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    2018版高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修420170724.wps

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    2018版高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修420170724.wps

    1.2.21.2.2 同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点) 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点) 基础·初探 教材整理 同角三角函数的基本关系 阅读教材 P18“”探究 至 P19例 6 以上内容,完成下列问题. 1.平方关系:sin2 cos2 1. sin 商数关系: tan . cos ( k ,k Z Z) 2 2.语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 的正切. 判断(“正确的打”“,错误的打 ×”) (1)对任意角 ,sin23cos231 都成立.( ) sin 2 (2)对任意角 , tan 都成立.( ) 2 cos 2 9 (3)因为sin2 cos2 1,所以sin2cos21 成立,其中,为任意角.( ) 4 4 (4)对任意角 ,sin cos ·tan 都成立.( ) 【解析】 由同角三角函数的基本关系知(1),(3)×,由正切函数的定义域知 不能 取任意角,所以(2)×,(4)×. 【答案】 (1) (2)× (3)× (4)× 小组合作型 1 应用同角三角函数关系求值 值; 4 (1)若 sin ,且 是第三象限角,求 cos ,tan 5 的 8 (2)若 cos ,求 tan 的值; 17 15 (3)若 tan ,求 sin 的值. 8 【精彩点拨】 对(1)中明确 是第三象限角,所以只有一种结果.对(2),(3)中未指出 角 所在象限的情况,需按 所在象限讨论、分类求解,一般有两种结果. 4 【自主解答】 (1)sin , 是第三象限角, 5 3 cos 1sin2 , 5 sin 4 5 4 tan × . cos 3 5 (3 ) 8 (2)cos 0, 是第一、四象限角. 17 当 是第一象限角时, 8 15 sin 1cos2 1( , 17 )2 17 sin 15 tan ; cos 8 当 是第四象限角时, 8 15 sin 1cos2 1( , 17 )2 17 15 tan . 8 15 (3)tan 0,cos 0, sin cos sin cos 2 12sin cos 12 7 12 × (25 ) , 5 4 3 由解得 sin ,cos , 5 5 3 sin 4 tan . cos 3 1.sin cos ,sin cos ,sin cos 三个式子中,已知其中一个,可以求 其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin ±cos )21±2sin cos . 2.求 sincos 或 sincos 的值,要注意根据角的终边位置,利用三角函数线 判断它们的符号. 再练一题 1 2.若 是ABC 的一个内角,且 sin cos ,则 sin cos 的值为( ) 8 【导学号:70512006】 3 A. B. 2 3 2 5 C. D. 2 5 2 【解析】 由题意知 ( ,),所以 sin cos 0, 2 5 sin cos sin cos 2 12sin cos ,故选 D. 2 【答案】 D 利用 tan 求值 12sin ·cos 设 tan 2,求 的值. sin2cos2 【精彩点拨】 把分子、分母化成正、余弦齐次分式后,分子、分母同除以 cos2,化 tan 求解. 12sin ·cos 【自主解答】 sin2cos2 sin2cos22sin ·cos , sin2cos2 将上式分子、分母同除以 cos2,得 tan212tan 9 原式 3. tan21 3 这是一道在已知 tanm 的条件下,求关于 sin,cos 的齐次式的值的题目,解决 这类问题需注意以下两点:1一定是关于 sin,cos 或能化为齐次式 的三的齐次式或能化为齐次式的三 4 角函数式;2因为 cos0,所以可除以 cos,这样可将被求式化为关于 tan 的表示 式,然后代入 tan m 的值,从而完成被求式的求值. 再练一题 3.已知 tan 3,则 2sin2 4sin cos 9cos2 的值为( ) 21 A.3 B. 10 1 1 C. D. 3 30 【解析】 2sin2 4sin cos 9cos2 2sin2 4sin cos 9cos2 sin2 cos2 2tan2 4tan 9 , tan2 1 2 × 324 × 39 由于 tan 3,原式 321 21 . 10 【答案】 B 探究共研型 三角恒等式的证明 探究 1 证明三角恒等式常用哪些方法? 【提示】 (1)从右证到左. (2)从左证到右. (3)证明左右归一. M P Q P (4)变更命题法.如:欲证明 ,则可证 MQNP,或证 等. N Q N M 1sin cos 2sin cos 探究2 在证明 sin cos 时如何巧用“1” 1sin cos 的代换. 1sin cos 2sin cos 【提示】 在求证 sincos 时,观察等式 1sin cos 左边有 2sin cos ,它和 1 相加应该想到“1”的代换,即 1sin2cos2,所以等式左边 sin2cos22sin cos sin cos 1sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos 5 sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 右边. sin cos 1 1sin 求证:(1) ; sincos 1 cos (2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10. 【精彩点拨】 解答本例题可以从左边推到右边,也可以作差比较.关键是利用好“1”的 代换和乘法公式等变形技巧. 【自主解答】 (1)证明:左边 sin cos 1sin cos 1 sin cos 1sin cos 1 sin 12cos2 sin cos 21 sin2 2sin 11sin2 sin2 cos2 2sin cos 1 2sin2 2sin 12sin cos 1 2sin sin 1 1sin 右边, 2sin cos cos 原等式成立. (2)证明:左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )1 2(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 ) 3(sin4 cos4 )1 (2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1 (sin4 2sin2 cos2 cos4 )1 (sin2 cos2 )21110右边, 原等式成立. 1.证明恒等式常用的思路是:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证 左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差,作比法). 2.技巧感悟:朝目标奔.常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式 运算技巧的应用(分解因式). 3.解决此类问题要有整体代换思想. 再练一题 12sin xcos x 1tan x 4.求证: . cos2xsin2x 1tan x 6 sin x 1 cos x cos xsin x 【证明】 法一:右边 sin x cos xsin x 1 cos x cos xsin x2 cos xsin xcos xsin x cos2xsin2x2sin xcos x 12sin xcos x 左边, cos2xsin2x cos2xsin2x 原等式成立. cos2xsin2x2sin xcos x 法二:左边 cos2xsin2x cos xsin x2 cos xsin x cos xsin xcos xsin x cos xsin x sin x 1 cos x 1tan x 右边, sin x 1tan x 1 cos x 原等式成立. 1.如果 是第二象限的角,下列各式中成立的是( ) sin A.tan B.cos cos 1sin2 cos C.sin 1cos2 D.tan sin 【解析】 由商数关系可知 A,D 均不正确.当 为第二象限角时,cos 0,sin 0,故 B 正确. 【答案】 B 12 2.已知 是第四象限角,cos ,则 sin 等于( ) 13 5 5 A. B. 13 13 5 5 C. D. 12 12 【解析】 由条件知 sin 1cos2 12 5 1(13 ) 2 . 13 【答案】 B 7 5 3.已知 sin ,则 sin4cos4 的值为( ) 5 1 3 A. B. 5 5 1 3 C. D. 5 5 【解析】 sin4 cos4 (sin2 cos2)(sin2 cos2)sin2 cos2 3 2sin21 . 5 【答案】 B 4.已知 3sin cos 0,则 tan _. 【解析】 由题意得:3sin cos 0, 1 tan . 3 1 【答案】 3 31 5.已知 (0,),sin cos ,求 tan 的值. 【导学号:00680010】 2 31 【解】 将 sin cos 的两边分别平方, 2 3 得 12sin cos 1 , 2 3 即 sin cos . 4 sin cos tan 3 sin cos , sin2cos2 1tan2 4 3 解得 tan 3或 tan . 3 31 (0,),0|cos |, 2 3 |tan |1,即 ( , 4 ),tan 1, 2 tan 3. 8

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