2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学业分层测评新人教A版必修.wps

2.4.12.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 2 2 1已知|b|b|3 3，a a在 b b方向上的投影是 ，则 a·ba·b为( ) 3 3 1 4 A B 3 3 C3 D2 【解析】 由数量积的几何意义知 2 a·ba·b ×32，故选 D 3 【答案】 D 2设 e e1 1和 e e2 2是互相垂直的单位向量，且 a a3e3e1 12e2e2 2，b b3e3e1 14e4e2 2，则 a·ba·b等于( ) A2 B1 C1 D2 【解析】 因为|e|e1 1| |e|e2 2| |1 1，e e1 1·e·e2 20 0，所以 a·ba·b(3e3e1 12e2e2 2)··(3e3e1 14e4e2 2) 9|e9|e1 1| |2 28|e8|e2 2| |2 26e6e1 1·e·e2 29×128×126×01.故选 B 【答案】 B 3若向量 a a与 b b的夹角为 60°，|b b|4，且(a a2b b)·(a a3b b)72，则 a a的模为( ) A2 B4 C6 D12 【解析】 (a a2b b)·(a a3b b)a a2a a·b b6b b2 |a a|2|a a|·|b b|cos 60°6|b b|2 |a a|22|a a|9672， |a a|22|a a|240， |a a|6. 【答案】 C 4已知向量 a a，b b满足|a|a|2 2，|b|b|1 1，a·ba·b1 1，则向量 a a与 a ab b的夹角为( ) 【导学号：00680056】 A B 6 3 5 2 C D 6 3 【解析】 |a|ab|b| a ab b2 2 a a2 2b b2 22a·b2a·b 3 3， 设向量 a a与 a ab b的夹角为 ，则 1 a·a·a ab b 221 3 cos ，又 0， |a|a|a|ab|b| 2 × 3 2 所以 .故选 A 6 【答案】 A 5已知点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则AB·BCBC·CACA·AB的值是 ( ) A25 B25 C24 D24 【解析】 因为|AB|2|BC|291625|CA|2， 所以ABC90°， 所以原式AB·BCCA(BCAB)0CA·ACAC225. 【答案】 A 二、填空题 6已知 abab，|a|a|2 2，|b|b|1 1，且 3a3a2b2b 与 a ab b 垂直，则 等于_ 【解析】 (3a3a2b2b)(a ab b)， (a ab b)··(3a3a2b2b)0， 3a a2 2(23)a·ba·b2b2b2 20 0. 又|a|a|2 2，|b|b|1 1，abab， 12(23)×2×1×cos 90°20， 1 1220， . 6 1 【答案】 6 7已知|a a|b b|c c|1，且满足 3a amb b7c c0，其中 a a 与 b b 的夹角为 60°，则实数 m _. 【解析】 3a amb b7c c0，3a amb b7c c， (3a amb b)2(7c c)2，化简得 9m26ma a·b b49. 1 又 a a·b b|a a|b b|cos 60° ，m23m400， 2 解得 m5 或 m8. 【答案】 5 或8 三、解答题 8已知向量 a a，b b 不共线，且|2a ab b|a a2b b|，求证：(a ab b)(a ab b) 【证明】 |2a ab b|a a2b b|， 2 (2a ab b)2(a a2b b)2， a a2b b2， (a ab b)·(a ab b)a a2b b20. 又 a a 与 b b 不共线，a ab b0，a ab b0 ， (a ab b)(a ab b) 1 1 9已知非零向量 a a，b b，满足|a a|1，(a ab b)·(a ab b) ，且 a a·b b . 2 2 (1)求向量 a a，b b 的夹角； (2)求|a ab b|. 1 【解】 (1)(a ab b)·(a ab b) ， 2 1 1 a a2b b2 ，即|a a|2|b b|2 . 2 2 2 又|a a|1，|b b| . 2 1 1 a a·b b ，|a a|·|b b|cos ， 2 2 2 cos ，向量 a a，b b 的夹角为 45°. 2 (2)|a ab b|2(a ab b)2 1 |a a|22|a a|b b|cos |b b|2 ， 2 2 |a ab b| . 2 能力提升 1已知|a a|2|b b|0，且关于 x 的方程 x2|a a|xa a·b b0 有实根，则 a a 与 b b 的夹角的 取值范围是( ) A0， 6 B ， 3 2 C D ， ， 3 3 6 【解析】 a a24|a a|·|b b|cos ( 为向量 a a 与 b b 夹角) 若方程有实根，则有 0，即 a a24|a a|·|b b|cos 0， 又|a a|2|b b|，4|b b|28|b b|2cos 0， 1 cos ，又 0， 2 . 3 【答案】 B 3 2已知单位向量 e e1，e e2的夹角为 60°，求向量 a ae e1e e2，b be e22e e1的夹角. 【导学号： 70512036】 【解】 e e1，e e2为单位向量且夹角为 60°， 1 e e1·e e21×1×cos 60° . 2 1 3 a a·b b(e e1e e2)·(e e22e e1)2e e1·e e212 1 ， 2 2 1 |a a| a a2 e e1e e22 12 × 1 3， 2 |b b| b b2 e e22e e12 1 144 × 3， 2 a a·b b 3 1 1 cos × . |a a|b b| 2 2 3 × 3 又0°，180°，120°， a a 与 b b 的夹角为 120°. 4