2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案新人教B版必修320170718293.wps

3.3.13.3.1 几何概型 1.理解几何概型的定义及特点.(重点) 2.了解古典概型与几何概型的区别.(重点) 3.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点) 4.几何概型中几何度量的确定及计算.(难点) 基础·初探 教材整理 几何概型 阅读教材 P109，完成下列问题. 1.定义 图 331 如果把事件 A 理解为区域 的某一子区域 A(如图 331 所示)，A 的概率只与子区域 A 的 几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几 何概型. 2.几何概型的概率公式 A 在几何概型中，事件 A 的概率定义为：P(A) ，其中 表示区域 的几何度量，A 表示子区域 A 的几何度量. 1.判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.( ) (2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内.( ) (3)几何概型的基本事件有无数多个.( ) 【答案】 (1) (2)× (3) 2.在区间1,2上随机取一个数 x，则|x|1 的概率为_. 1 【解析】 区间1,2的长度为 3，由|x|1 得 x1,1，而区间1,1的长度为 2 2，x 取每个值为随机的，在1,2上取一个数 x，|x|1 的概率 P . 3 2 【答案】 3 小组合作型 与长度有关的几何概型 某汽车站每隔 15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘 客到达车站后等车时间超过 10 min的概率. 【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的 5 min之内到达车站，等车时间会超过 10 min. 【尝试解答】 设上一辆车于时刻 T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，则线段 T1T2的长 度为 15，设 T 是线段 T1T2上的点，且 T1T5，T2T10，如图所示. 记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端 点)时，事件 A 发生. T1T的长度 5 1 P(A) ， T1T2的长度 15 3 1 即该乘客等车时间超过 10 min的概率是 . 3 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域 D，这时区域 D 可 能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确 定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率. 再练一题 1.一个路口的红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40秒，当你 到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮. 【解】 在 75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型. 2 红灯亮的时间 30 2 (1)P . 全部时间 75 5 黄灯亮的时间 5 1 (2)P . 全部时间 75 15 不是红灯亮的时间 (3)P 全部时间 黄灯亮或绿灯亮的时间 45 3 ， 全部时间 75 5 2 3 或 P1P(红灯亮)1 . 5 5 与面积有关的几何概型 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm 现，用直径等于 2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的 概率. 【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币落下后与格线没有公 共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在 小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心 落在小等边三角形内的问题. 【尝试解答】 设 A硬币落下后与格线没有公共点，如图所示，在等边三角形内作小 等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为4 32 32 3， 由几何概率公式得： 3 2 32 4 1 P(A) . 3 4 4 32 4 几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造 出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率. 再练一题 2.如图 332，一个等腰直角三角形的直角边长为 2，分别以三个顶点为圆心，1 为半径在 三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 M(图中白色部分).若在此三角形内随机取一点 P， 3 则点 P 落在区域 M 内的概率为_. 图 332 【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为 1 的半圆面积，即阴影部分面 2 2 积为 ，又易知直角三角形的面积为 2，所以区域 M 的面积为 2 .故所求概率为 1 2 2 2 . 4 【答案】 1 4 与体积有关的几何概型 一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持 与正方体 6 个面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率. 【精彩点拨】 利用体积之比求概率. 【尝试解答】 依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于 1. 则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小正方体.由几何概型的概率公 式，可得满足题意的概率为： 13 1 P . 33 27 与体积有关的几何概型问题的解决： 1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为： 构成事件A的体积 PA . 试验的全部结果构成的体积 2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有 关还是与长度有关，不要将二者混淆. 再练一题 1 3.本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点 A 的距离小于 的概率. 3 1 1 【解】 到 A 点的距离小于 的点，在以 A 为球心，半径为 的球内部，而点又必须在已知 3 3 正方体内， 4 4 1 3 1 则满足题意的 A 点的区域体积为 × × . 3 (3 ) 8 4 1 3 1 × (3 ) × 3 8 所 以 P . 33 2 × 37 探究共研型 几何概型与古典概型的异同 探究 1 古典概型和几何概型有何异同点？ 【提示】 相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的. 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试 验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关. 探究 2 P(A)0A 是不可能事件，P(A)1A 是必然事件是否成立？ 【提示】 (1)无论是古典概型还是几何概型，若 A 是不可能事件，则 P(A)0 肯定成立； 若 A 是必然事件，则 P(A)1 肯定成立. (2)在古典概型中，若事件 A 的概率 P(A)0，则 A 为不可能事件；若事件 A 的概率 P(A) 1，则 A 为必然事件. (3)在几何概型中，若事件 A 的概率 P(A)0，则 A 不一定是不可能事件，如：事件 A 对应 数轴上的一个点，则其长度为 0，该点出现的概率为 0，但 A 并不是不可能事件；同样地，若 事件 A 的概率 P(A)1，则 A 也不一定是必然事件. (1)在区间2,2上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2y24 的概率； (2)在区间2,2上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)，求满足 x2y24 的概率. 【导学号：00732091】 【精彩点拨】 (1)在区间2,2上任取两个整数 x，y，组成有序数对(x，y)是有限的， 应用古典概型求解；(2)在区间2,2上任取两个实数 x，y，组成有序数对(x，y)是无限的， 应用几何概型求解. 【尝试解答】 (1)在区间2,2上任取两个整数 x，y 组成有序数对(x，y)，共计 25 个， 13 其中满足 x2y24 的在圆上或圆内共计 13 个(如图所示)，P . 25 (2)在区间2,2上任取两个实数 x，y 组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为 4 的 5 4 正方形区域，其中满足 x2y24 的是图中阴影区域(如图所示)，S 阴×224，P 16 . 4 古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本 事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分. 再练一题 4.下列概率模型中，几何概型的个数为( ) 从区间10,10上任取一个数，求取到 1 的概率； 从区间10,10上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率； 从区间10,10上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 2 的数的概率； 向一个边长为 4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过 1 cm 的概率. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 中的概率模型不是几何概型，虽然区间10，10上有无数个数，但取到 “1”只是一个数字，不能构成区间长度；中的概率模型是几何概型，因为区间10,10和 区间1,1上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；中的概率 模型不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有 21 个，是有限的；中的概率模型是几 何概型，因为在边长为 4cm 的正方形和半径为 1cm 的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任 何一个点被投到的可能性相同. 【答案】 B 1.转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是( ) 【解析】 D 中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比 A，B，C 中要大，故指针指到的 6 概率最大. 【答案】 D 2.如图 333，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范 围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该 矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( ) 图 333 A.1 B. 1 4 2 C.2 D. 2 4 1 【解析】 由题意得无信号的区域面积为 2×12× ×122 ，由几何概型的概率 4 2 2 2 公式，得无信号的概率为 P 1 . 2 4 【答案】 A 3.在半径为 1 的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是( ) 1 2 A. B. 2 3 C. D. 【解析】 点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与 位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于 2，则正方形的边长为 2. 2 圆面积为 ，正方形面积为 2，P . 【答案】 B 4.函数 f(x)x22x，x1,3，则任取一点 x01,3，使得 f(x0)0 的概率为 _. 【解析】 依题意得，Error!解得 0x02，所以任取一点 x01,3，使得 f(x0)0 2 1 的概率 P . 3 1 2 1 【答案】 2 5.在长为 12cm的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边长作一个正方形，求作出的正方 形面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率. 7 【导学号：00732092】 【解】 如图所示，点 M 落在线段 AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多 个. 设事件 A 为“所作正方形面积介于 36 cm2与 81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介 于 6 cm与 9 cm”之间 . 取 AC6 cm，CD3 cm，则当 M 点落在线段 CD 上时，事件 A 发生. |CD| 3 1 所以 P(A) . |AB| 12 4 8