2018版高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案新.wps

2.5.12.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.22.5.2 向量在物理中的应用举例 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点) 2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点) 3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点) 基础·初探 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109P110例 2 以上内容，完成下列问题. “”用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 ： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“”翻译 成几何关系. 判断(“正确的打”“，错误的打 ×”) (1)若ABC 是直角三角形，则有AB·BC0.( ) (2)若ABCD，则直线 AB 与 CD 平行.( ) 【解析】 (1)错误.因为ABC 为直角三角形，B 并不一定是直角，有可能是A 或C 为直角. (2)错误.向量ABCD时，直线 ABCD 或 AB 与 CD 重合. 【答案】 (1)× (2)× 教材整理 2 向量在物理中的应用 阅读教材 P111例 3 至 P112例 4 以上内容，完成下列问题. 1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等. 2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解 . 3.动量 mv v 是向量的数乘运算. 4.功是力 F F 与所产生的位移 s s 的数量积. 1 已知力 F F(2,3)作用在一物体上，使物体从 A(2,0)移动到 B(2,3)，则 F F 对物体所做的 功为_焦耳. 【解析】 由已知位移AB(4,3)，力 F F 做的功为 WF F·AB2×(4)3×31. 【答案】 1 小组合作型 向量在平面几何中的应用 如图 251，在正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的一个三等分点，且 AE， CD 交于点 P，求证：BPDC. 图 251 【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积. 2 【自主解答】 设PDCD，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：CD BABC， 3 1 2 1 1 PA DA ) BA BA BC PD CD BA BA (21) . ( BC 3 3 3 3 1 又EABA BC，PAEA， 3 1 1 (21)BABCkBA kBC， 3 3 于是有Error!解得Error! 1 PD CD， 7 1 4 BPBDDP BC BA， 7 7 1 4 2 从而BP·CD(BC )·(BABC) BA 7 7 3 8 1 10 a2 a2 a2cos 60°0. 21 7 21 2 由向量垂直的条件知，BPDC. 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程 中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本 题便是将向量BP，CD由基底BA，BC线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们 的夹角是明确的，且长度易知. 再练一题 1.已知正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证：AFDE. 【证明】 设正方形的边长为 2，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点 E(1,0)，F(2,1)， AF(2,1)，DE(1，2)， AF·DE2×11×(2)0， AFDE，AFDE. 向量在解析几何中的应用 过点 A(2,1)，求： (1)与向量 a a(3,1)平行的直线方程； (2)与向量 b b(1,2)垂直的直线方程. 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则AP(x2，y1)，由APa a 可以得(1)， 由APb b 可以得(2). 【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， A(2,1)，AP(x2，y1). (1)由题意知APa a，(x2)×13(y1)0， 即 x3y50， 所求直线方程为 x3y50. 3 (2)由题意，知APb b， (x2)×(1)(y1)×20， 即 x2y40， 所求直线方程为 x2y40. 1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而得到向量AP的坐标. 2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二 是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题. 再练一题 2.已知点 A(1,0)，直线 l：y2x6，点 R 是直线 l 上的一点，若RA2AP，求点 P 的轨 迹方程. 【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则RA(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)， AP(x，y)(1,0)(x1，y). 由RA2AP，得Error! 又点 R 在直线 l：y2x6 上，y02x06， Error! 由得 x032x，代入得 62(32x)2y，整理得 y2x，即为点 P 的轨迹方程. 向量在物理中的应用 (1)一个质点受到平面上的三个力 F F1，F F2，F F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态， 已知 F F1，F F2成 60°角且|F F1|2，|F F2|4，则|F F3|( ) A.6 B.2 C.2 3 D.2 7 (2)在风速为 75( 6 2)km/h的西风中，飞机以 150 km/h的航速向西北方向飞行，求没 有风时飞机的航速和航向. 【精彩点拨】 (1)可利用 F F1 1F F2 2F F3 30 分离 F F3 3 得 F F3 3F F1 1F F2 2，平方可求|F F3 3|. (2)解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解. 【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F F1F F2F F30，所以 F F3(F F1F F2)， 所以|F F3 3|F F1F F2| 4 F F1F F22 |F F1|2|F F2|22F F1·F F2 1 4162 × 2 × 4 × 2 7. 2 【答案】 D (2)设 风速，a有风时飞机的航行速度，b无风时飞机的航行速度，ba .如图所示. 设|AB|a|，|CB|，|AC|b|， 作 ADBC，CDAD 于 D，BEAD 于 E， 则BAD45°. 设|AB|150，则|CB|75( 6 2)， |CD|BE|EA|75 2，|DA|75 6. 从而|AC|150 2，CAD30°， |b|150 2 km/h，方向为北偏西 60°. 向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形 法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤： 把物理问题中的相关量用向量表示； 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； 结果还原为物理问题. 再练一题 3.在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从 岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？ 【解】 如图所示，设向量OA的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB的长度和 5 方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，连接 OC. 依题意 OCOA，BCOA20，OB40， BOC30°. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60°的方向行进. 探究共研型 向量的数量积在物理中的应用 探究 1 向量的数量积与功有什么联系？ 【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它 的实质是向量的数量积. 探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模 型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到 物理问题中. 两个力 F F1i ij j，F F24i i5j j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i i，j j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量). 求：(1)F F1，F F2分别对该质点做的功； (2)F F1，F F2的合力 F F 对该质点做的功. 【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量 的数量积的问题. 【自主解答】 AB(720)i i(015)j j13i i15j j. (1)F F1做的功 W1F F1·s sF F1·AB (i ij j)·(13i i15j j)28 J. F F2做的功 W2F F2·s sF F2·AB (4i i5j j)·(13i i15j j)23 J. (2)F FF F1F F25i i4j j， 6 所以 F F 做的功 WF F·s sF F·AB(5i i4j j)·(13i i15j j)5 J. 1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解. 2.如果一个物体在力 F F 的作用下产生位移 s s，那么力 F F 所做的功 W|F F|s s|cos ，其中 是 F F 与 s s 的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积. 再练一题 4.如图 252 所示，已知力 F F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上)，大小为 50 N，一个质量 为 8 kg的木块受力 F F 的作用在动摩擦因数 0.02的水平面上运动了 20 m，则 力 F F 和摩擦力 f f 所做的功分别为多少？(|g g|10 m/s2) 图 252 【解】 设木块的位移为 s s，则： 3 WF F·s s|F F|·|s s|cos 30°50×20× 500 3(J). 2 因为 F F 在竖直方向上的分力的大小为 1 |F F1|F F|·sin 30°50× 25(N)， 2 所以物体所受的支持力的大小为 |F FN|mg g|F F1|8×102555(N). 所以摩擦力的大小为 |f f|F FN|0.02×551.1(N). 又 f f 与 s s 反向，所以 f f·s s|f f|·|s s|cos 180° 1.1×20×(1)22(J). 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与22 J. 1.过点 M(2,3)，且垂直于向量 u u(2,1)的直线方程为( ) A.2xy70 B.2xy70 C.x2y40 D.x2y40 7 【解析】 设 P(x，y)是所求直线上任一点，则MPu u.又MP(x2，y3)，2(x2) (y3)0，即 2xy70. 【答案】 A 2.若向量OF1(1,1)，OF2(3，2)分别表示两个力 F F1 1，F F2 2，则|F F1 1F F2 2|为( ) A. 10 B.2 5 C. 5 D. 15 【解析】 由于 F F1 1 F F2 2 (1,1)( 3 ，2)( 2 ，1)，所以|F F1 1 F F2 2| 22 12 5，故选 C. 【答案】 C 3.在ABC 中，若(CACB)·(CACB)0，则ABC 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.形状无法确定 【解析】 (CACB)·(CACB)0， CA2CB20，CA2CB2，CACB，ABC 为等腰三角形. 【答案】 C 4.若AB3e e，DC5e e，且|AD|BC|，则四边形 ABCD 的形状为_. 【解析】 由AB3e e，DC5e e，得ABDC，ABDC，又因为 ABCD 为四边形，所以 ABDC， ABDC.又|AD|BC|，得 ADBC，所以四边形 ABCD 为等腰梯形. 【答案】 等腰梯形 5.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 【解】 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、y 轴建立直角坐标系， 设 A(2a,0)，B(0,2a)，则 D(a,0)，C(0，a)， AC·BD 从而可求AC(2a，a)，BD(a，2a)，不妨设AC，BD的夹角为 ，则 cos |AC|BD| 8 2a，a·a，2a 4a2 4 4 .故所求钝角的余弦值为 . 5a· 5a 5a2 5 5 8