2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_120170719.wps

3.1.33.1.3 导数的几何意义 1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重点) 2.理解导函数的概念、会求导函数.(重点) 3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混点) 基础·初探 教材整理 1 导数的几何意义 阅读教材 P76导数的几何意义P77例 2 以上部分，完成下列问题. 导数的几何意义 1.设点 P(x0，f(x0)，Pn(xn，f(xn)是曲线 yf(x)上不同的点，当点 Pn(xn，f(xn)(n 1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位 fxnfx0 置的直线 PT称为 过点 P的切线，且 PT的斜率 k lim f ( x0). xnx0 xnx0 2.函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处切 线的斜率，在点 P的切线方程为 y f(x0) f ( x0)(x x0). 判断(“正确的打”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点.( ) (3)若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 导函数的概念 阅读教材 P79导函数部分，完成下列问题. 导函数的概念 从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程看到，当 xx0时，f(x0)是一个确定的数；当 x变 化 时 ， f(x) 是 x 的 一 个 函 数 ， 称 为 f(x) 的 导 函 数 ， 即 f(x) y lim x0 fxxfx . x 判断(“正确的打”，错误的打“×”) 1 (1)函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)与导函数 f(x)之间是有区别的.( ) (2)导函数 f(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.( ) (3)函数 f(x)0 没有导函数.( ) 【答案】 (1) (2)× (3)× 小组合作型 导数几何意义的应用 如图 313，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点 E作 OB的垂线 l.记AOB 在直线 l左侧部分的面积为 S，则函数 Sf(x)的图象为下图中的( ) 图 313 【自主解答】 函数的定义域为(0， )， 当 x0,2时，在单位长度变化量 x 内面积变化量 S 越来越大，即斜率 f(x)在 0,2内越来越大，因此，函数 Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的； 当 x(2,3)时，在单位长度变化量 x 内面积变化量 S 越来越小，即斜率 f(x)在 (2,3)内越来越小，因此，函数 Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 当 x3， )时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S为 0，即斜率 f(x)在3， )内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x轴的射线.故选 D. 【答案】 D 函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程 度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了 解函数的性质. 再练一题 1.函数 yf(x)的图象如图 314 所示，根据图象比较曲线 yf(x)在 xx1，xx2附近 的变化情况. 2 图 314 【解】 当 xx1时，曲线 yf(x)在点(x1，f(x1)处的切线 l1的斜率 f(x1)0，因此 在 xx1附近曲线呈上升趋势，即函数 yf(x)在 xx1附近单调递增. 同理，函数 yf(x)在 xx2附近单调递增， 但是，直线 l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜程度，这表明曲线 yf(x)在 xx1附近比在 x x2附近上升得缓慢. 求切点坐标 过曲线 yx2上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y4x5； (2)垂直于直线 2x6x50； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题.解题的关键是设出切点的坐标，求出切 线的斜率. 【自主解答】 f(x) lim x0 fxxfx x xx2x2 lim 2x， x0 x 设 P(x0，y0)是满足条件的点. (1)切线与直线 y4x5 平行， 2x04，x02，y04，即 P(2,4)是满足条件的点. (2)切线与直线 2x6y50 垂直， 1 3 9 2x0· 1，得 x0 ，y0 ， 3 2 4 3 9 即 P( ，4)是满足条件的点. 2 (3)切线的倾斜角为 135°，其斜率为1. 1 1 即 2x01，得 x0 ，y0 ， 2 4 1 1 即 P( ，4)是满足条件的点. 2 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点 处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜 3 率的关系，平行，垂直等. 再练一题 2.已知曲线 y2x2a在点 P处的切线方程为 8xy150，求切点 P的坐标和实数 a的 值. 【导学号：97792036】 【解】 设切点P(x0，y0) ，切线斜率为k. y 由 y lim lim x0 x0 x 2xx2a2x2a x lim (4x2x)4x， x0 得 ky| 4x0， xx0 根据题意 4x08，x02， 分别代入 y2x2a和 y8x15 得 y08a1，得Error! 故所求切点为 P(2,1)，a7. 探究共研型 求曲线的切线方程 探究 1 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 【提示】 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不 一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线. 探究 2 怎样求曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？ 【提示】 根据导数的几何意义，求出函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在 该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程. 探究 3 曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 【提示】 曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出 k f(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不 一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点. 1 1 (1)y 在点 处的切线方程是( ) x (，2) 2 1 A.yx2 B.yx 2 4 C.y4x4 D.y4x2 1 1 1 x y 【 自 主 解 答 】 先 求 y 的 导 数 ： y ， x xx x xxx x 1 y 1 1 1 1 1 ， ，即 y ，所以 yx在点(，2)处的切 lim lim xxx x xxx x2 x2 2 x0 x0 1 1 线斜率为 ky|x 4.所以切线方程是 y24 ，即 y4x4. 2 (x2 ) 【答案】 C (2)已知曲线 C：yx3x2，求曲线过点 P(1,2)的切线方程. 【导学号：97792037】 【自主解答】 设切点为(x0，x30x02) ，则得y|xx0 lim x0 x0x3x0x2x30x02 x lim(x)23x0x3x 1)3x 1. 2 x0 所以切线方程为 y(x30x02)(3x201)(xx0). 将点 P(1,2)代入得： 2(x30x02)(3x201)(1x0)， 1 即(x01)2(2x01)0，所以 x01 或 x0 ， 2 1 19 所以切点坐标为(1,2)或( ，所以当切点为(1,2)时，切线方程为 y22(x1)， ， 8) 2 即 y2x， 1 19 19 1 1 当切点为( 时，切线方程为 y 4(x2 )， ， 8) 2 8 即 x4y90，所以切线方程为 y2x 或 x4y90. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 1.若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 yf(x)在点 x0处的导数，然后根据直 线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0). 2.若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义 列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 再练一题 b 3.(1)已知函数 yax2b 在点(1,3)处的切线斜率为 2，则 _. a 5 a1x2bab 【解析】 lim lim (a·x2a)2a2， x x0 x0 b a 1，又 3a×12b，b2，即 2. a 【答案】 2 2 (2)求曲线 yf(x) 在点(2，1)处的切线方程. x 2 【解】 因为 y ， x fxxfx 所以 y lim lim x0 x0 x 2 2 xx x x 2·x xxx 2 lim ， x0 x x2 2 1 因此曲线 f(x)在点(2，1)处的切线的斜率 k . 22 2 1 由点斜式可得切线方程为 y1 (x2)，即 x2y40. 2 1.如果曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为 x2y30，那么( ) A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)0 D.f(x0)不存在 1 【解析】 由 x2y30 知，斜率 k ， 2 1 f (x0) 0. 2 【答案】 B 2.已知曲线 y2x3上一点 A(1,2)，则 A 处的切线斜率等于( ) A.2 B.4 C.66x2(x)2 D.6 y 【解析】 y2x3，y lim lim x0 x0 x 2xx32x3 x 2 lim x0 x33xx23x2x x 2 lim (x)23xx3x26x2. x0 yError!6.点 A(1,2)处切线的斜率为 6. 【答案】 D 6 3.已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_. 【导学号：97792038】 【解析】 设点 P(x0,2x204x0)， 则 f(x0) lim x0 fx0xfx0 x 2x24x0·x4x lim 4x04， x0 x 令 4x0416，得 x03，P(3,30). 【答案】 (3,30) 4.曲线 yx22x2 在点(2,2)处的切线方程为_. 【解析】 y(2x)22(2x)2(222×22)2x(x)2， y 2x. x y|x2 lim (2x)2. x0 曲线在点(2,2)处的切线斜率为 2. 切线方程为 y22(x2)， 即 2xy20. 【答案】 2xy20 5.函数 f(x) 的图象如图 315 所示，试根据函数图象判断 0 ，f(1) ，f(3) ， f3f1 的大小关系. 2 【导学号：97792039】 图 315 【解】 设 x1，x3 时对应曲线上的点分别为 A，B，点 A 处的切线为 AT，点 B 处的切 线为 BQ，如图所示. f3f1 则 kAB，f(3)kBQ，f(1)kAT，由图可知切线 BQ 的倾斜角小于直线 AB 31 的倾斜角，直线 AB 的倾斜角小于切线 AT 的倾斜角，即 kBQkABkAT， 7 f3f1 0f(3) f(1). 2 7