2018版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版必修42017072.wps

2.2.32.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点) 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线 问题.(难点) 4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点) 基础·初探 教材整理 1 向量的数乘运算 阅读教材 P87P88例 5 以上内容，完成下列问题. 1.定义：一般地，我们规定实数 与向量 a a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘， 记作 a a. 2.规 定：(1)|a a|a a|.(2)当 0 时，a a 的方向与 a a 的方向相同；当 0 时，a a 与 a a 同向，模是|a a|的 倍； 0，即 x . 2 1 【答案】 x 2 (2)如图 a，因为点 C 在线段 AB 的延长线上，且 ABAC23，所以 AB2BC，AC3BC. 如图 b，向量AB与BC方向相同，所以AB2BC； 如图 c，向量AC与CB方向相反，所以AC3CB. 对向量数乘运算的三点说明： (1)a a 中的实数 叫做向量 a a 的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把 a a 沿着 a a 的方向或 a a 的反方向扩大或缩小. (3)当 0 或 a a0 时，a a0 .注意是 0，而不是 0. 再练一题 1.已知 a a，b b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1) 2a a 的方向与 a a 的方向相同，且 2a a 的模是 a a 的模的 2 倍； 1 (2)3a a 的方向与 6a a 的方向相反，且3a a 的模是 6a a 的模的 ； 2 (3)4a a 与 4a a 是一对相反向量； (4)a ab b 与(b ba a)是一对相反向量； (5)若 a a，b b 不共线，则 0·a a 与 b b 不共线. 【导学号：00680042】 【解】 (1)真命题. 20， 2a a 与 a a 同向. | 2a a| 2|a a|， 2a a 的模是 a a 的模的 2 倍. (2)真命题.30，6a a 与 a a 方向相同且|6a a|6|a a|， 1 3a a 与 6a a 方向相反且模是 6a a 的模的 . 2 (3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知. (4)假命题. a ab b 与 b ba a 是相反向量， 3 a ab b与(b ba a)是相等向量. (5)假命题.0·a a0，0·a a与 b b共线. 向量的线性运算 (1)化简：(2a2a3b3bc c)(3a3a2b2bc c)_. . (2 2)已知向量 a a，b b，x x，且(x xa a)(b bx x)x x(a ab b)，则 x x_. . 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解. 【自主解答】 (1)(2a2a3b3bc c)(3a3a2b2bc c)2a2a3a3a3b3b2b2bc cc ca a5b5b2c.2c. (2 2)因为(x xa a)(b bx x)2x2x(a ab b)，所以 2x2xa ab bx xa ab b，即 x x0 0. 【答案】 (1)a a5b b2c c (2)0 向量数乘运算的方法： (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指 向量，实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解， 同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 再练一题 1 1 2.化简32a2a8b8b4a4a2b2b的结果是( ) 2 A.2a2ab b B.2b2ba a C.b ba a D.a ab b 1 1 1 【解】 原式 (a a4b4b4a4a2b2b) (6b6b3a3a)2b2ba a. 3 3 3 【答案】 B 探究共研型 向量共线问题 探究 1 已知 m m，n n是不共线向量，a a3m m4n n，b b6m m8n n，判断 a a与 b b是否共线？ 【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数 ，使得 a ab b即可. 若 a a与 b b共线，则存在 R R，使 a ab b，即 3m m4n n(6m m8n n). m m，n n不共线，Error! 4 不存在 同时满足此方程组，a a 与 b b 不共线. 探究 2 已知 e e1，e e2是共线向量，a a3e e14e e2，b b6e e18e e2，则 a a 与 b b 是否共线？ 【提示】 e e1，e e2共线， 存在 R R，使 e e1e e2. a a3e e14e e23e e24e e2(34)e e2， b b6e e18e e26e e28e e2(68)e e2， 34 4 a a b b ， 68 ( 3) a a 与 b b 共线. 4 当 时，b b0 0，a a 与 b b 共线. 3 探究 3 设两非零向量 e e1和 e e2不共线，是否存在实数 k，使 ke e1e e2和 e e1ke e2共线？ 【提示】 设 ke e1e e2与 e e1ke e2共线， 存在 使 ke e1e e2(e e1ke e2)， 则(k)e e1(k1)e e2. e e1与 e e2不共线，只能有Error!则 k±1. 已知非零向量 e e1，e e2不共线. 如果 A Be e1e e2，B C2e e18e e2，C D3(e e1e e2)，求证：A，B，D三点共线. 【精彩点拨】 欲证 A，B，D共线，只需证存在实数 ，使 B DA B即可. 【自主解答】 A Be e1e e2， B DB CC D2e e18e e23e e13e e2 5(e e1e e2) 5A B. A B，B D共线，且有公共点 B， A，B，D三点共线. 1.本题充分利用了向量共线定理，即 b b 与 a a(a a0)共线b ba a，因此用它既可以证明点 共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值. 2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断 5 共线. 再练一题 3.设两个非零向量 e e1，e e2不共线，已知AB2e e1ke e2，CBe e13e e2，CD2e e1e e2.问：是 否存在实数 k，使得 A，B，D 三点共线，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由. 【导学 号：70512028】 【解】 设存在 kR R，使得 A，B，D 三点共线， DBCBCD(e e13e e2)(2e e1e e2)e e14e e2，AB2e e1ke e2. 又A，B，D 三点共线，ABDB， 2e e1ke e2(e e14e e2)， Error!k8， 所以存在 k8，使得 A，B，D 三点共线. 1.下列各式中不表示向量的是( ) A.0·a a B.a a3b b 1 C.|3a a| D. e e(x，yR R，且 xy) xy 【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a a|不是向量. 【答案】 C 2.下列计算正确的个数是( ) (3)·2a a6a6a；2 2(a ab b)(2b2ba a)3a3a；(a a2b2b)(2b2ba a)0.0. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 因为(3)·2a a6a6a，故正 确；中，左2a2a2b2b2b2ba a3a3a 成立，故 正确；中，左a a2b2b2b2ba a0000，故错误. 【答案】 C 1 1 3 3 3.(3a a b bc c)(2a2a b bc c)等于( ) 2 2 4 4 1 1 1 1 A.a a b b2c2c B.5a5a b b2c2c 4 4 4 4 5 5 5 5 C.a a b b2c2c D.5a5a b b 4 4 4 4 6 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 【解析】 (3a 3a b bc c)(2a2a b bc c)(3a3a2a2a)( b b)(c cc c)a a b b2c.2c.故选 A. b b 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 【答案】 A 4.O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB4e e1，BC6e e2，则 3e e22e e1_. 【解析】 设点 E 为平行四边形 ABCD 的 BC 边中点，点 F 为 AB 边中点，则 3e e22e e1BE BFBOOD. 【答案】 OD(或BO) 5.在四边形 ABCD 中，ABa a2b b，BC4a ab b，CD5a a3b b，证 明： 直 线 ADBC. 【导 学号：00680043】 【证明】 ADACCDABBCCD(a a2b b)(4a ab b)(5a a3b b)8a a2b b 2(4a ab b)2BC，AD与BC共线. 又 AD 与 BC 不重合，直线 ADBC. 7