2018版高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修3201707182.wps

1.31.3 中国古代数学中的算法案例 1.了解割圆术中无限逼近的数学思想.(重点) 2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程.(重点) 3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.(重点) 4.利用秦九韶算法计算多项式的值.(难点) 基础·初探 教材整理 1 更相减损之术(等值算法) 阅读教材 P27P28“”探索与研究 以上部分，完成下列问题. 求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法)： 用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大 数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数. (2)“”用 等值算法 求最大公约数的程序： “”用 等值算法 可求得 98与 280 的最大公约数为_. 【 解 析 】 (98,280)(98,182)(98,84)(14,84)(14,70)(14,56) (14,42)(14,28)(14,14)，最大公约数为 14. 1 【答案】 14 教材整理 2 割圆术 阅读教材 P28P29，完成下列问题. 用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值. 我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率 是( ) A.准确值 B.近似值 C.循环小数 D.有理数 【答案】 B 教材整理 3 秦九韶算法 阅读教材 P30P31，完成下列问题. 1.把一元 n 次多项式 P(x)anxnan1xn1a1xa0改写为 P(x)anxnan1xn1a1xa0 (anxn1an1xn2a1)xa0 (anxn2an1xn3a2)xa1)xa0 (anxan1)xan2)xa1)xa0. 令 vk( anx an1)x an(k1)x ank， 则递推公式为：Error!其中 k1,2，n. 2.计算 P(x0)的方法： 先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项. 用秦九韶算法求多项式 f(x)x33x22x11 当 xx0时的值时，应把 f(x)变形为( ) A.x3(3x2)x11 B.(x3)x2(2x11) C.(x1)(x2)x11 D.(x3)x2)x11 【解析】 f(x)x33x22x11(x23x2)x11 (x3)x2)x11. 【答案】 D 小组合作型 2 求最大公约数 “” 用 等值算法 (更相减损之术)求 78和 36 的最大公约数. 【精彩点拨】 按等值算法的步骤执行即可. 【尝试解答】 操作如下： (78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12)(6,6)，所以最大公约 数为 6. 用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小 数就是要求的两数的最大公约数. 再练一题 1.“”用 等值算法 (更相减损之术)求 98与 63 的最大公约数. 【解】 操作如下： (98,63)(35,63)(28,35)(7,28)(7,21)(7,14)(7,7)，所以 98与 63 的最大公 约数为 7. 秦九韶算法的应用 用秦九韶算法求多项式 f(x)7x76x65x54x43x32x2x 当 x3 时的值. 【精彩点拨】 改写多项式，确定 v0，再依次计算 vi，i1,2,3,4,5,6,7，最后求得 f(3). 【尝试解答】 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x， 由内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x3 时的值： 由 v07； v17×3627； v227×3586； v386×34262； v4262×33789； v5789×322 369； v62 369×317 108； v77 108×321 324， 故 x3 时，多项式 f(x)7x76x65x54x43x32x2x 的值为 21 324. 利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由 于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算 3 准确. 再练一题 2.用秦九韶算法求多项式 f(x)1x0.5x20.166 67x30.041 67x40.008 33x5在 x 0.2 时的值. 【导学号：00732029】 【解】 x0.2. a50.008 33 v0a50.008 33， a40.041 67 v1v0xa40.04， a30.166 67 v2v1xa30.158 67， a20.5 v3v2xa20.468 27， a11 v4v3xa10.906 35， a01 v5v4xa00.818 73， 所以 f(0.2)0.818 73. 探究共研型 秦九韶算法中的运算次数 探究 1 怎样计算多项式 f(x)x5x4x3x2x1 当 x5 时的值呢？统计所做的计算 的种类及计算次数分别是什么？ 【提示】 f(5)55545352513 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需 要 10次乘法运算，5 次加法运算. 探究 2 我们把多项式变形为f(x)x2(1x(1x(1x)x1，再统计一下计算当x5 时的计算的种类及计算次数分别是什么？ 【提示】 从里往外计算仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果. 探究 3 怎样利用秦九韶算法把求 n 次多项式 f(x)的值转化为求 n 个一次多项式的值？ 【提示】 f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0 (anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0 (anxn2an1xn3a2)xa1)xa0 (anxan1)xan2)xa1)xa0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1anxan1，然后由内向 外逐层计算一次多项式的值，即 v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0，这样， 求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 已知 f(x)x52x43x34x25x6，用秦九韶算法求这个多项式当 x2 时的 值时，做了几次乘法？几次加法？ 4 【精彩点拨】 用秦九韶算法多项式的值时，要先将多项式改写成 f(x)(anxan1)x a1)xa0，然后逐步计算乘法和加法的次数，但要注意 v01 时，也作了一次乘法. 【尝试解答】 在 v1“中虽然v1224”，而计算机还是做了 1“次乘法v12×12 4”.因为用秦九韶算法计算多项式 f(x)anxnan1xn1a1xa0当 xx0时的值时，首 先将多项式改写成 f(x)(anxan1)xa1)xa0，然后再计算 v1anxan1，v2v1x an2，v3v2xan3，vnvn1xa0.无论 an 是不是 1，这次的乘法都是要进行的.由以上 分析，共做了 5 次乘法，5 次加法. 利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数，与多项式的未知数的最高次项的 指数相同，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同. 再练一题 3.用秦九韶算法求多项式 f(x)4x5x22 当 x3 时的值时，需要进行的乘法运算和加 法运算的次数分别为( ) A.4,2 B.5,3 C.5,2 D.6,2 【解析】 f(x)4x5x22(4x)x)x1)x)x2，需 5 次乘法运算和 2 次加法运算. 【答案】 C 1.用秦九韶算法计算 f(x)6x54x4x32x29x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数 分别为( ) A.5,4 B.5,5 C.4,4 D.4,5 【解析】 n 次多项式需进行 n 次乘法；若各项均不为零，则需进行 n 次加法，缺一项就 减少一次加法运算.f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为 514.故选 D. 【答案】 D 2.用更相减损之术求 294和 84的最大公约数时，需做减法的次数是( ) 【导学号：00732030】 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 (294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)，需做 4 次减法. 【答案】 C 3.用秦九韶算法求多项式 f(x)1235x8x279x36x45x53x6在 x4 的值时，v4 5 的值为( ) A.57 B.220 C.845 D.3 392 【解析】 v03，v1v0x5，v2v1x6，v3v2x79，v4v3x8，v4220. 【答案】 B 4.用更相减损之术求 36,24的最大公约数是_. 【解析】 362412,241212， 因此 36,24的最大公约数是 12. 【答案】 12 5.用更相减损之术求 80和 36 的最大公约数. 【解】 (80,36)(44,36) (8,36)(8,28) (8,20)(8,12) (8,4)(4,4)， 所以 80与 36 的最大公约数为 4. 6