2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版必修4201707241.wps

3.1.13.1.1 两角差的余弦公式 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点) 2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点) 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易 混点) 基础·初探 教材整理 两角差的余弦公式 阅读教材 P124P126例 1 以上内容，完成下列问题. cos()cos cos sin sin . (1)适用条件：公式中的角 ， 都是任意角. (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反. 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)cos(60°30°)cos 60°cos 30°.( ) (2)对于任意实数 ，cos()cos cos 都不成立.( ) (3)对任意 ，R R，cos()cos cos sin sin 都成立.( ) (4)cos 30°cos 120°sin 30°sin 120°0.( ) 【解析】 (1)×.cos(60°30°)cos 30°cos 60°cos 30°. (2)×.当 45°，45°时，cos()cos(45°45°)cos(90°) 0，cos cos cos(45°)cos 45°0，此时 cos()cos cos . (3).结论为两角差的余弦公式. (4).cos 30°cos 120°sin 30°sin 120°cos(120°30°)cos 90°0. 【答案】 (1)× (2)× (3) (4) 小组合作型 1 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345°的值等于( ) 2 6 A. B. 4 6 2 4 2 6 C. D. 4 2 6 4 2cos 10°sin 20° (2) 的值是( ) sin 70° 1 A. B. 2 3 2 C. 3 D. 2 (3)化简下列各式： cos(21°)cos(24°)sin(21°)·sin(24°)； sin 167°·sin 223°sin 257°·sin 313°. 【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后 利用两角差的余弦公式求解. (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用. 【自主解答】 (1)cos 345°cos(360°15°) cos 15°cos(45°30°) cos 45°cos 30°sin 45°sin 30° 6 2 . 4 2cos30°20°sin 20° (2)原式 sin 70° 2cos 30°·cos 20°2sin 30°·sin 20°sin 20° sin 70° 3cos 20° 3sin 70° 3. sin 70° sin 70° (3) 原式cos21°(24°) 2 2 cos 45° ，所以原式 ； 2 2 原式sin(180°13°)sin(180°43°)sin(180°77°)·sin(360°47°) 2 sin 13°sin 43°sin 77°sin 47° sin 13°sin 43°cos 13°cos 43° 3 cos(13°43°)cos(30°) . 2 2 【答案】 (1)C (2)C (3) 2 3 2 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公 式求值. 2.两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦. (2)把所得的积相加. 再练一题 1.求下列各式的值： 13 (1)cos ； 12 (2)sin 460°sin(160°)cos 560°cos(280°)； (3)cos(20°)cos(40°)sin(20°)sin(40°). 13 【解】 (1)cos cos 12)cos 12 ( 12 3 2 cos( 12)cos( 6) 12 4 (cos cos 4 sin 6 sin 4 6) 2 3 2 1 6 2 ( 2) . × × 2 2 2 4 (2)原式sin 100°sin 160°cos 200°cos 280° sin 100°sin 20°cos 20°cos 80° (cos 80°cos 20°sin 80°sin 20°) 1 cos 60° . 2 (3)cos(20°)cos(40°)sin(20°)·sin(40°) cos(20°)(40°) 3 1 cos(60°) . 2 已知三角函数值求角 1 5 已知 ， 为锐角，cos ，sin( ) 3，求 . 【导学号： 7 14 00680066】 【精彩点拨】 本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某 一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小. 1 【自主解答】 为锐角，且 cos ， 7 1 4 3 sin 1cos2 1(7 ) . 2 7 又 ， 为锐角，(0，). 5 又 sin() 3sin ，( ，). 14 2 cos() 1sin2 5 11 1( 3 ) . 2 14 14 cos cos() cos()cos sin()sin 11 1 5 3 4 3 1 (14 )× × . 7 14 7 2 又 为锐角， . 3 1.这类问题的求解，关键环节有两点： (1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函 数的性质与图象，角可求解. 2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 再练一题 2 5 10 2.已知 ， 均为锐角，且 cos ，cos ，求 的值. 【导学号： 5 10 70512041】 【解】 ， 均为锐角， 4 5 3 10 sin ，sin . 5 10 cos()cos cos sin sin 2 5 10 5 3 10 2 × × . 5 10 5 10 2 又 sin sin ， 0 ， 0. 2 2 故 . 4 探究共研型 利用角的变换求三角函数值 探究 1 若已知 和 的三角函数值，如何求 cos 的值？ 【提示】 cos cos() cos()cos sin()sin . 探究 2 利用 () 可得 cos 等于什么？ 【提示】 cos cos()cos cos()sin sin(). 探究 3 若 cos cos a，sin sin b，则 cos()等于什么？ 2a2b2 【提示】 cos() . 2 4 3 已知 sin( 4) ，且 ，求 cos 的值. 5 4 4 4 【精彩点拨】 先根据 sin( 4)5求出 cos( 4)的值，再根据 ( 4) 4 构造两角差的余弦，求出 cos 的值. 4 3 【自主解答】 sin( 4) ，且 ， 5 4 4 ， 2 4 4 3 cos( 4) 1( ， 5 )2 5 cos cos( 4) 4 cos( 4)cos 4 sin( 4)sin 4 3 2 4 2 2 × × . 5 2 5 2 10 5 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值， 或证明 另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有： 单角变为和差角，如 ， 等；倍角化为和差角，如 2 2 2 等等. 再练一题 1 2 3.设 cos( 2)9，sin( )3，其中 ( ，)，(0， 2)，求 cos 2 2 2 的值. 【解】 ( ，)，(0， 2)， 2 2 ( ， 2 ( ， ，) ， 2) 4 4 1 4 5 sin( 2) 1cos2( 2) 1 9 ，cos( ) 1sin2( ) 81 2 2 4 5 1 . 9 3 2 ( 2)( ) cos cos 2 cos( 2)cos( )sin( 2)sin( ) 2 2 1 5 4 5 2 7 5 (9 )× × . 3 9 3 27 1.cos 65°cos 35°sin 65°sin 35°等于( ) A.cos 100° B.sin 100° 3 1 C. D. 2 2 3 【解析】 原式cos(65°35°)cos 30° . 2 【答案】 C 2.若 a a(cos 60°，sin 60°)，b b(cos 15°，sin 15°)，则 a a·b b( ) 6 2 1 A. B. 2 2 3 1 C. D. 2 2 【解析】 a a·b bcos 60°cos 15°sin 60°sin 15° 2 cos(60°15°)cos 45° . 2 【答案】 A 3 5 3.已知锐角 ， 满足 cos ，cos() ，则 cos 等于( ) 5 13 33 33 A. B. 65 65 54 54 C. D. 75 75 3 5 【解析】 因为 ， 为锐角，cos ，cos() ， 5 13 4 12 所以 sin ，sin() . 5 13 所以 cos cos() cos()·cos sin()·sin 5 3 12 4 × × 13 5 13 5 33 .故选 A. 65 【答案】 A 4.sin 75°_. 【解 析】 sin 75°cos 15° cos(45°30°) cos 45°·cos 30°sin 45°·sin 30° 2 3 2 1 × × 2 2 2 2 6 2 . 4 【答案】 6 2 4 12 3 5.已知 ， 为锐角，cos() ，cos(2) ，求 cos 的值. 13 5 【解】 因为 ， 为锐角，所以 0. 12 又因为 cos() ，所以 0 ，所以 02. 13 2 7 3 又因为 cos(2) ，所以 02 ， 5 2 5 4 所以 sin() ，sin(2) ， 13 5 所以 cos cos(2)() cos(2)·cos()sin(2)·sin() 3 12 4 5 56 × × . 5 13 5 13 65 8