2018中考数学专题突破导学练第7讲一元二次方程及其应用试题20170731255.wps

第 7 7 讲 一元二次方程及其应用 【知识梳理】 知识点一：一元二次方程的概念 在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是 2，这样的整式方程叫 一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 ax2 bx c 0( a 0) 重点：正确认识一元二次方程的概念 难点：能够化出标准形式。 知识点二：一元二次方程的常用解法 1直接开平方法：如果 x2a(a0)，则 x± a，即 x1 a，x2 a. 2配方法 p p 如果 x2pxq0 且 p24q0，则 ( 2 ) 2q(2 )2. x p p p p x1 ，x2 . q( 2 )2 q(2 )2 2 2 b ± b24ac 3公式法：若 ax2bxc0(a0)且 b24ac0，则 x1,2 . 2a 4因式分解法 f n 若 ax2bxc(exf)(mxn)，则 ax2bxc0 的根为 x1 ，x2 . e m 重点：把握常见的几种一元二次方程的解法 难点：灵活运用根与系数的关系 知识点三：一元二次方程的根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判别式为 b24ac. (1)b24ac0 一元二次方程 ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根，则 x1,2 b ± b24ac ； 2a (2)b24ac0 一元二次方程 ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根，即 x1x2 b ； 2a (3)b24ac0 一元二次方程 ax2bxc0(a0)没有实数根 【考点解析】 类型一： 一元二次方程解的相关问题 例题 1（2017山东滨州）一元二次方程 x22x=0 根的判别式的值为（ ） 1 A4 B2 C0 D4 【考点】AA：根的判别式 【分析】直接利用判别式的定义，计算=b24ac 即可 【解答】解：=（2）24×1×0=4 故选 A 类型二： 一元二次方程的解法 例题 2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1 0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） A k 1 B k 1且 k 0 C k 1 D k 1或 k 0 【考点】根的判别式 【分析】根据判别式的意义得到=（2）24k（1）0，且 k0 然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得=（2）24k（1）0，且 k0 解得 k 1或 k 0 故选 D 类型三：一元二次方程的应用 （2016 贵州毕节）为进一步发展基础教育，自 2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014 年该县投入教育经费 6000万元2016年投入教育经费 8640 万元假设该县这两年投入教育经 费的年平均增长率相同 （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算 2017 年该县投入教育经 费多少万元 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据 2014 年该县投入教育经费 6000 万元和 2016年投入教育经费 8640 万元列出方程，再求解即可； （2）根据 2016 年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出 2017年该县投入教育经费为 8640×（1+0.2），再进行计算即可 【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意得： 6000（1+x）2=8640 解得：x=0.2=20%， 2 答：该县投入教育经费的年平均增长率为 20%； （2）因为 2016 年该县投入教育经费为 8640万元，且增长率为 20%， 所以 2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元）， 答：预算 2017年该县投入教育经费 10368 万元 【中考热点】 （2017 山东滨州）根据要求，解答下列问题： 方程 x22x+1=0 的解为 x1=x2=1 ； 方程 x23x+2=0 的解为 x1=1 ， x2=2 ； 方程 x24x+3=0 的解为 x1=1 ， x2=3 ； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程 x29x+8=0 的解为 1 、 8 ； 关于 x 的方程 x2 （ 1+n ） x+n=0 的解为 x1=1，x2=n （3）请用配方法解方程 x29x+8=0，以验证猜想结论的正确性 【考点】A6：解一元二次方程配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程因式 分解法 【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可； （2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程 x29x+8=0 的解为 1 和 8；关于 x 的方 程的解为 x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为 1，则一次项系数为 1 和 n 的和的相 反数，常数项为 1 和 n 的积 （3）利用配方法解方程 x29x+8=0可判断猜想结论的正确 【解答】解：（1）（x1）2=0，解得 x1=x2=1，即方程 x22x+1=0 的解为 x1=x2=1，； （x1）（x2）=0，解得 x1=1，x2=2，所以方程 x23x+2=0的解为 x1=1，x2=2，； （x1）（x3）=0，解得 x1=1，x2=3，方程 x24x+3=0的解为 x1=1，x2=3； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程 x29x+8=0 的解为 x1=1，x2=8； 关于 x 的方程 x2（1+n）x+n=0 的解为 x1=1，x2=n （3）x29x=8， x29x+ =8+ ， 3 （x ）2= x =± ， 所以 x1=1，x2=8； 所以猜想正确 故答案为 x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2（1+n）x+n=0； 【达标检测】 1. （2017温州）我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1，x2=3，现给出另一个方程（2x+3） 2+2（2x+3）3=0，它的解是（ ） Ax1=1，x2=3 Bx1=1，x2=3 Cx1=1，x2=3 Dx1=1，x2=3 【考点】A3：一元二次方程的解 【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，利用题中的解 得到 2x+3=1或 2x+3=3，然后解两个一元一次方程即可 【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程， 所以 2x+3=1或 2x+3=3， 所以 x1=1，x2=3 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元 二次方程的解 2. 若|x24x+4|与 互为相反数，则 x+y的值为（ ） A3 B4 C6 D9 【分析】根据相反数的定义得到|x24x+4|+ =0，再根据非负数的性质得 x24x+4=0， 2xy3=0，然后利用配方法求出 x，再求出 y，最后计算它们的和即可 【解答】解：根据题意得|x24x+4|+ =0， 所以|x24x+4|=0， =0， 即（x2）2=0，2xy3=0， 所以 x=2，y=1， 所以 x+y=3 故选 A 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利 4 用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了非负数的性质 3. 若关于 x 的方程 kx23x =0有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak=0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 【考点】AA：根的判别式 【分析】讨论：当 k=0时，方程化为3x =0，方程有一个实数解；当 k0 时，=（3） 24k（ ） 0，然后求出两个中情况下的 k 的公共部分即可 【解答】解：当 k=0时，方程化为3x =0，解得 x= ； 当 k0 时，=（3）24k（ ） 0，解得 k1， 所以 k 的范围为 k1 故选 C 4. （2017张家界）已知一元二次方程 x23x4=0 的两根是 m，n，则 m2+n2= 17 【考点】AB：根与系数的关系 【分析】由 m 与 n 为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出 m+n与 mn的值，将所求式子 利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值 【解答】解：m，n 是一元二次方程 x23x4=0 的两个根， m+n=3，mn=4， 则 m2+n2=（m+n）22mn=9+8=17 故答案为：17 5. （2017玉林）已知关于 x 的一元二次方程：x2（t1）x+t2=0 （1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）当 t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式. 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出=（t3）20，由此可证出：对于 任意实数 t，方程都有实数根； （2）设方程的两根分别为 m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出 m+n=t 1=0，解之即可得出结论 【解答】（1）证明：在方程 x2（t1）x+t2=0中，=（t1）24×1×（t2）=t2 6t+9=（t3）20， 5 对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）解：设方程的两根分别为 m、n， 方程的两个根互为相反数， m+n=t1=0， 解得：t=1 当 t=1时，方程的两个根互为相反数 【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢 “记 当 0 时，方程有实数根”；（2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出 t1=0 6.（2017湖北江汉）若 、 为方程 2x25x1=0 的两个实数根，则 22+3+5 的值 为（ ） A13 B12 C14 D15 【考点】AB：根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程解的定义得到 2251=0，即 22=5+1，则 22+3+5 可表示为 5（+）+3+1，再根据根与系数的关系得到 += ，= ，然后利用 整体代入的方法计算 【解答】解： 为 2x25x1=0 的实数根， 2251=0，即 22=5+1， 22+3+5=5+1+3+5=5（+）+3+1， 、 为方程 2x25x1=0 的两个实数根， += ，= ， 22+3+5=5× +3×（ ）+1=12 故选 B 7. （20172017 年江苏扬州）一元二次方程 x27x2=0 的实数根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 【考点】AA：根的判别式 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：=（7）24×（2）=570， 方程有两个不相等的实数根 6 故选 A 8. （2016·广西百色·10 分）在直角墙角 AOB（OAOB，且 OA、OB 长度不限）中，要砌 20m 长的墙，与直角墙角 AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形 AOBC的面积为 96m2 （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为 55元/块和 80元/ 块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板 砖费用较少？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可； （2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可 【解答】（1）设这地面矩形的长是 xm，则依题意得： x（20x）=96， 解得 x1=12，x2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是 12米； （2）规格为 0.80×0.80 所需的费用：96×（0.80×0.80）×55=8250（元） 规格为 1.00×1.00 所需的费用：96×（1.00×1.00）×80=7680（元） 因为 82507680， 所以采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少 7