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    2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修32017.wps

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    2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修32017.wps

    2.2.22.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点) 2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点) 3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点) 基础·初探 教材整理 1 样本的平均数 阅读教材 P65P66,完成下列问题. 1.定义:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.特点:平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样 本的平均数估计总体的平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似. x 1 x 2 x n 3.作 用:n 个样本数据 x1,x2,xn 的平均数x ,则有 nxx1 x2 n xn,也就是把每个 xi(i1,2,n)都用x 代替后,数据总和保持不变.所以平均数x对数据 有“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平. 一组观察值 4,3,5,6出现的次数分别为 3,2,4,2,则样本平均值约为( ) A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64 4 × 33 × 25 × 46 × 2 【解析】 x 4.55. 3242 【答案】 A 教材整理 2 样本的方差和标准差 阅读教材 P66“最后一段”至 P68,完成下列问题. 1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小.一般地,设样本的元素为 x1,x2,xn,样本的平均数为x,定义 x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 s2 . n s2表示样本方差. 1 2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根 x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 s . n s 表示样本标准差. 某学员在一次射击测试中射靶 10次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则:(1)平均命中环数为_; (2)命中环数的标准差为_. 78795491074 【解 析】 (1)x 7. 10 1 (2)s2 (77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(10 10 7)2(77)2(47)24,s2. 【答案】 (1)7 (2)2 小组合作型 平均数的求法 甲、乙两人在 10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图 2220 所示,中间 一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10天甲、乙两 人日加工零件的平均数分别为_和_. 甲 乙 9 8 1 1 7 9 3 2 1 0 0 2 1 2 4 4 5 1 1 3 0 0 2 图 2220 【精彩点拨】 由茎叶图分别提取出甲、乙 10天中每天加工零件的个数,然后求平均数. 【尝试解答】 甲每天加工零件的个数分别为:18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35,所求 1 平均数为x甲 ×(18192020212223313135)24. 10 乙每天加工零件的个数分别为:11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所求平均数为: 1 x乙 ×(11171921222424303032)23. 10 2 【答案】 24 23 茎叶图与平均数相结合的问题,关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下,要计算一组数 据的平均数可使用平均数计算公式;当数据较大,且大部分数据在某一常数 a左右波动时,可 各个数据减去建立一组新的数据各个数据减去 a,再利用平均数简化公式计算,应用此法可减少运算量. 再练一题 1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动),该校合唱 团共有 100名学生,他们参加活动的次数统计如图 2221 所示.求合唱团学生参加活动的人均 次数. 图 2221 10 × 150 × 240 × 3 【解】 由图可知,该合唱团学生参加的人均次数为 2.3. 100 方差和标准差 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm的零件,为检验质量,从中抽取 6 件测量数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【精彩点拨】 1 【尝试解答】 (1)x甲 9910098100100103100, 6 1 x乙 9910010299100100100, 6 1 s 甲2 (99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103 6 3 7 100)2 , 3 1 s 乙2 (99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100 6 100)21. (2)由(1)知x甲x乙,比较它们的方差,s 甲2s乙2,故乙机床加工零件的质量更稳定. 1.在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度(即 方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定. 2.关于统计的有关性质及规律: (1)若 x1,x2,xn的平均数为x,那么 mx1a,mx2a,mxna的平均数是 mxa; (2)数据 x1,x2,xn与数据 x1a,x2a,xna的方差相等; (3)若 x1,x2,xn的方差为 s2,那么 ax1,ax2,axn的方差为 a2s2. 再练一题 2.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平 时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下: 甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛. 【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x甲,x乙, 1 则x甲130 (380751)133, 6 1 x乙130 (318426)133, 6 1 47 s 甲2 (6)252(3)24222(2)2 , 6 3 1 38 s 乙2 02(4)25212(5)232 . 6 3 因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选 乙参加竞赛比较合适. 频率分布直方图与数字特征的综合应用 已知一组数据: 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 4 (1)填写下面的频率分布表: 分组 频数累计 频数 频率 120.5,122.5) 122.5,124.5) 124.5,126.5) 126.5,128.5) 128.5,130.5 合计 (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图,最后根据数字特征在直 方图中的求法求解. 【尝试解答】 (1) 分组 频数累计 频数 频率 120.5,122.5) 2 0.1 122.5,124.5) 3 0.15 124.5,126.5) 8 0.4 126.5,128.5) 4 0.2 128.5,130.5 3 0.15 合计 20 1 (2) (3)在124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为 5 125.5,事实上,众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据是 124.52× 125.75,事实上 8 中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数: x121.5×0.1123.5×0.15125.5×0.4 127.5×0.2129.5×0.15125.8,事实上平均数的精确值为 x125.75. 5 1.利用频率分布直方图求数字特征: (1)众数是最高的矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等; (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它 们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 再练一题 3.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图 2222 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求: 图 2222 (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数; (2)高一参赛学生的平均成绩. 【解】 (1)由题图可知众数为 65, 又第一个小矩形的面积为 0.3, 设中位数为 60x,则 0.3x×0.040.5,得 x5, 中位数为 60565. (2)依题意,平均成绩为: 55×0.365×0.475×0.1585×0.195×0.0567, 平均成绩约为 67. 探究共研型 平均数、中位数、众数的特征 探究 1 一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗? 【提示】 一组数据的平均数、中位数都是唯一的,众数不唯一,可以有一个,也可以有 多个,还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么 这两个数据都是这组数据的众数. 6 探究 2 如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据? 【提示】 中位数不受几个极端数据的影响,而平均数受每个数据的影响,“越离群”的 数据,对平均数的影响越大,因此如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大 的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位 数和样本平均数,可以了解样本数据中极端数据的信息. 探究 3 众数、中位数有哪些应用? 【提示】 (1)众数只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据重复出现 时,众数往往更能反映问题. (2)中位数仅与数据的排列位置有关,中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中. 当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势. 方差、标准差的特征 探究 4 从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散程度? 【提示】 (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,极差反映了一组数 据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值极为敏感,一般情况下,极差大,则数据波动性 大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间的数据, 可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,方差、标准差的运算量较大. 因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以虽然标准差与方差在体现 数据离散程度上是一样的,但解决问题时一般用标准差. 样本的数字特征 探究 5 样本的数字特征具有哪些性质? 【提示】 (1)样本的数字特征具有随机性,这种随机性是由样本的随机性引起的. (2)样本的数字特征具有规律性,在很广泛的条件下,简单随机样本的数字特征(如众数、 中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征 是一定的,不存在随机性). 某班 4 个小组的人数为 10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求这 组数据的中位数. 【精彩点拨】 x的大小未知,可根据 x的取值不同分别求中位数. 1 【尝试解答】 该组数据的平均数为 (x28),中位数一定是其中两个数的平均数,由于 x 4 不知是多少,所以要分几种情况讨论: 1 (1)当 x8 时,原数据按从小到大的顺序排列为 x,8,10,10,其中位数为 ×(108)9. 2 1 若 (x28)9,则 x8,此时中位数为 9. 4 7 1 (2)当 810时,原数据按从小到大的顺序排列为 8,10,10,x,其中位数为 ×(1010) 2 1 10.若 (x28)10,则 x12,此时中位数为 10. 4 综上所述,这组数据的中位数为 9 或 10. 当在数据中含有未知数 x,求该组数据的中位数时,由于 x 的取值不同,所以数据由小到 或由大到小 排列的顺序不同,由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同一标大或由大到小排列的顺序不同,由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同一标 准或同一种方法解决,故需分情况讨论,讨论时要做到全面合理,不重不漏. 再练一题 4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参 加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则 样本数据中的最大值为_. x1x2x3x4x5 【解析】 设5 个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知 5 7,(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220,五个整数的平方和为 20,则必为 0119920,由|x7|3 可得 x10或 x4.由|x7|1 可得 x8 或 x6,由上 可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10,故最大值为 10. 【答案】 10 1.样本 101,98,102,100,99 的标准差为( ) A. 2 B.0 C.1 D.2 【解析】 样本平均数x100,方差为 s22, 标准差 s 2,故选 A. 【答案】 A 2.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图 2223 所示. 8 图 2223 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; 甲同学的平均分比乙同学高; 甲同学的平均分 比乙同学低; 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩 的方差. 上面说法正确的是( ) A. B. C. D. 1 【解 析】 甲的中位数 81,乙的中位数 87.5,故错,排除 B、D;甲的平均分x (76 6 1 7280828690)81,乙的平均分x (697887889296)85,故错, 6 对,排除 C,故选 A. 【答案】 A 3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差 s2如下表所示,则选送 决赛的最佳人选应是( ) 甲 乙 丙 丁 x 7 8 8 7 s2 6.3 6.3 7 8.7 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】 x乙x丙x甲x丁,且 s 甲2s乙2s丙2s丁2, 应选择乙进入决赛. 【答案】 B 4.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量 得到频率分布直方图如图 2224,则 图 2224 (1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是_. (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为_. (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为_. 【解析】 (1)(0.040×100.025×10)×2013. (2)设中位数为 x,则 0.2(x55)×0.040.5,x62.5. 9 (3)0.2×500.4×600.25×700.1×800.05×9064. 【答案】 (1)13 (2)62.5 (3)64 5.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10次,每次打靶的成绩情况如图 2225 所示: 图 2225 (1)填写下表: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: 从平均数和方差结合分析偏离程度; 从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; 从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些; 从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 1 【解】 (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以x乙 (246877 10 89910)7;乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数是 78 7.5;甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为 7.于是填充 2 后的表格如下表所示: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2) 甲、乙的平均数相同,均为 7,但 s 甲2s乙2,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离 平均数的程度大. 甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好. 甲、乙的平均水平相同,而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次,可知乙的射 靶成绩比甲好. 从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态 在提升,更有潜力. 10

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