2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题.wps

1.4.11.4.1 全称量词 1.4.21.4.2 存在量词 1.4.31.4.3 含有一个量词的命题的否定 1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义. 2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点) 3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点) 基础·初探 教材整理 1 全称量词与存在量词 阅读教材 P21思考P22第 1 段，P22思考P23例 2 以上部分，完成下列问题. 1.全称量词与全称命题 (1)全称量词 “”“”短语： 对所有的对任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 . (2)全称命题 含有全称量词的命题叫做全称命题.“全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)”成立 可用符 号简记为 x M ， p(x)“，读作 对任意 x 属于 M，有 p(x)”成立 . 2.存在量词与特称命题 (1)存在量词 “”“”短语： 存在一个至少有一个 在逻辑中叫做存在量词 . (2)特称命题 含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用 符号简记为 x0 M ， p(x0)“读作 存在一个 x0属于 M，使 p(x0)”成立 . 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)“”“”“”有些某个有的 等短语不是存在量词.( ) (2)“全称量词的含义是 任意性”“”，存在量词的含义是 存在性 .( ) (3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( ) 【答案】 (1)× (2) (3)× 教材整理 2 含有一个量词的命题的否定 阅读教材 P24探究P24例 3 以上部分，P25探究P25例 4 以上部分，完成下列问题. 1 命题 命题的表述 全称命题 p xM，p(x) 全称命题的否定p x0 M ， p(x0) 特称命题 p x0M，p(x0) 特称命题的否定p xM，p(x) 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)命题p的否定是 p.( ) (2)x0M，p(x0)与xM，p(x)的真假性相反.( ) (3)“”“从特称命题的否定看，是对 量词 和p(x)”同时否定.( ) 【答案】 (1) (2) (3) 小组合作型 全称命题与特称命题的区别 (1)下列命题中全称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是 180°. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 观察分析命题是否含有“”“”“任意所有的每一个”等全称量词.命题含 “有全称量词，而命题可以叙述为 每一个三角形的内角和都是 180°”，故有两个全称命题. 【答案】 C (2)下列命题中特称命题的个数是( ) 至少有一个偶数是质数； x0R R，log2x00； 有的向量方向不确定. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】“ 中含有存在量词 至少有一个”，所以是特称命题； “中含有存在量词符号 ”，所以是特称命题； “中含有存在量词 有的”，所以是特称命题. 2 【答案】 D (3)用全称量词或存在量词表示下列语句： 不等式 x2x10 恒成立； 1 1 当 x为有理数时， x2 x1 也是有理数； 3 2 等式 sin()sin sin 对有些角 ， 成立； 方程 3x2y10有整数解. 【解】 对任意实数 x，不等式 x2x10 成立. 1 1 对任意有理数 x， x2 x1 是有理数. 3 2 存在角 ，使 sin()sin sin 成立. 存在一对整数 x，y，使 3x2y10 成立. 1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断. 2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意 思，也是全称命题. 再练一题 1.(1)下列语句是特称命题的是( ) 【导学号：97792009】 A.整数 n是 2 和 7 的倍数 B.存在整数 n，使 n能被 11整除 C.x7 D.xM，p(x)成立 【解析】 B“选项中有存在量词 存在”，故是特称命题，A 和 C 不是命题，D 是全称命题. 【答案】 B (2)用全称量词或存在量词表示下列语句： 有理数都能写成分数形式； 方程 x22x80 有实数解； 有一个实数乘以任意一个实数都等于 0. 【解】 任意一个有理数都能写成分数形式. 存在实数 x，使方程 x22x80 成立. 存在一个实数 x，它乘以任意一个实数都等于 0. 全称命题与特称命题的真假判断 3 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)xN,N,2x1 是奇数； 1 (2)存在一个 x0R R，使 0； x01 (3)存在一组 m，n 的值，使 mn1； (4)至少有一个集合 A，满足 A 1,2,3. 【精彩点拨】 先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假. 【自主解答】 (1)是全称命题.因为对任意自然数 x,2x1 都是奇数，所以该命题是真命 题. 1 (2)是特称命题.因为不存在 x0R R，使 0 成立，所以该命题是假命题. x01 (3)是特称命题.当 m4，n3 时，mn1 成立，所以该命题是真命题. (4)是特称命题.存在 A3，使 A 1,2,3成立，所以该命题是真命题. 1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要 判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所 “”说的 举出一个反例 ). 2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立即可； 否则，这个特称命题就是假命题. 再练一题 2.试判断下面命题的真假. (1)xR R，x220； (2)xN N，x41； (3)x0Z Z，x300，即 x220，所以命题“ xR R，x220”是真命题. (2)由于 0N N，当 x0 时，x41 “不成立，所以命题 xN N，x41”是假命题. (3)由于1Z Z，当 x01 时，能使 x300成立，求实数 m 6 的取值范围. 【解】 不等式 mf(x0)0，可化为 mf(x0)，若存在一个实数 x0，使不等式 mf(x0)成 立，只需 mf(x)min. 又因为 f(x)(x1)24， f(x)min4，m4. 所以，所求实数 m 的取值范围是(4， ). 1.下列说法中，正确的个数是( ) 存在一个实数 x0，使2x20x040； 所有的素数都是奇数； 在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行； 至少存在一个正整数，能被 5 和 7 整除. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 方程2x2x40 无实根；2 是素数，但不是奇数；正确.故选 B. 【答案】 B 2.下列命题中，正确的全称命题是( ) A.对任意的 a，bR R，都有 a2b22a2b20 B.菱形的两条对角线相等 C.x0R R， x20x0 D.对数函数在定义域上是单调函数 【解析】 A 项中含有全称量词“任意”，因为a2b22a2b2(a1)2(b1)20， 所以不正确；B“项在叙述上没有全称量词，实际上是 所有的”，因为菱形的对角线不一定相 等，所以错误；C 项是特称命题；D 项正确. 【答案】 D 3.设命题 p：nN N，n22n，则p 为( ) A.nN N，n22n B.nN N，n22n C.nN N，n22n D.nN N，n22n 【解析】 因为“xM，p(x)”的否定是“xM，p(x)”，所以命题“nN N，n22n” “的否定是 nN N，n22n”.故选 C. 【答案】 C 4.“若命题 x(3， )，xa”是真命题，则 a 的取值范围是_. 【解析】 由题意知当 x3，有 xa 恒成立，故 a3. 7 【答案】 ( ，3 5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定. (1)有一个奇数不能被 3 整除； (2)xZ Z，x2与 3 的和不等于 0； (3)有些三角形的三个内角都为 60°； (4)每个三角形至少有两个锐角； (5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 【解】 (1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除. (2)是全称命题，否定为：x0Z Z，x 20与 3 的和等于 0. (3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60°. (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角. (5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆 的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线. 8