2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式学案新人教A版必修4201707241112.wps

1.31.3 三角函数的诱导公式 1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点) 2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点) 3.各种诱导公式的特征.(易混点) 基础·初探 教材整理 1 诱导公式二公式四 阅读教材 P23P24例 1 以上内容，完成下列问题. 1.诱导公式二 (1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中， 的终边与角 的终边关于原点对称. (2)诱导公式二 sin() sin ；cos() cos ； tan()tan . 2.诱导公式三 (1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中， 的终边与角 的终边关于 x 轴对称. (2)诱导公式三 sin() sin ；cos()cos ； tan() tan . 3.诱导公式四 (1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中， 的终边与角 的终边关于 y 轴对称. (2)诱导公式四 sin()sin ；cos() cos ； tan() tan . (3)公式一四可以概括为： k·2(kZ Z)，± 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个 把 看成锐角时原函数值的符号. 1 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) 3 (1)tan 210° .( ) 3 (2)对于诱导公式中的角 一定是锐角.( ) (3)由公式三知 cos()cos().( ) (4)在ABC 中，sin(AB)sin C.( ) 3 【解析】 (1)tan 210°tan 30° . 3 (2)诱导公式中的角 是任意角，不一定是锐角. (3)由公式三知 cos()cos()， 故 cos()cos()是不正确的. (4)因为 ABC，所以 ABC， 所以 sin(AB)sin(C)sin C. 【答案】 (1) (2)× (3)× (4) 教材整理 2 诱导公式五、六 阅读教材 P26“第七行以下至 例 3”以上内容，完成下列问题. 1.公式五：sin( )cos ，cos( )sin . 2 2 2.公式六：sin( )cos ，cos( )sin . 2 2 3.公式五和公式六可以概括为： ± 的正弦(余弦)函数值，分别等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 看成 2 锐角时原函数值的符号. 公式一六都叫做诱导公式. 1 若 cos( )3，则 cos( )_. 2 2 1 【解析】 cos( )sin ， 2 3 cos( ) 2 1 sin . 3 2 1 【答案】 3 小组合作型 给角求值问题 求下列各三角函数值. 10 29 (1)sin( 3 )；(2)cos . 6 【精彩点拨】 先化负角为正角，再将大于 360°的角化为 0°到 360°内的角，进而利用 诱导公式求得结果. 10 【自主解答】 (1)sin( 3 ) 10 4 sin sin 3 )sin 3 (2 4 3 3 sin( 3)sin . 3 2 29 5 (2)cos 6 cos(4 6 )cos 5 6 3 cos( 6)cos . 6 2 已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值 求解.如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到0， 2范围内的角的三角 函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值. 再练一题 1.求下列各三角函数值. 17 (1)tan(855°)；(2)sin . 6 【解】 (1)tan(855°)tan 855°tan(2×360°135°) tan 135°tan(180°45°)tan 45°1. 17 5 5 (2)sin 6 sin(2 )sin 6 6 3 sin( 3) 2 1 cos . 3 2 给值(式)求值问题 3 5 已知cos( ) 3 ，求cos( )sin2( 6)的值. 【导学号：70512008】 6 6 【精彩点拨】 5 【自主解答】 因为 cos( )cos( ) 6 6 3 cos( ) ， 6 3 2 5 sin2( 6)sin2( )1cos2( )3，所以 cos( )sin2( 6) 6 6 6 3 2 2 3 . 3 3 3 1.解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之 间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 2.常见的互余关系有： 与 ， 与 等； 3 6 4 4 2 3 常见的互补关系有： 与 ， 与 等. 3 3 4 4 再练一题 1 2 2.已知 cos( )3，则 sin( )_. 6 3 2 【解析】 sin( )sin( ) 3 3 sin( )sin ( ) 3 2 6 4 1 cos( ) . 6 3 1 【答案】 3 利用诱导公式证明三角恒等式 tan2sin2cos6 求证： tan . 【导学号： cossin5 00680012】 【精彩点拨】 观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简， 逐步地推向右边. 【自主解答】 原式左边 sin2 ·sin·cos cos2 cossin sin ·sin ·cos sin cos ·cos ·sin cos tan 右边. 原式得证. 关于三角恒等式的证明，常用方法： (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论 间的差异，有针对性地变形，以消除其差异. 再练一题 3.已知 tan(7)2， 2cos3sin3 求证： 2. 4cossin2 【证明】 tan(7)2，tan 2， 2cos3sin3 2cos 3sin 23tan 4cossin2 4cos sin 4tan 23 × 2 2. 42 探究共研型 诱导公式中的分类讨论思想 5 探究 1 利用诱导公式能否直接写出 sin(k)的值？ 【提示】 不能.因为 k 是奇数还是偶数不确定. 当 k 是奇数时，即 k2n1(nZ Z)，sin(k)sin()sin ； 当 k 是偶数时，即 k2n(nZ Z)，sin(k)sin . k 探究 2 如何化简 tan()呢？ 2 【提示】 当 k 为奇数时，即 k2n1(nZ Z)， sin( ) k cos 1 2 tan( )tan( ) ； 2 2 sin tan cos( ) 2 当 k 为偶数时，即 k2n(nZ Z)， k tan( )tan . 2 k 所以 tan( )Error! 2 设 k 为整数，化简： sinkcosk1 . sink1cosk 【精彩点拨】 本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种： 为了便于运用诱导公式，必须把 k 分成偶数和奇数两种情况讨论；观察式子结构，kk 2k，(k1)(k1)2k，可使用配角法. 【 自 主 解 答 】 法 一 ： 当 k 为 偶 数 时 ， 设 k 2m(m Z Z) ， 则 原 式 sin2mcos2m1 sincos sin2m1cos2m sincos sin cos 1； sin cos 当 k 为奇数时，设 k2m1(mZ Z)，同理可得原式1. 法二：由于 kk2k，(k1)(k1)2k，故 cos(k 1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)， sin(k)sin(k). sinkcosk 所以原式 1. sinkcosk 由于 kZ Z 的任意性，对于不同的 k 值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，正 确的思维就是分为奇数与偶数加以分析. 6 再练一题 sinncosn 4.化简 (nZ Z)的结果为_. cosn1 【解析】 (1)当 n2k(kZ Z)时， sin2kcos2k sin cos 原式 cos2k1 cos sin . (2)当 n2k1(kZ Z)时， sin2k1cos2k1 原式 cos2k2 sin cos sin . cos 所以化简所得的结果为(1)n1·sin . 【答案】 (1)n1sin 1.下列各式不正确的是( ) A.sin(180°)sin B.cos()cos() C.sin(360°)sin D.cos()cos() 【解析】 cos()cos()cos()，故 B 项错误. 【答案】 B 2.sin 600°的值为( ) 1 1 A. B. 2 2 3 C. D. 2 3 2 【解析】 sin 600°sin(720°120°)sin 120° 3 sin(180°60°)sin 60° .故选 D. 2 【答案】 D 3.cos 1 030°( ) A.cos 50° B.cos 50° C.sin 50° D.sin 50° 【解析】 cos 1 030°cos(3×360°50°) 7 cos(50°)cos 50°. 【答案】 A 4.若 sin( )0，则 是( ) 2 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三角限角 D.第四象限角 【解析】 由于 sin( )cos 0，所以角 的终边落在第二象限，故选 B. 2 【答案】 B 6 11 5.已知 sin 11，求 cos( )sin(3)的值. 【导学号：00680013】 2 6 【解】 sin ， 11 11 cos( )cos(6 ) 2 2 cos( ) 2 6 cos( )sin ， 2 11 11 6 cos( )sin(3) sin() 2 11 6 12 sin . 11 11 8