2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.4第2课时两平面垂直学业分层测评苏教版必修2201707.wps

1.2.41.2.4 第 2 2 课时 两平面垂直 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、填空题 1设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面下列命题中正确的序号是 _ (1)若 mn，n，则 m； (2)若 m，则 m； (3)若 m，n，n，则 m； (4)若 mn，n，则 m. 【解析】 (1)中，由 mn，n 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误； (2)中，由 m， 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误； (3)中，由 m，n 可得 mn，又 n，所以 m，正确； (4)中，由 mn，n， 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误 【答案】 (3) 2如图 1298，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD2 3，CC1 2，则二面角 C1BD C 的大小为_ 图 1298 【解析】 如图，取 BD 中点 O，连结 OC，OC1， ABAD2 3，COBD，CO 6. CDBC，C1DC1B，C1OBD. C1OC 为二面角 C1BDC 的平面角， C1C 2 3 tanC1OC ， OC 6 3 C1OC30°，即二面角 C1BDC 的大小为 30°. 【答案】 30° 3下列四个命题： 1 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； 如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行； 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第 一个平面内 其中真命题的序号是_. 【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面 垂直，故正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故不正确；根据平面与平面平 行的性质定理知正确；根据两个平面垂直的性质知正确从而正确的命题有. 【答案】 4如图 1299 所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90°，则二面角 B PAC 的大小为_ 图 1299 【解析】 PA平面 ABC，BA，CA 平面 ABC， BAPA，CAPA，因此，BAC 即为二面角 BPAC 的平面角又BAC90°，故二 面角 BPAC 的大小为 90°. 【答案】 90° 5已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC 3，BC2，则二面角 DBC A 的大小为_ 【解析】 如图，由题意知 ABACBDCD 3，BCAD2. 取 BC 的中点 E，连结 DE，AE，则 AEBC，DEBC，所以DEA 为所求二面角的平面角易 得 AEDE 2，又 AD2，AD2AE2DE2，所以DEA90°. 【答案】 90° 6如图 12100 所示，将等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角， 此时BAC60°，那么这个二面角大小是_ 2 图 12100 【解析】 连结 BC，则ABC 为等边三角形，设 ADa， 则 BCAC 2a，BDDCa， 所以 BC2BD2DC2， 所以BDC90°. 【答案】 90° 7四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两 垂直的共有_对 【解析】 因为 ADAB，ADPA 且 PAABA，可得 AD平面 PAB.同理可得 BC平面 PAB、AB平面 PAD、CD平面 PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面 PAD平面 PAB，平面 PBC 平面 PAB，平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，共有 5 对 【答案】 5 8已知平面 ，且 AB，PC，PD，C，D 是垂足若 PCPD1，CD 2，则平面 与平面 的位置关系是_. 【解析】 因为 PC，AB，所以 PCAB. 同理 PDAB.又 PCPDP，故 AB平面 PCD. 设 AB 与平面 PCD 的交点为 H，连结 CH，DH. 因为 AB平面 PCD，所以 ABCH，ABDH， 所以CHD 是二面角 CABD 的平面角 又 PCPD1，CD 2， 所以 CD2PC2PD22， 即CPD90°.在平面四边形 PCHD 中，PCHPDHCPD90°，所以CHD90°， 3 故平面 平面 . 【答案】 垂直 二、解答题 9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上， 且 B1DA1F，A1C1A1B1. 图 12101 求证：(1)直线 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F. 【证明】 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DEAC，于是 DEA1C1. 又因为 DE 平面 A1C1F，A1C1 平面 A1C1F， 所以直线 DE平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 A1B1C1. 因为 A1C1 平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1. 又因为 A1C1A1B1，A1A 平面 ABB1A1，A1B1 平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 ABB1A1. 因为 B1D 平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D. 又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F. 因为直线 B1D 平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F. 10如图 12102，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是 A1B1，BC，C1D1和 B1C1 的中点 图 12102 (1)求证：平面 MNF平面 NEF； 4 (2)求二面角 MEFN 的平面角的正切值 【解】 (1)证明：连结 MN， N，F 均为所在棱的中点，NF平面 A1B1C1D1. 而 MN 平面 A1B1C1D1，NFMN. 又M，E 均为所在棱的中点， C1MN 和B1NE 均为等腰直角三角形， MNC1B1NE45°，MNE90°， MNNE.又 NFNEN，MN平面 NEF. 而 MN 平面 MNF，平面 MNF平面 NEF. (2)在平面 NEF 中，过点 N 作 NGEF 于点 G，连结 MG. 由(1)得知 MN平面 NEF.又 EF 平面 NEF，MNEF. 又 MNNGN，EF平面 MNG，EFMG. MGN 为二面角 MEFN 的平面角 设该正方体的棱长为 2. NE·NF 2 × 2 2 3 在 RtNEF 中，NG ， EF 6 3 MN 2 6 在 RtMNG 中，tanMGN . NG 2 3 2 3 6 二面角 MEFN 的平面角的正切值为 . 2 能力提升 1已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出下列 四个论断： mn；n；m. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _. 【解析】 由面面垂直的判定定理可知，由 mn，m，n 可推出 ；由面面 垂直的性质定理可知，由 m，n， 可推出 mn. 【答案】 (或) 2如图 12103，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC.底面是以ABC 为直角 的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF_ 时，CF平面 B1DF. 5 图 12103 【解析】 B1D平面 A1ACC1，CFB1D， 为了使 CF平面 B1DF，只要使 CFDF(或 CFB1F)即可，设 AFx，则 CD2DF2FC2， x23ax2a20，xa 或 x2a. 【答案】 a 或 2a 3如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的_ 心 【解析】 三侧面两两垂直， 则三条侧棱也两两垂直， PC平面 PAB， ABPC， 作 PO平面 ABC 于点 O， 则 ABPO，AB平面 POC， ABOC， 同理，OBAC，O 为ABC 的垂心 【答案】 垂 4如图 12104，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60°且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD. 图 12104 (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB； (3)若 E 为 BC 的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明你的结 论 6 【证明】 (1)在菱形 ABCD 中，DAB60°，G 为 AD 的中点，BGAD.又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， BG平面 PAD. (2)如图，连结 PG. PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，PGAD. 由(1)知 BGAD， 又 PG 平面 PGB，BG 平面 PGB，且 PGBGG， AD平面 PGB. PB 平面 PGB，ADPB. (3)当 F 为 PC 的中点时，平面 DEF平面 ABCD.证明如下： F 为 PC 的中点时，在PBC 中，FEPB，又在菱形 ABCD 中，GBDE， 而 FE 平面 DEF，DE 平面 DEF，FEDEE，平面 DEF平面 PGB. 易知 PG平面 ABCD，而 PG 平面 PGB， 平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD. 7