2018版高中数学第三章概率3.2古典概型学案新人教B版必修320170718295.wps

3.23.2 古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点) 2.会用列举法求古典概型的概率.(重点) 3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率.(难点) 基础·初探 教材整理 1 古典概型 阅读教材 P102P103“例 1”以上部分，完成下列问题. 1.古典概型 (1)古典概型的概念： 同时具有以下两个特征的试验称为古典概型： 有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的. (2)概率的古典定义： 在基本事件总数为 n 的古典概型中， 1 每个基本事件发生的概率为 ； n m 如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m，由互斥事件的概率加法公式可得 P(A) ，所 n 事件A包含的基本事件数 以在古典概型中 P(A) ，这一定义称为概率的古典定义. 试验的基本事件总数 1.判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.( ) (2)“”抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上 是基本事件.( ) (3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.( ) 1 (4)一个古典概型的基本事件数为 n，则每一个基本事件出现的概率都是 .( ) n 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4) 2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) 1 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 2 3 3 【解析】 基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲 2 1 站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共 2 个，所以甲站在中间的概率：P . 6 3 【答案】 C 教材整理 2 概率的一般加法公式(选学) 阅读教材 P106P107，完成下列问题. 1.事件 A 与 B 的交(或积)： 由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)，记作 D A B( 或 D AB). 2.设 A，B 是 的两个事件，则有 P(AB)P(A) P(B) P(A B)，这就是概率的一般加 法公式. 已知 A，B 是两个事件，且 P(AB)0.2，P(A)P(B)0.3，则 P(AB)_. 【解析】 由概率的一般加法公式 P(AB)P(AB)P(A)P(B)0.30.30.2 0.4. 【答案】 0.4 小组合作型 基本事件和古典概型的判断 (1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是( ) A.向上的点数是奇数 B.向上的点数是 3 C.向上的点数是 4 D.向上的点数是 6 (2)下列是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件 C.从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止 【精彩点拨】 结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件， 2 而古典概型具有两个特征有限性和等可能性. 【尝试解答】 (1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是 1，向上的点数是 3，向上的点数是 5，则 A 项不是基本事件，B，C，D 项均是基本事件.故选 A. (2)A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不 是；B 项中的基本事件是无限的，故 B 不 是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是；D 项中基本事件既不是有限个也不具 有等可能性，故 D 不是. 【答案】 (1)A (2)C 1.基本事件具有以下特点：不可能再分为更小的随机事件；两个基本事件不可能同时 发生. 2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能 性，二者缺一不可. 再练一题 1.下列试验是古典概型的为_. 从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等； 同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率； 近三天中有一天降雨的概率； 10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. 【解析】 是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点. 不是古典概型，因为 不符合等可能性，降雨受多方面因素影响. 【答案】 基本事件的计数问题 有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两个 正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具朝下的点数，y 表 示第 2 个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部基本事件： (1)试验的基本事件； (2)“事件 朝下点数之和大于 3”； (3)“事件 朝下点数相等”； (4)“事件 朝下点数之差的绝对值小于 2”. 【精彩点拨】 根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举 出来即可. 【尝试解答】 (1)这个试验的基本事件为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， 3 (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4). (2)“事件 朝下点数之和大于 3”包含以下 13个基本事件： (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4). (3)“”事件 朝下点数相等 包含以下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4). (4)事件“朝下点数之差的绝对值小于 2”包含以下 10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)， (2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4). 1.在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写. 2.确定基本事件是否与顺序有关. 3.写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法. 再练一题 2.列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序). (1)从字母 a，b，c 中任意取出两个字母的试验； (2)从装有形状、大小完全一样且分别标有 1,2,3,4,5号的 5 个球的袋中任意取出两个球 的试验. 【导学号：00732087】 【解】 (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件. 分别是(a，b)，(a，c)，(b，c)共 3 个. (2)从袋中取两个球的等可能结果为： 球 1 和球 2，球 1 和球 3，球 1 和球 4，球 1 和球 5， 球 2 和球 3，球 2 和球 4，球 2 和球 5，球 3 和球 4， 球 3 和球 5，球 4 和球 5. 故共有 10个基本事件. 简单的古典概型的概率计算 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为 a，b 的 2 个黑球和编号为 c，d，e 的 3 个红球，从中任意摸出 2 个球. (1)写出所有不同的结果； (2)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率； (3)求至少摸出 1 个黑球的概率. 【精彩点拨】 (1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出 1 个黑球和 1 个红 球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出 1 个黑球的基本事件， 利用古典概型的概率计算公式求出. 4 【尝试解答】 (1)用树状图表示所有的结果为： 所以所有不同的结果是 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. (2)“记 恰好摸出 1 个黑球和 1”个红球 为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件为 ac，ad，ae，bc，bd，be，共 6 个基本事件， 6 所以 P(A) 0.6， 10 即恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6. (3)“记 至少摸出 1”个黑球 为事件 B， 则事件 B 包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共 7 个基本事件， 7 所以 P(B) 0.7， 10 即至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7. 1.求古典概型概率的计算步骤： (1)确定基本事件的总数 n； (2)确定事件 A 包含的基本事件的个数 m； m (3)计算事件 A 的概率 P(A) . n 2.解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的 方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的 概率. 再练一题 3.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出 所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率： (1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球. 【解】 所有的基本事件个数 n8 个.全集 I(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白， 红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白). (1)记事件 A “”为 三次颜色恰有两次同色 . A 中含有基本事件个数为 m6， m 6 P(A) 0.75. n 8 (2)记事件 B “”为 三次颜色全相同 . 5 B 中含基本事件个数为 m2， m 2 P(B) 0.25. n 8 (3)记事件 C 为“三次摸到的红球多于白球”. C 中含有基本事件个数为 m4， 4 P(C) 0.5. 8 概率的一般加法公式(选学) 甲、乙、丙、丁四人参加 4×100 米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 【精彩点拨】 由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利 用概率的一般加法公式求解. 1 【尝试 解答】 设事件 A 为“甲跑第一棒”，事件 B 为“乙跑第四棒”，则 P(A) ，P(B) 4 1 .记甲跑第 x 棒，乙跑第 y 棒，则结果可记为(x，y)，共有 12种等可能结果：(1,2)，(1,3)， 4 (1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3). 而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)， 1 故 P(AB) . 12 1 1 1 5 所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 P(AB)P(A)P(B)P(AB) . 4 4 12 12 概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为： 1在公式 PABPAPB中，事件 A、B 是互斥事件； 2在公式 PABPAPBPAB中，事件 A、B 可以是互斥事件，也 可以不是互斥事件.可借助 Venn 图直观理解. 再练一题 4.在对 200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行 短期销售预测，而 30%的公司在从事这两项研究.假设从这 200 家公司中任选一家，记事件 A 为 “该公司在研究广告效果”，记事件 B 为“该公司在进行短期销售预测”，求 P(A)，P(B)，P(AB). 【解】 P(A)40%0.4，P(B)50%0.5， 又已知 P(AB)30%0.3， P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.50.30.6. 探究共研型 6 基本事件的特征 探究 1 为什么说基本事件是彼此互斥的？ 【提示】 基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述.在一 次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现 一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基 本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述. 探究 2 基本事件的表示方法有哪些？ 【提示】 写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法， 但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏. 古典概型的特征 探究 3 古典概型有何特点？何为非古典概型？ 【提示】 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限 性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： (1)基本事件个数有限，但非等可能； (2)基本事件个数无限，但等可能； (3)基本事件个数无限，也不等可能. 探究 4 举例说明古典概型的概率与模型选择无关？ 【提示】 以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个 同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙 乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求 2 1 事件的概率为 P “；若仅从甲的站位来看，则只有 甲站 1 号位”“、 甲站 2 号位”“、 甲 6 3 站 3 号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站 2 号位”这一种情况，因此所求概率为 1 P . 3 先后抛掷两枚大小相同的骰子. (1)求点数之和出现 7 点的概率； (2)求出现两个 4 点的概率； (3)求点数之和能被 3 整除的概率. 【精彩点拨】 明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解， 可借图来确定基本事件情况. 【尝试解答】 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共 36种. 7 (1)记“点数之和出现7 点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6 个 ：(6,1)， 6 1 (5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故 P(A) . 36 6 (2)记“出现两个 4 点”为事件 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件只有 1 个， 即(4,4). 1 故 P(B) . 36 (3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 C，则事件 C 包含的基本事件共 12 个：(1,2)， (2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故 P(C) 12 1 . 36 3 1.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐 标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数. 2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便. 再练一题 5.同时抛掷两颗大小完全相同的骰子，求： (1)点数之和是 4 的倍数的概率； (2)点数之和大于 5 小于 10 的概率. 【解】 如图，基本事件共有 36种. (1)记“点数之和是 4 的倍数”的事件为 A，从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有 1 9 个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以 P(A) . 4 (2)记“点数之和大于 5 小于 10”的事件为 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件 共有 20个.即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)， 8 5 (6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以 P(B) . 9 1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的基本事件数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 事件 A 包含的基本事件有 6 个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1). 【答案】 D 2.下列关于古典概型的说法中正确的是( ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基 本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为 n，随机事件 A 若包含 k 个基本事件，则 P(A) k . n A. B. C. D. 【解析】 根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确. 【答案】 B 3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) 1 1 2 A. B. C. D.1 2 3 3 【解析】 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共 3 种情况， 2 其中，甲被选中的情况有 2 种，故甲被选中的概率为 P . 3 【答案】 C 4.据报道：2015 年我国高校毕业生为 749万人，创历史新高，就业压力进一步加大.若某 公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙 被录用的概率为_. 【解析】 记事件 A：甲或乙被录用.从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲， 乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙， 丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共 10种可能，而 A 的对立事件A仅有(丙，丁，戊) 1 一 种可能，A 的对立事件A的概率为 P(A) ， 10 9 P(A)1P(A) . 10 9 9 【答案】 10 5.一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1,2,3，10这 10个数字，先后随 机地抽取两个小球，如果： (1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的. 分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 【解】 先后随机选取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结 果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)， (4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共 18种. (1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果 90 种. 18 9 1 因此，事件 A 的概率是 . 90 45 5 (2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则 x 有 10种可能，y 有 10 种可能， 共有可能结果 100种. 18 9 因此，事件 A 的概率是 . 100 50 10