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    2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案新人教A版必修420170724111.wps

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    2018版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案新人教A版必修420170724111.wps

    1.2.11.2.1 任意角的三角函数 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,会判断三角函数值的符号.(重点) 2.掌握诱导公式及其应用.(重点) 3.了解三角函数线的意义,会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点) 基础·初探 教材整理 1 任意角的三角函数 阅读教材 P11P12例 1 以上内容,完成下列问题. 1.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.定义: 图 121 在平面直角坐标系中,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 的正弦,记作 sin ,即 sin y; (2)x 叫做 的余弦,记作 cos ,即 cos x; y y (3) 叫做 的正切,记作 tan ,即 tan (x0). x x 对于确定的角 ,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变 量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 3.正弦函数 sin 的定义域是 R R;余弦函数 cos 的定义域是 R R;正切函数 tan 的定 义域是Error!. 判断(“正确的打”“,错误的打 ×”) y (1)由 sin ,故角 终边上的点 P(x,y)满足 y 越大,sin 的值越大.( ) r (2)终边相同的角,其三角函数值也相等.( ) (3)三角函数是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( ) 1 y 【解析】 (1)当 y 越大时, 比值不变,故 sin 不变. r (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)× (2) (3) 教材整理 2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材 P13“”探究 内容,完成下列问题. 图 122 “口诀: 一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 已知 是第三象限角,则 sin _0,cos _0,tan _0.(填 “”“或 教材整理 3 诱导公式一 阅读教材 P14“例 4”以上内容,完成下列问题. 11 cos( 6 )等于_. 11 3 【解析】 cos( 6 )cos(2 6)cos . 6 2 【答案】 3 2 教材整理 4 三角函数线 阅读教材 P15倒数第四行至 P17“”练习 以上部分,完成下列问题. 1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线. (2)有向线段:规定了方向 ( 即规定了起点和终点 )的线段称为有向线段. 2.三角函数线的定义:如图 123,设任意角 的顶点在原点 O(O 亦为单位圆圆心), 始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点 P(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 2 M;过点 A(1,0)作单位圆的切线,设它与角 的终边(当 位于第一、四象限时)或其反向 延长线(当 位于第二、三象限时)相交于点 T(由于过切点的半径垂直于圆的切线,所以 AT 平 行于 y 轴). 图 123 y MP AT 于是 sin yMP,cos xOM,tan AT. x OM OA 我们规定与坐标轴同向时,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段 MP , OM , AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线. 3.轴线角的三角函数线:当角 的终边与 x 轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点, 此时角 的正弦值和正切值都为 0;当角 的终边与 y 轴重合时,余弦线变成一个点,正切 线不存在,此时角 的正切值不存在 . 如图 124,在单位圆中角 的正弦线、正切线完全正确的是( ) 图 124 A.正弦线 PM,正切线 AT B.正弦线 MP,正切线 AT C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 【解析】 为第三象限角,故正弦线为 MP,正切线为 AT,C 正确. 【答案】 C 小组合作型 3 任意角三角函数的定义及应用 3 4 (1)若 sin ,cos ,则在角 终边上的点有( ) 5 5 A.(4,3) B.(3,4) C.(4,3) D.(3,4) (2)若 ,则 sin _,cos _,tan _. 3 (3)已知角的终边过点P(3a,4a)(a0),则2sin cos _. 【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键. 【自主解答】 (1)由 sin ,cos 的定义知 x4,y3,r5 时,满足 题意,故选 A. 1 3 (2)因为角 的终边与单位圆交于 P 2), 3 ( , 2 3 1 所以 sin ,cos ,tan 3. 2 2 (3)因为 r 3a24a25|a|, 若 a0,则 r5a,角 在第二象限, y 4a 4 x 3a 3 sin ,cos , r 5a 5 r 5a 5 8 3 所以 2sin cos 1. 5 5 若 a0).则 sin ,cos r x .已知 的终边求 的三角函数时,用这几个公式更方便. r (2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、 负未定,则需分类讨论. 再练一题 1.设函数 f() 3sincos,其中,角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非 1 3 负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0.若点 P 的坐标为( 2),求 f()的值. , 2 【导学号:00680006】 1 3 3 1 【解】 由点 P 的坐标为( 2)和三角函数定义得 sin ,cos , , 2 2 2 3 1 所以 f() 3sin cos 3× 2. 2 2 三角函数符号的判断 判断下列各式的符号. (1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°; (2)tan 191°cos 190°; (3)sin 2cos 3tan 4. 【精彩点拨】 角度确定了,所在的象限就确定了,三角函数值的符号也就确定了,因此 只需确定角所在象限,即可进一步确定各式的符号. 【自主解答】 (1)2 015°1 800°215°5×360°215°, 2 016°5×360°216°,2 017°5×360°217°, 它们都是第三象限角, sin 2 015°0, sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°0. (2)191°角是第三象限角, tan 191°0,cos 191°0. 3 (3) 0,cos 30, 5 sin 2cos 3tan 40,cos 20. 【答案】 A 4.已知 tan 3,则 tan(4)的值为_. 【解析】 因为 tan 3,所以 tan(4)tan 3. 【答案】 3 1 1 5.已知 ,且 lg cos 有意义. |sin | sin (1)试判断角 的终边所在的象限; 3 (2)若角 的终边上一点 M(,m ),且|OM|1(O 为坐标原点),求 m 的值及 sin 的值. 5 1 1 【解】 (1)由 ,可知 sin 0, 角 的终边在第四象限. 3 4 (2)|OM|1,(5 )2m21,解得 m± . 5 4 又 是第四象限角,故 m0,从而 m . 5 由正弦函数的定义可知 4 y m 5 4 sin . r |OM| 1 5 10

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