2018版高中数学第一章常用逻辑用语章末分层突破学案新人教A版选修1_120170719286.wps

第一章 常用逻辑用语 自我校对 若 q，则 p 若p，则q 若q，则p 真 假 相反 x0M，p(x0) xM，p(x) 1 命题关系及其真假判定 (1)“命题 若 p，则 q”“的逆命题为 若 q，则 p”“；否命题为 若p，则q”；逆否命题 “为 若q，则p”.书写四种命题应注意： 分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待. 要注意条件和结论的否定形式. (2)判断命题真假的方法：直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得 结论；利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；对于“p或 q”“p且 q”“非 p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真假相反. 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若 ab是偶数，则 a，b都是偶数； (2)若 x3 或 x7，则(x3)(x7)0. 【精彩点拨】 先明确原命题的条件 p与结论 q，把原命题写成“若 p，则 q”的形式，再 去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提. 【规范解答】 (1)逆命题：若 a，b都是偶数，则 ab是偶数，为真. 否命题：若 ab不是偶数，则 a，b不都是偶数，为真. 逆否命题：若 a，b不都是偶数，则 ab不是偶数，为假. (2)逆命题：若(x3)(x7)0，则 x3 或 x7，为真. 否命题：若 x3 且 x7，则(x3)(x7)0，为真. 逆否命题：若(x3)(x7)0，则 x3 且 x7，为真. “都”“的否定词是 不都”，而不是“都不”，同理，“全”“的否定词是 不全”，而不是“全 ”不 .“另外，命题中的 或”“”，在否命题中要改为 且 . 再练一题 1.“有下列命题： 若 xy0，则 x0 且 y0”“的否命题； 矩形的对角线相等” “的否命题； 若 m1，则 mx22(m1)xm30 的解集是 R R”“的逆命题； 若 a7 是 无理数，则 a”是无理数 的逆否命题. 其中为真命题的是( ) 2 【导学号：97792011】 A. B. C. D. 【解析】“ 的逆命题为 若 x0 且 y0，则 xy0”为真，故否命题为真； “的否命题为 不是矩形的图形对角线不相等”，为假； “的逆命题为 若 mx22(m1)xm30 的解集为 R R，则 m1”. 当 m0 时，解集不是 R R， 应有Error!即 m1. 是假命题； 原命题为真，逆否命题也为真. 【答案】 D 充分条件、必要条件与充要条件 关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定： 若 pq，且 p/q，则 p是 q的充分条件，同时 q是 p的必要条件； 若 pq，则 p是 q的充要条件，同时 q是 p的充要条件； 若 p /q，则 p是 q的既不充分也不必要条件，同时 q是 p的既不充分也不必要条件. 已知 p：Error!q：x|1mx1m，m0，若p是q的必要条件，求实数 m 的取值范围. 【精彩点拨】 本题主要考查充分条件、必要条件和充要条件的应用.解答本题应先写出 p和q，然后由qp，且p/ q求得 m的范围. 【规范解答】 法一 由题意，得p：Ax|x10，q：Bx|x1 m，m0， p是q的必要条件， qp，p/ q. B A，画数轴(略)分析知，B A的充要条件是 Error!或Error!解得 m9. m的取值范围是m|m9. 法二 p是q的必要不充分条件，即qp， pq，即 p是 q的充分不必要条件. 而 p：Px|2x10， q：Qx|1mx1m，m0， P Q，即得Error!或Error! 3 解得 m9. m的取值范围是m|m9. 应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和 必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注 意数形结合思想的应用. 再练一题 2.已知 p：x28x200，q：x22x1a20，若 p是 q的充分条件，求正实数 a的取 值范围. 【解】 p：x28x200x2 或 x10，令 Ax|x2 或 x10， a0，q：x1a或 x1a， 令 Bx|x1a或 x1a， 由题意 pq且 pD/q，知 A B， 应有Error!或Error! a的取值范围为(0,3. 分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解， 然后综合得解，这就是分类讨论，解含参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论. 已知命题 p：x2mx10 有两个不相等的负根；命题 q：4x24(m2)x10 无实根.若 pq为真，pq为假，求 m的取值范围. 【精彩点拨】 本题主要考查根据命题真假求参数的取值范围，由 pq一真全真，pq 一假全假得命题的真假情况. 【规范解答】 x2mx10 有两个不相等的负根Error!m2. 4x24(m2)x10 无实根 16(m2)2160m24m30 1m3. pq为真，pq为假，p和 q一真一假， 当 p真 q假时，有Error! 解得 m3； 当 p假 q真时，有Error! 解得 1m2. 所求 m的取值范围为m|1m2，或 m3. 4 若命题“pq”“pq”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题 p，q，直至求出这 两个命题为真时参数的取值范围，再依据“pq”“pq”的真假情况分类讨论参数的取值范 围. 再练一题 3.已知命题 p：关于 x的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x的函数 y2x2ax 4 在3， )上是增函数.“若p或 q”“是真命题，p且 q”是假命题，求实数 a的取值范围. 【解】 p真：a24×40， a a4 或 a4.q真： 3，a12. 4 “由p或 q”“是真命题，p且 q”是假命题，得 p，q两命题一真一假. 当 p真 q假时，a12；当 p假 q真时，4a4. 综上，a的取值范围为( ，12)(4,4). 转化与化归思想 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转 化，进而得到解决的一种方法. 对任意 x1,2，有 4x2x12at2 2 2t2. 1 所以原命题等价于t，4 ，at22t2 恒成立.令 yt22t2(t1)21， 2 1 因为当 t，4 时，ymax10，所以只需 a10 即可. 2 故实数 a的取值范围是(10， ). 在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式 恒成立时，要特别注意新元的取值范围. 再练一题 4.已知命题 p“： 至少存在一个实数 x01,2，使不等式 x22ax2a0”成立 为真， 试求参数 a的取值范围. 5 【导学号：97792012】 【解】 p：x1,2，x22ax2a0，是假命题， 令 f(x)x22ax2a， 则Error!即Error! 解得 a3. 故命题 p 中，a3. 即参数 a 的取值范围为(3， ). 1.设 x0，yR R“，则xy”“是x|y|”的( ) A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy“，所以xy”“是x|y|”的必要 条件. 【答案】 C 2.已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内 ，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 ”相交 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由已知，若直线 a，b 相交，则平面 ， 一定存在公共点，故其一定相交； 反之，若平面 与 相交，分别位于这两平面的直线 ab 未必相交.故为充分条件. 【答案】 A 3.设 mR R“，命题 若 m0，则方程 x2xm0”有实根 的逆否命题是( ) A.若方程 x2xm0 有实根，则 m0 B.若方程 x2xm0 有实根，则 m0 C.若方程 x2xm0 没有实根，则 m0 D.若方程 x2xm0 没有实根，则 m0 【解析】 根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命 “题是 若方程 x2xm0 没有实根，则 m0”.故选 D. 【答案】 D 6 4.“命题 x0(0， )，ln x0x01”的否定是( ) A.x(0， )，ln xx1 B.x(0， )，ln xx1 C.x0(0， )，ln x0x01 D.x0(0， )，ln x0x01 【解析】 改变原命题中的三个地方即可得其否定，改为，x0改为 x，否定结论，即 ln xx1，故选 A. 【答案】 A 5.设 a a，b b，c c 是非零向量，已知命题 p：若 a a·b b0，b b·c c0，则 a a·c c0；命题 q：若 a ab b，b bc c，则 a ac c.则下列命题中真命题是( ) A.pq B.pq C.(p)(q) D.p(q) 【解析】 法一 取 a ac c(1,0)，b b(0,1)，显然 a a·b b0，b b·c c0，但 a a·c c10， p 是假命题. a a，b b，c c 是非零向量，由 a ab b 知 a axb b，由 b bc c 知 b byc c， a axyc c，a ac c，q 是真命题. 综上知 pq 是真命题，pq 是假命题. 又p 为真命题，q 为假命题， (p)(q)，p(q)都是假命题. 法二 由于 a a，b b，c c 都是非零向量，a a·b b0，a ab b.b b·c c0，b bc c.如图，则可 能 a ac c，a a·c c0，命题 p 是假命题，p 是真命题.命题 q 中，a ab b，则 a a 与 b b 方向相 同或相反；b bc c，则 b b 与 c c 方向相同或相反.故 a a 与 c c 方向相同或相反，a ac c，即 q 是真命 题，则q 是假命题，故 pq 是真命题，pq，(p)(q)，p(q)都是假命题. 【答案】 A 6.下列叙述中正确的是( ) A.若 a，b，cR R“，则ax2bxc0”“的充分条件是b24ac0” B.若 a，b，cR R“，则ab2cb2”“的充要条件是ac” C.“命题 对任意 xR R，有 x20”“的否定是 存在 xR R，有 x20” D.l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 【解析】“ 由于 若 b24ac0，则 ax2bxc0”“是假命题，所以ax2bxc0” 7 “的充分条件不是b24ac0”，A 错；ab2cb2，且 b20，ac.而 ac 时，若 b20， 则 ab2cb2“不成立，由此知ab2cb2”“是ac”的充分不必要条件，B 错；“对任意 xR R， 有 x20”“的否定是 存在 xR R，有 x20”，C 错；由 l，l，可得 ，理由是： 垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确. 【答案】 D 8