结论； （2）设 AE 与 DF相交于点 M，如图 2，AF=2FC=4，求 AM 的长 【考点】MI：三角形的内切圆与内心 【分析】（1）易证EOF+C=180°，DOE+B=180°和EOF=DOE，即可解题； （2）连接 OB、OC、OD、OF，易证 AD=AF，BD=CF 可得 DFBC，再根据 AE长度即可解题 【解答】解：（1）ABC为等腰三角形， ABC 的内切圆O 与 AB、BC、AC分别相切于点 D、E、F， CFE=CEF=BDO=BEO=90°， 四边形内角和为 360°， 3 EOF+C=180°，DOE+B=180°， = ， EOF=DOE， B=C，AB=AC， ABC 为等腰三角形； （2）连接 OB、OC、OD、OF，如图， 等腰三角形 ABC中，AEBC， E 是 BC 中点，BE=CE， 在 RtAOF和 RtAOD中， ， RtAOFRtAOD， AF=AD， 同理 RtCOFRtCOE，CF=CE=2， RtBODRtBOE，BD=BE， AD=AF，BD=CF， DFBC， = ， AE= =4 ， AM=4 × = 【例题 3 3】（20172017 浙江衢州）如图，AB为半圆 O 的直径，C 为 BA延长线上一点，CD切半圆 O 于点 D，连接 OD作 BECD 于点 E，交半圆 O 于点 F已知 CE=12，BE=9 （1）求证：CODCBE （2）求半圆 O 的半径 r 的长 4 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质 【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出E=90°=CDO，再由C=C，得出CODCBE （2）由勾股定理求出 BC= =15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案 【解答】（1）证明：CD切半圆 O 于点 D， CDOD， CDO=90°， BECD， E=90°=CDO， 又C=C， CODCBE （2）解：在 RtBEC 中，CE=12，BE=9， BC= =15， CODCBE ，即 ， 解得：r= 考点二、其它与圆的位置关系 【例题 4 4】（2017.2017.湖南怀化）如图，已知 BC是O 的直径，点 D 为 BC延长线上的一点，点 A 为圆上一点，且 AB=AD，AC=CD （1）求证：ACDBAD； （2）求证：AD是O 的切线 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MD：切线的判定 5 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到CAD=B，由于D=D，于是得到ACDBAD； （2）连接 OA，根据的一句熟悉的性质得到B=OAB，得到OAB=CAD，由 BC 是O 的直径， 得到BAC=90°即可得到结论 【解答】证明：（1）AB=AD， B=D， AC=CD， CAD=D， CAD=B， D=D， ACDBAD； （2）连接 OA， OA=OB， B=OAB， OAB=CAD， BC 是O 的直径， BAC=90°， OAAD， AD 是O 的切线 【中考热点】 （20172017 山东聊城）如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC边上，BAC的平分线交O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P （1）求证：PD是O 的切线； （2）求证：PBDDCA； （3）当 AB=6，AC=8 时，求线段 PB的长 6 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到BAC为直角，再由 AD为角平分线，得到一对角 相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍及等量代换确定出DOC为直角，与平行线中 的一条垂直，与另一条也垂直得到 OD与 PD 垂直，即可得证； （2）由 PD 与 BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到P= ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长，再由OD 垂直平分BC，得 到DB=DC， 根据（2）的相似，得比例，求出所求即可 【解答】（1）证明：圆心 O 在 BC 上， BC 是圆 O 的直径， BAC=90°， 连接 OD， AD 平分BAC， BAC=2DAC， DOC=2DAC， DOC=BAC=90°，即 ODBC， PDBC， ODPD， OD 为圆 O 的半径， PD 是圆 O 的切线； （2）证明：PDBC， P=ABC， ABC=ADC， P=ADC， PBD+ABD=180°，ACD+ABD=180°， 7 PBD=ACD， PBDDCA； （3）解：ABC为直角三角形， BC2=AB2+AC2=62+82=100， BC=10， OD 垂直平分 BC， DB=DC， BC 为圆 O 的直径， BDC=90°， 在 RtDBC中，DB2+DC2=BC2，即 2DC2=BC2=100， DC=DB=5 ， PBDDCA， = ， 则 PB= = = 【达标检测】 一、 选择题： 1. 如图，AB是O 的直径，直线 PA 与O 相切于点 A，PO 交O 于点 C，连接 BC若 P=40°，则ABC 的度数为（ ） A20° B25° C40° D50° 【考点】切线的性质 8 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角PAO 的度数，然后 利用圆周角定理来求ABC 的度数 【解答】解：如图，AB 是O 的直径，直线 PA 与O 相切于点 A， PAO=90° 又P=40°， PAO=50°， ABC= PAO=25° 故选：B 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切线垂直于经过切点的半径 2. （2017山东泰安）如图，圆内接四边形 ABCD 的边 AB过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在 直线垂直于点 M，若ABC=55°，则ACD 等于（ ） A20° B35° C40° D55° 【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质 【分析】由圆内接四边形的性质求出ADC=180°ABC=125°，由圆周角定理求出ACB=90°， 得出BAC=35°，由弦切角定理得出MCA=ABC=55°，由三角形的外角性质得出DCM= ADCAMC=35°，即可求出ACD的度数 【解答】解：圆内接四边形 ABCD的边 AB 过圆心 O， ADC+ABC=180°，ACB=90°， ADC=180°ABC=125°，BAC=90°ABC=35°， 过点 C 的切线与边 AD所在直线垂直于点 M， MCA=ABC=55°，AMC=90°， ADC=AMC+DCM， 9 DCM=ADCAMC=35°， ACD=MCADCM=55°35°=20°； 故选：A 3. 如图，过O 外一点 P 引O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交O 于点 C，点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB=80°，则ADC 的度数 是（ ） A15° B20° C25° D30° 【分析】根据四边形的内角和，可得BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理， 可得答案 【解答】解；如图 ， 由四边形的内角和定理，得 BOA=360°90°90°80°=100°， 由 = ，得 AOC=BOC=50° 由圆周角定理，得 ADC= AOC=25°， 故选：C 【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 = 是解题关键，又利用了圆周角定理 4. 如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y 轴分别交于点 B（0，4） 和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） 10 A10 B8 C4 D2 【考点】切线的性质；坐标与图形性质 【分析】如图连接 BM、OM，AM，作 MHBC 于 H，先证明四边形 OAMH是矩形，根据垂径定理求 出 HB，在 RTAOM 中求出 OM即可 【解答】解：如图连接 BM、OM，AM，作 MHBC 于 H M 与 x 轴相切于点 A（8，0）， AMOA，OA=8， OAM=MH0=HOA=90°， 四边形 OAMH是矩形， AM=OH， MHBC， HC=HB=6， OH=AM=10， 在 RTAOM 中，OM= = =2 故选 D 二、填空题： 5. （2016·内蒙古包头·3分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若A=30°，PC=3，则 BP 的长为 11 【考点】切线的性质 【分析】在 RTPOC 中，根据P=30°，PC=3，求出 OC、OP 即可解决问题 【解答】解：OA=OC，A=30°， OCA=A=30°， COB=A+ACO=60°， PC 是O 切线， PCO=90°，P=30°， PC=3， OC=PCtan30°= ，PC=2OC=2 ， PB=POOB= ， 故答案为 6. 如图，若以平行四边形一边 AB 为直径的圆恰好与对边 CD相切于点 D，则C= 45 度 【考点】切线的性质；平行四边形的性质 【分析】连接 OD，只要证明AOD 是等腰直角三角形即可推出A=45°，再根据平行四边形的 对角相等即可解决问题 【解答】解；连接 OD 12 CD 是O 切线， ODCD， 四边形 ABCD是平行四边形， ABCD， ABOD， AOD=90°， OA=OD， A=ADO=45°， C=A=45° 故答案为 45 三、解答题 7. （2017.江苏宿迁）如图，AB 与O 相切于点 B，BC为O 的弦，OCOA，OA 与 BC相交于点 P （1）求证：AP=AB； （2）若 OB=4，AB=3，求线段 BP的长 【考点】MC：切线的性质 【分析】（1）欲证明 AP=AB，只要证明APB=ABP即可； （2）作 OHBC 于 H在 RtPOC中，求出 OP、PC、OH、CH即可解决问题 【解答】（1）证明：OC=OB， OCB=OBC， AB 是O 的切线， OBAB， 13 OBA=90°， ABP+OBC=90°， OCAO， AOC=90°， OCB+CPO=90°， APB=CPO， APB=ABP， AP=AB （2）解：作 OHBC 于 H 在 RtOAB中，OB=4，AB=3， OA= =5， AP=AB=3， PO=2 在 RtPOC中，PC= =2 ， PCOH= OCOP， OH= = ， CH= = ， OHBC， CH=BH， BC=2CH= ， PB=BCPC= 2 = 8 （2017新疆）如图，AC为O 的直径，B 为O 上一点，ACB=30°，延长 CB至点 D，使得 CB=BD，过点 D 作 DEAC，垂足 E 在 CA的延长线上，连接 BE 14 （1）求证：BE是O 的切线； （2）当 BE=3 时，求图中阴影部分的面积 【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算 【分析】（1）连 接BO，根据OBC 和BCE都是等腰三角形，即可得到BEC=OBC=OCB=30°， 再根据三角形内角和即可得到EBO=90°，进而得出 BE是O 的切线； （2）在 RtABC中，根据ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及 RtABC 的面积，进 而得到阴影部分的面积 【解答】解：（1）如图所示，连接 BO， ACB=30°， OBC=OCB=30°， DEAC，CB=BD， RtDCE 中，BE= CD=BC， BEC=BCE=30°， BCE 中，EBC=180°BECBCE=120°， EBO=EBCOBC=120°30°=90°， BE 是O 的切线； （2）当 BE=3 时，BC=3， AC 为O 的直径， ABC=90°， 又ACB=30°， AB=tan30°×BC= ， AC=2AB=2 ，AO= ， 阴影部分的面积=半圆的面积RtABC的面积= ×AO2 AB×BC= ×3 × × 3= 15 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂 直于这条半径的直线是圆的切线 9. (2017 湖北宜昌)已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，DE=EC，以 AE 为直径的O 与边 CD相切于点 DB 点在O 上，连接 OB （1）求证：DE=OE； （2）若 CDAB，求证：四边形 ABCD是菱形 【考点】MC：切线的性质；L9：菱形的判定 【分析】（1）先判断出2+3=90°，再判断出1=2 即可得出结论； （2）先判断出ABOCDE得出 AB=CD，即可判断出四边形 ABCD是平行四边形，最后判断出 CD=AD 即可 【解答】解：（1）如图，连接 OD， CD 是O 的切线， ODCD， 2+3=1+COD=90°， DE=EC， 1=2， 3=COD， DE=OE； （2）OD=OE， OD=DE=OE， 3=COD=DEO=60°， 16 2=1=30°， OA=OB=OE，OE=DE=EC， OA=OB=DE=EC， ABCD， 4=1， 1=2=4=OBA=30°， ABOCDE， AB=CD， 四边形 AD 是平行四边形， DAE= DOE=30°， 1=DAE， CD=AD， ABCD是菱形 10. (2017 湖北咸宁)如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于 D、E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：DF是O 的切线； （2）若 AE=4，cosA= ，求 DF 的长 【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形 17 【分析】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，推出ODB=C；然后根据 DFAC， DFC=90°，推出ODF=DFC=90°，即可推出 DF是O 的切线 （2）首先判断出：AG= AE=2，然后判断出四边形 OGFD为矩形，即可求出 DF 的值是多少 【解答】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC于点 G， ， OB=OD， ODB=B， 又AB=AC， C=B， ODB=C， DFAC， DFC=90°， ODF=DFC=90°， DF 是O 的切线 （2）解：AG= AE=2， cosA= ， OA= = =5， OG= = ， ODF=DFG=OGF=90°， 四边形 OGFD为矩形， DF=OG= 18