2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用学案新.wps

2.1.22.1.2 第 2 2 课时 椭圆方程及性质的应用 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 基础·初探 教材整理 1 点与椭圆的位置关系 x2 y2 设点 P(x0，y0)，椭圆 1(ab0). a2 b2 x20 y20 (1)点 P在椭圆上 1； a2 b2 x20 y20 (2)点 P在椭圆内 1； a2 b2 x20 y20 (3)点 P在椭圆外 1. a2 b2 x2 y2 已知点(2,3)在椭圆 1 上，则下列说法正确的是_ m2 n2 点(2,3)在椭圆外 点(3,2)在椭圆上 点(2，3)在椭圆内 点(2，3)在椭圆上 【解析】 由椭圆的对称性知点(2，3)也在椭圆上. 【答案】 教材整理 2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 x2 y2 直线 ykxm与椭圆 1(ab0)联立Error!消去 y得一个一元二次方程. a2 b2 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 0 相切 一解 0 相离 无解 0 2.弦长公式 1 设直线 ykxb与椭圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2|x1x2| 1 1 ·|y1y2|. k2 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) x2 y2 (1)点 P(2,1)在椭圆 1 的内部.( ) 4 9 (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) y2 (3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2 1 相交.( ) 2 (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2) (3) (4) 小组合作型 直线与椭圆的位置关系 x2 (1)若直线 mxny4 和O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 9 y2 1 的交点个数为( ) 4 A.2 个 B.至多一个 C.1 个 D.0 个 (2)已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm，问 m为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 4 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则 d 2， m2n2 m2n2 m2 n2 m2n24，即 1. 1，点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有 2 个 4 9 4 交点. 【答案】 A (2)将 yxm代入 4x2y21， 消去 y整理得 5x22mxm210. 4m220(m21)2016m2. 5 当 0 时，得 m± ，直线与椭圆相切. 2 2 5 5 当 0 时，得 m ，直线与椭圆相交. 2 2 1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的， 的符号决定了交点的个数，从而确定了 其位置关系. 2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定 参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根 与系数的关系进行求解. 再练一题 1.已知椭圆的方程为 x22y22. (1)判断直线 yx 3 与椭圆的位置关系； (2)判断直线 yx2 与椭圆的位置关系； (3)在椭圆上找一点 P，使 P到直线 yx2 的距离最小，并求出这个最小距离. 【解】 (1)由Error!得 3x24 3x40， (4 3)24×3×40， 直线 yx 3与椭圆相切. (2)由Error!得 3x28x60. 644×3×680， 直线 yx2 与椭圆相离. (3)由(1)、(2)知直线 yx 3与椭圆的切点 P 满足条件，由(1)得 P 的坐标为 2 3 3 ( ， 3 3) ， |2 3| 6 最小距离 d 2 . 2 2 直线与椭圆的相交弦问题 x2 y2 已知椭圆 1 和点 P(4,2)，直线 l经过点 P且与椭圆交于 A、B两点. 36 9 1 (1)当直线 l的斜率为 时，求线段 AB的长度； 2 (2)当 P点恰好为线段 AB的中点时，求 l的方程. 【导学号：97792018】 3 【精彩点拨】 (1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用. 1 【自主 解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y2 (x4)， 2 1 即 y x. 2 由Error! 可得 x2180，若设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 则 x1x20，x1x218. 于是|AB| x1x22y1y22 1 x1x22 x1x22 4 5 5 x1x224x1x2 ×6 23 10. 2 2 所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一：设 l 的斜率为 k， 则其方程为 y2k(x4). 联立Error! 消去 y 得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0. 32k216k 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 ， 14k2 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)， x1x2 16k28k 所以 4， 2 14k2 1 解得 k ，且满足 0. 2 1 这时直 线的方程为 y2 (x4)， 2 1 即 y x4. 2 法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有Error! x2x21 y2y21 两式相减得 0， 36 9 y2y1 9x2x1 整理得 kAB ， x2x1 36y2y1 由于 P(4,2)是 AB 的中点， x1x28，y1y24， 9 × 8 1 于是 kAB ， 36 × 4 2 4 1 于是直 线 AB的方程为 y2 (x4)， 2 1 即 y x4. 2 1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关 于 x(或 y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记 公式的形式并能准确运算. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一 元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作 x2 y2 差，构造 出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 1(ab a2 b2 0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB的中点， 则Error! 1 1 y1y2 b2 x1x2 b2 x0 由，得 (x x ) (y y )0，变 形得 · · ，即 kAB 12 2 21 2 a2 b2 x1x2 a2 y1y2 a2 y0 b2x0 . a2y0 再练一题 x2 y2 3 2.椭圆 1(ab0)的离心率为 ，且椭圆与直线 x2y80 相交于 P，Q，且|PQ| a2 b2 2 10，求椭圆的方程. 3 1 【解】 e ，b2 a2. 2 4 椭圆方程为 x24y2a2. 与 x2y80 联立消去 y，得 2x216x64a20， 5 由 0得 a232，由弦长公式得 10 ×642(64a2). 4 a236，b29. x2 y2 椭圆的方程为 1. 36 9 探究共研型 椭圆中的最值(或范围)问题 探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一 5 般思路是什么？ 【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式， 然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它 的最大值或最小值及范围. x2 y2 (2)解决椭圆 1(ab0)中的范围问题常用的关系有 a2 b2 axa，byb； 离心率 0e1； 一元二次方程有解，则判别式 0. 已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的 最小值. 【精彩点拨】 (2)中，设 A，B 坐标OA·OB0|AB|化为关于 x0的函数求最值. x2 y2 【自主解答】 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1， 4 2 所以 a24，b22，从而 c2a2b22. 因此 a2，c 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e . a 2 (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OA·OB0， 2y0 即 tx02y00，解得 t . x0 又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2 2y0 (x 2(y 02) 2 0 x0 ) 4y20 x20y20 4 x20 4x20 24x20 x20 4 2 x20 x20 8 4(0x204). 2 x20 x20 8 因为 4(01 B.m1且 m3 C.m3 D.m0且 m3 【解析】 由Error! 得(m3)x24mxm0. 由 0且 m3，得 m1 且 m3， 8 又m0，m1 且 m3. 【答案】 B x2 y2 4.若过椭圆 1 内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_. 16 4 x21 y21 x y 2 2 【解析】 设弦两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1， 1，两式相减并把 x1 16 4 16 4 y1y2 1 1 x24，y1y22 代入得 ，所求直线方程为 y1 (x2)，即 x2y40. x1x2 2 2 【答案】 x2y40 y2 x2 5.如图 214，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 1 的下焦点，交椭圆于 A，B 两点， 8 4 求弦 AB 的长. 【导学号：97792020】 图 214 【解】 令点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由椭圆方程知 a28，b24，c a2b22， 椭圆的下焦点 F 的坐标为 F(0，2)， 直线过点 B(2,0)和点 F(0，2)， 直线 l 的方程为 yx2. y2 x2 将其代入 1， 8 4 化简整理得 3x24x40， 4 4 x1x2 ，x1x2 ， 3 3 |AB| x2x12y2y12 2x2x12 2 x1x224x1x2 4 4 8 2 2 ( (3 ) ) 24 × ( (3 ) ) . 3 9