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    2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修42017072411.wps

    • 资源ID:2943586       资源大小:466KB        全文页数:21页
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    2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修42017072411.wps

    3.23.2 简单的三角恒等变换 1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简 单的应用.(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角 恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点) 基础·初探 教材整理 半角公式 阅读教材 P139P140例 2 以上内容,完成下列问题. 1cos sin ± , 2 2 1cos cos ± , 2 2 1cos tan ± , 2 1cos sin sin ·2cos 2 2 2 sin tan , 2 1cos cos cos ·2cos 2 2 2 sin sin ·2sin 2 2 2 1cos tan . 2 sin cos cos ·2sin 2 2 2 判断(“正确的打”“,错误的打 ×”) 1cos (1)cos .( ) 2 2 1 (2)存在 R R,使得 cos cos .( ) 2 2 1 (3)对于任意 R R,sin sin 都不成立.( ) 2 2 1 1cos (4)若 是第一象限角,则 tan .( ) 2 1cos 【解析】 (1)×.只有当 2k 2k(kZ Z),即4k 2 2 2 1cos 4k(kZ Z)时,cos . 2 2 (2).当 cos 31 时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当 2k(kZ Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. 1cos (4).若 是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时 tan 成立. 2 2 1cos 【答案】 (1)× (2) (3)× (4) 小组合作型 化简求值问题 3 (1)已知 cos ,且 180°0,cos 50, 5 5 所以 的终边落在第一象限, 的终边落在第一、三象限, 2 所以 tan 0,故 tan 2 2 1cos 1cos 2 5 1 5 52. 2 5 1 5 【答案】 C (2)原式 (sin 2|cos 2) 2 | 2 cos 2 2| 2|sin (sin cos 2) 2 2 . 2|cos 2| 2|sin 2| 3 3 0, 2 2 2 4 2 2 4 (sin 2) cos 2 2 原式 2(sin 2) cos 2 (sin 2(sin cos 2 cos 2 2)2 2) sin cos sin 2 2 2 cos 2 2 2 2cos . 2 三角恒等式的证明 (1)求证:12cos2cos 22; (2)求证: 2sin xcos x 1cos x . sin xcos x1sin xcos x1 sin x 【精彩点拨】 (1)可由左向右证:先把左边 cos2 降幂化为同角后整理可证. (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化. 1cos 2 【自主解答】 (1)左边12cos2cos 212× cos 22右边. 2 所以原等式成立. 2sin xcos x (2)左边 x x x x x x (2sin cos 2)(2sin 2sin2 cos 2sin22) 2 2 2 2 2sin xcos x sin x x x x x 4sin22(cos sin2 2sin2 2 2) 2 2 x x cos 2cos2 2 2 1cos x 右边. x x x sin x sin 2sin cos 2 2 2 所以原等式成立. 三角恒等式证明的五种常用方法: (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子. 5 (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简 言之,即化异求同. 左边 (4)比较法:设法证明“左边右边0”或“ 1”. 右边 (5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显 的事实为止,就可以断定原等式成立. 再练一题 sinsin tan2 2.求证: 1 . sin2cos2 tan2 【证明】 法一:左边 sin cos cos sin sin cos cos sin sin2cos2 sin2cos2cos2sin2 cos2sin2 1 sin2cos2 sin2cos2 tan2 1 右边, tan2 原等式成立. cos2sin2 法二:右边1 sin2cos2 sin2cos2cos2sin2 sin2cos2 sin cos cos sin sin cos cos sin sin2cos2 sinsin 左边, sin2cos2 原等式成立. 三角函数在实际问题中的应用 如图 321 所示,要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使 OAB 的周长最大? 图 321 【精彩点拨】 设AOB建立周长l求l的最大值 【自主解答】 设AOB,OAB 的周长为 l,则 ABRsin ,OBRcos , lOAABOB 6 RRsin Rcos R(sin cos )R 2Rsin( 4)R. 3 00)的最小正周期为 . (1)求 的值; (2)讨论 f(x)在区间0, 2上的单调性. 【精彩点拨】 利用三角公式化简函数式,写为 f(x)Asin(x)b 的形式,再讨 论函数的性质. 【自主解答】 (1)f(x)4cos x·sin(x 4) 2 2sin x·cos x2 2cos2 x 2(sin 2xcos 2x) 22sin(2x 4) 2. 2 因为 f(x)的最小正周期为 ,且 0,从而有 ,故 1. 2 (2)由(1)知,f(x)2sin(2x 4) 2. 5 若 0x ,则 2x . 2 4 4 4 当 2x , 4 4 2 即 0x 时,f(x)单调递增; 8 8 5 当 0, 2 (0, 2) 2 1cos 30 cos . 2 2 6 【答案】 C 3 3 2.已知 cos 5,(,2),则 sin 等于( ) 2 2 5 A. B. 5 5 5 4 2 5 C. D. 5 5 3 1cos 5 【解析】 由题知 2 (,),sin 0,sin . 4 2 2 2 5 【答案】 A 5 3.已知 sin cos ,则 sin 2 的值等于( ) 4 7 7 A. B. 16 16 9 9 C. D. 16 16 5 【解析】 由 sin cos , 4 25 9 (sin cos )212sin cos 1sin 2 ,所以 sin 2 . 16 16 【答案】 C 3 4.函数 y sin 2xcos2x 的最小正周期为_. 2 3 3 1 1 1 【解析】 y sin 2xcos2x sin 2x cos 2x2sin(2x 6) ,函数的最 2 2 2 2 2 小正 周期 T . 2 【答案】 5.求证:4sin cos2 2sin sin 2. 2 【证明】 法一:左边2sin ·2cos2 2sin (1cos ) 2 2sin 2sin cos 2sin sin 2右边, 10 所以原式成立. 法二:右边2sin 2sin cos 2sin (1cos )2sin ·2cos2 2 4sin cos2 左边, 2 所以原式成立. 11

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