2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修420170.wps

3.1.33.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点) 基础·初探 教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材 P132P133例 5 以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 22sin cos C2 cos 2cos2 sin2 2tan T2 tan 2 1tan2 2.余弦的二倍角公式的变形 3.正弦的二倍角公式的变形 1 sin 2 (1)sin cos sin 2，cos . 2 2sin (2)1±sin 2(sin ±cos )2. 1.判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角 ，使得 sin 22sin 成立.( ) (3)对于任意的角 ，cos 22cos 都不成立.( ) 【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式， 要求 k(kZ Z)且 ± k(kZ Z)，故此说法错误. 2 4 1 (2).当 k(kZ Z)时，sin 22sin . 1 3 (3)×.当 cos 时，cos 22cos . 2 【答案】 (1)× (2) (3)× 1 2.已知 cos ，则 cos 2 等于_. 3 1 1 7 【解析】 由 cos ，得 cos 22cos212× 3 )21 . 3 ( 9 7 【答案】 9 小组合作型 利用二倍角公式化简三角函数式 化简求值. (1)cos4 sin4 ； 2 2 (2)sin ·cos ·cos ； 24 24 12 (3)12sin2 750°； 13tan2 150° (4)tan 150° . 2tan 150° 【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】 (1)cos4 sin4 2 2 (cos 2 sin2 2 2)(cos 2 sin2 2 2) cos . 1 (2)原式2(2sin cos 24)·cos 24 12 1 1 sin ·cos ·cos 4(2sin 2 12 12 12 12) 1 1 sin . 4 6 8 1 原式 . 8 (3)原式cos(2×750°)cos 1 500° 2 1 cos(4×360°60°)cos 60° . 2 1 原式 . 2 2tan2150°13tan2 150° (4)原式 2tan 150° 1tan2 150° 1 2tan 150° tan2 × 150° 1 1 tan 300° tan360°60° 1 3 . tan 60° 3 3 原式 . 3 二倍角公式的灵活运用： (1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 1 2sin cos sin 2，sin cos sin 2， 2 sin 2 2tan cos ，cos2 sin2 cos 2， tan 2. 2sin 1tan2 (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公 式.主要形式有： 1±sin 2sin2 cos2 ±2sin cos (sin ±cos )2，1cos 2 1cos 2 1cos 2 2cos2 ，cos2 ，sin2 . 2 2 再练一题 1.求下列各式的值： (1)sin cos ； 12 12 2tan 150° (2) ； 1tan2150° 1 3 (3) ； sin 10° cos 10° (4)cos 20°cos 40°cos 80°. 2sin cos sin 12 12 6 1 【解】 (1)原式 . 2 2 4 3 (2)原式tan(2×150°)tan 300°tan(360°60°) tan 60° 3. cos 10° 3sin 10° (3)原式 sin 10°cos 10° 1 2 2( cos 10° 3 sin 10°) 2 sin 10°cos 10° 4sin 30°cos 10°cos 30°sin 10° 2sin 10°cos 10° 4sin 20° 4. sin 20° 2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° (4)原式 2sin 20° 2sin 40°·cos 40°·cos 80° 4sin 20° 2sin 80°·cos 80° sin 160° 1 . 8sin 20° 8sin 20° 8 利用二倍角公式解决求值问题 (1)已知 sin 3cos ，那么 tan 2 的值为( ) A.2 B.2 3 3 C. D. 4 4 1 2 (2)已知 sin( )3，则 cos( 2)的值等于( ) 6 3 7 1 A. B. 9 3 7 1 C. D. 9 3 3 2 (3)已知 cos ，sin 3， 是第三象限角，( ，). 4 2 求 sin 2 的值；求 cos(2)的值. 【精彩点拨】 (1)可先求 tan ，再求 tan 2； 2 (2)可利用 22 )及 )求值； 3 ( 2 ( 3 3 6 (3)可先求 sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和的余弦公式求 cos(2). 【自主解答】 (1)因为 sin 3cos ， 所以 tan 3， 2tan 2 × 3 3 所以 tan 2 . 1tan2 132 4 4 (2)因为 cos( )sin ( ) 3 2 3 1 sin( ) ， 6 3 2 所以 cos( 2)2cos2( )1 3 3 1 7 2×(3 )21 . 9 【答案】 (1)D (2)C 3 (3) 因为 是第三象限角，cos ， 4 7 所以 sin 1cos2 ， 4 7 3 3 7 所以 sin 22sin cos 2×( 4 )×(4 ) . 8 2 因为 ( ，)，sin ， 2 3 5 所以 cos 1sin2 ， 3 9 1 cos 22cos2 12× 1 ， 16 8 1 5 3 7 2 56 7 所以 cos(2)cos 2cos sin 2sin 8×( 3 ) × . 8 3 24 直接应用二倍角公式求值的三种类型 同角三角函数的关系 二倍角公式 (1)sin (或 cos ) cos (或 sin ) sin 2(或 cos 2). 二倍角公式 (2)sin (或 cos ) cos 212sin2 (或 2cos2 1). 同角三角函数的关系 (3)sin (或 cos ) Error! 再练一题 5 2.(1)已知 ( ，)，sin ，则 sin 2_，cos 2_，tan 2 2 5 _. 5 1 (2)已知 sin( )sin( )6，且 ( ，)，求 tan 4 的值. 【导学号： 4 4 2 70512043】 5 2 5 【解析】 (1)因为 ( ，)，sin ，所以 cos ，所以 sin 22sin 2 5 5 5 2 5 4 5 3 cos 2× × ，cos 212sin2 12× 2 ，tan 2 5 ( 5 ) 5 (5 ) 5 sin 2 4 . cos 2 3 4 3 4 【答案】 5 5 3 (2)因为 sin( )sin ( ) 4 2 4 cos( )， 4 1 则 已知条件可化为 sin( )cos( ) ， 4 4 6 1 1 2 2( ) 即 sin ， 4 6 1 所 以 sin( 2) ， 2 3 1 所以 cos 23.因为 ( ，)，所以 2(，2)， 2 2 2 从而 sin 2 1cos22 ， 3 sin 2 所以 tan 2 2 2， cos 2 2tan 2 4 2 4 2 故 tan 4 . 1 2 22 1tan22 7 利用二倍角公式证明 求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B； (2)cos2(1tan2)cos 2. 【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角 公式转化为右边形式. (2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 6 1cos2A2B 1cos2A2B (1)左边 2 2 cos2A2Bcos2A2B 2 1 (cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B) 2 cos 2Acos 2B右边， 等式成立. sin2 (2)法一：左边cos2(1cos2) cos2sin2cos 2右边. 法二：右边cos 2cos2sin2 sin2 cos2(1cos2)cos2(1tan2)左边. 证明问题的原则及一般步骤： 1观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端 都化简，即采用“两头凑”的思想. 2证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本 着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 再练一题 1sin 2 1 1 3.证明： tan . 【导学号：00680072】 2cos2 sin 2 2 2 sin2 cos2 2sin cos 【 证 明 】 左 边 2cos2 2sin cos sin cos 2 2cos sin cos sin cos 1 1 tan 右边. 2cos 2 2 1sin 2 所以 2cos2 sin 2 1 1 tan 成立. 2 2 探究共研型 倍角公式的灵活运用 探究 1 请利用倍角公式化简： 2 22cos (23). 7 【提示】 23， 3 3 ， ， 2 2 2 4 4 2 22cos 2 4cos2 22cos 4sin2 2sin . 2 2 4 4 探究 2 如何求函数 f(x)2cos2x12 3·sin xcos x(xR R)的最小正周期？ 【提示】 求函数 f(x)的最小正周期，可由 f(x)(2cos2x1) 3×(2sin xcos x) cos 2x 3sin 2x2sin( 2x)，知其最小正周期为 . 6 7 求函数 f(x)5 3cos2x 3sin2x4sin xcos x，x 24的最小值，并求其 ， 4 单调减区间. 【精彩点拨】 化简fx的解析式fxAsinxBx的范围 求最小值，单调减区间 1cos 2x 1cos 2x 【自主解答】 f(x)5 3· 3· 2sin 2x 2 2 3 32 3cos 2x2sin 2x 3 34( 3 1 cos 2x sin 2x) 2 2 3 34(sin cos 2xcos 3 sin 2x) 3 3 34sin( 2x)3 34sin(2x 3). 3 7 x ， 2x ， 4 24 6 3 4 1 2 sin(2x 3) 2， ， 2 7 当 2x ，即 x 时， 3 4 24 f(x)取最小值为 3 32 2. 7 ysin(2x 3)在 上单调递增， ， 24 4 7 f(x)在 上单调递减. ， 24 4 8 本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将 函数表达式化成形如 yAsinx的形式，再利用函数图象解决问题. 再练一题 4.求函数ysin4x2 3sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0， 上的单调递减区间. 【解】 ysin4x2 3sin xcos xcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x 3 1 sin 2x 2( cos 2x)2sin(2x 6)， 2 2 2 所以 T ，ymin2. 2 3 由 2k 2x 2k ，kZ Z， 2 6 2 5 得 k xk ，kZ Z， 3 6 5 又 x0，所以令 k0，得函数的单调递减区间为 ， . 6 3 1.sin 22°30·cos 22°30的值为( ) 2 A. B. 2 2 4 2 1 C. D. 2 2 1 2 【解析】 原式 sin 45° . 2 4 【答案】 B 1 2.已知 sin x ，则 cos 2x 的值为( ) 4 7 1 A. B. 8 8 1 C. D. 2 2 2 1 【解析】 因为 sin x ， 4 9 1 7 所以 cos 2x12sin2 x12×(4 )2 . 8 【答案】 A 3.(cos 的值为( ) 【导学号：00680073】 sin 12)(cos 12) sin 12 12 3 1 A. B. 2 2 1 C. D. 2 3 2 3 【解析】 原式cos2 sin2 cos . 12 12 6 2 【答案】 D 1 sin 2cos2 4.已知 tan ，则 _. 3 1cos 2 sin 2cos2 2sin cos cos2 2sin cos cos2 【解析】 1cos 2 12cos21 2cos2 1 5 tan . 2 6 5 【答案】 6 5.求下列各式的值： 2 (1)cos cos ； 5 5 1 (2) cos2 . 2 8 2sin 【解】 (1)原式 cos 5 2sin cos 5 5 2 5 2 2 4 sin cos sin sin 5 5 5 5 1 . 4 2sin 4sin 4sin 5 5 5 12cos2 8 (2)原式 2 2cos2 1 8 2 1 2 cos . 2 4 4 10