2018版高中数学第一章算法初步1.1.1算法的概念学案新人教B版必修320170718265.wps

1.1.11.1.1 算法的概念 1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想.(重点) 2.了解算法的含义和特征.(重点) 3.算法特征的使用，及算法的设计.(难点) 基础·初探 教材整理 1 算法的概念 阅读教材 P3P4，完成下列问题. 算法的 由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求 概念 设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题 描述算 可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言) 给出 法的方 精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌 式 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)一个算法可解决某一类问题.( ) (2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无.( ) (3)同一个问题可以有不同的算法.( ) 【解析】 (1) 根据算法的概念可知. (2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无. (3)“ 例如二元一次方程组的算法，可用 加减消元法”“”，也可用 代入消元法 . 【答案】 (1) (2)× (3) 教材整理 2 算法的要求 阅读教材 P5“例 2”以上部分，完成下列问题. 1.写出的算法，必须能解决一类问题并且能重复使用. 2.算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过 有限步后能得出结果. 1 下列可以看成算法的是( ) A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当 的练习题 B.今天餐厅的饭真好吃 C.这道数学题很难做 D.方程 2x2x10 无实数根 【解析】 A 是学习数学的一个步骤，所以是算法. 【答案】 A 小组合作型 算法的概念 (1)下列描述不能看作算法的是( ) A.解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 B.洗衣机的使用说明书 C.解方程 2x2x10 D.利用公式 Sr2计算半径为 4 的圆的面积，就是计算 ×42 (2)下列关于算法的说法： 求解某一类问题的算法是唯一的； 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； 算法执行后一定产生明确的结果. 其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2个 C.3 个 D.0个 【精彩点拨】 判断对算法的阐述是否正确，应当以算法的概念为标准，衡量各种阐述是 否符合算法特点. 【尝试解答】 (1)A，B，D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而 C 只描述了一 个事实，没说明怎么解决问题，不是算法. (2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而 有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以正确.而解决某一类问题的算法不一定是 唯一的，故错误. 【答案】 (1)C (2)B 2 1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解 决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想. 2.算法的特点有：有限性，确定性，顺序性和正确性，不唯一性，普遍性.解 答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点进行判断. 再练一题 1.下列叙述中， 植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤； 按顺序进行下列运算：112,213,314，991100； 从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京观看全运会； 3xx1； 求所有能被 3 整除的正数，即 3,6,9,12，. 能称为算法的有_.(填序号) 【解析】 根据算法的含义和特征：都是算法；不是算法.其中，3xx1 不 是一个明确的步骤，不符合确定性；的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾. 【答案】 算法的设计 (1)设计一个算法，判断 7 是否为质数； (2)设计一个算法，判断 35 是否为质数. 【精彩点拨】 (1)依次用 26 除 7，如果它们中有一个能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数；(2)根据(1)的方法进行判断. 【尝试解答】 (1)S1 用 2 除 7，得到余数 1，所以 2 不能整除 7. S2 用 3 除 7，得到余数 1，所以 3 不能整除 7. S3 用 4 除 7，得到余数 3，所以 4 不能整除 7. S4 用 5 除 7，得到余数 2，所以 5 不能整除 7. S5 用 6 除 7，得到余数 1，所以 6 不能整除 7. 因此，7 是质数. (2)S1 用 2 除 35，得到余数 1，所以 2 不能整除 35. S2 用 3 除 35，得到余数 2，所以 3 不能整除 35. S3 用 4 除 35，得到余数 3，所以 4 不能整除 35. S4 用 5 除 35，得到余数 0，所以 5 能整除 35. 因此，35 不是质数. 3 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： 1认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； 2借助有关变量或参数对算法加以表述； 3将解决问题的过程划分为若干步骤； 4用简练的语言将这个步骤表示出来. 再练一题 2.两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩， 他们四人都会划船，但都不会游泳.同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡 河方案. 【导学号：00732000】 【解】 因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他 人，所以只能让两个小孩先 过河，渡河的方法与步骤为： 第一步，两个小孩子同船渡过河； 第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人独自划船渡过河； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩再同船划船渡过河去； 第六步，一个小孩划船回来； 第七步，余下的一个大人独自划船渡过河； 第八步，对岸的小孩划船回来； 第九步，两个小孩再同船划船渡过河去. 算法的应用 设计算法，给定任一 x的值，求 y的值，其中 yError! 【精彩点拨】 题目中的函数为分段函数，求函数值时，应对 x进行分类讨论.判断给定 的 x的值与 0 的大小关系，再代入相应关系式求函数值. 【尝试解答】 S1 输入 x的值. S2 判断 x是否大于零，若 x0，执行 S3；否则，执行 S4. S3 计算 yx21 的值，转去执行 S5. S4 计算 y2x1 的值. S5 输出 y的值. 4 分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况 考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤. 再练一题 3.已知 yError!写出给定变量 x的值，求函数值 y的算法. 【解】 算法如下： S1 输入 x的值. S2 若 x0，则 yx1，然后执行 S4；否则执行 S3. S3 若 x0，则 y0，然后执行 S4；否则 yx1. S4 输出 y的值. 探究共研型 算法的概念与特征 探究 1 是不是任何一个算法都有明确的结果？ 【提示】 是.因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就 班地去做，总能得到确定的结果. 探究 2 算法的书写步数等同于算法的执行步数吗？ 【提示】 不同.在算法构造中会出现步骤的重复使用 ，也就是说算法的执行步数大于等 于算法的书写步数，很有可能书写的步数较少而要执行的步数很多，但不可以无限.另外，在 算法中有些步骤也可能不被执行. 探究 3“”“ 书写算法时，能使用、 同理”“”、 类似地 等词语吗？ 【提示】 不能.书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“”、“同 理”“”、 类似地 等所代表的部分是无法执行的. 探究 4 一个具体问题的算法唯一吗？ 【提示】 一个具体问题的算法不唯一.如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法 两种.由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一. 探究 5 描述算法的方式唯一吗？ 【提示】 描述算法可以有不同的方式.例如，可以用自然语言和数学语言加以叙述，后 面还会学习用程序设计语言给出精确的说明，或者用框图直观地显示算法的全貌. 探究 6 写算法应该注意什么？ 【提示】 算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述 可以用自然语言，也可以用数学语言. 写算法应注意以下几点： 1.写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数 n(n1)是否为质数；求任意一个 方程的近似解；)，并且能够重复使用. 5 2.要使算法尽量简单、步骤尽量少. 3.要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算 1×2×3×4×5是可以做到的. 再如：用自然语言描述求 yx22x3 的最大值的算法. 一般同学们会这样写：S1 配方得 y(x1)24. S2 函数的最大值为 4. 实际上，作为一个具体问题来说，上述解法没有什么错误，但是我们要描述的是求这一类 问题的算法，它可以用来解决这个问题，也可以用来求这一类问题，则上述解法就欠妥了.应 就 yax2bxc 作一般讨论. 本题算法应该这样写： S1 给 a，b，c 赋值. S2 判断 a0 “是否成立，若成立，则输出 函数无最大值”，结束算法；否则执行 S3. 4acb2 S3 计算 ，并将结果赋给 max. 4a S4 输出 max，结束算法.(算法执行过程中，依次给 a，b，c 取值1、2、3) 已知一个等边三角形的周长为 a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个 问题. 【精彩点拨】 对于已知等边三角形的边长求面积的题目.同学们已经很熟悉，回顾其中 的解题过程不难得到这个问题的算法步骤. 【尝试解答】 算法步骤如下： S1，输入 a 的值. a S2，计算 l 的值. 3 3 S3，计算 S ×l2的值. 4 S4，输出 S 的值. 1.写一个算法应遵循由粗到细的处理问题的方法，先确定大的框架，再根据情况具体化， 这是设计算法时普遍采用的方法. 2.给出一个问题，设计算法时要注意： (1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法； (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况； (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤. 再练一题 4.下面给出了一个问题的算法： 6 S1，输入 x. S2，若 x4，则执行 S3，否则执行 S4. S3，输出 2x1. S4，输出 x22x3. 这个算法解决的问题是什么？ 【解】 这个算法先是输入一个变量 x，当 x4 时输出 2x1，当 x4 时输出 x22x3， 不难发现这个算法解决的问题是求分段函数 f(x)Error!的函数值. 1.算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里指算法的 ( ) A.有穷性 B.确定性 C.逻辑性 D.不唯一性 【解析】 算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性. 【答案】 B 2.结合下面的算法： S1 输入 x. S2 判断 x 是否小于 0.若是，则输出 x2，否则执行第三步. S3 输出 x1. 当输入的 x 的值为1,0,1时，输出的结果分别为( ) A.1,0,1 B.1,1,0 C.1，1,0 D.0，1,1 【解析】 根据 x 值与 0 的关系，选择执行不同的步骤.当 x1 时，输出 x2，即输出 1；当 x0 时，输出 x1，即输出1；当 x1 时，输出 x1，即输出 0. 【答案】 C 3.输入一个 x 值，利用 y|x1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整： S1 输入 x； S2 _； S3 计算 yx1； S4 输出 y. 【解析】 含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当 x 1 时 yx1；当 x1 时 yx1，由此可完善算法. 【答案】 当 x1 时，计算 yx1，否则执行 S3 7 4.已知长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，写出求对角线长 l 的算法如下： S1 输入长、宽、高即 a，b，c 的值. S2 计算 l a2b2c2的值. S3 _. 将算法补充完整，横线处应填_. 【解析】 算法要有输出，故第三步应为输出结果 l 的值. 【答案】 输出对角线长 l 的值 5.设计一个算法，求表面积为 16 的球的体积. 【解】 法一：S1 取 S16. S S2 计算 R (由于 S4R2). 4 4 S3 计算 V R3. 3 S4 输出运算结果. 法二：S1 取 S16. 4 S 3 S2 计算 V . 3 (4 ) S3 输出运算结果. 8