台湾大学公开课逻辑讲义1至13全集.ppt

Unit 0 課程簡介,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 0 課程簡介,首先，對參與本課程同學致上誠摯歡迎之意。 本課程內容具備連貫性，除非不可抗拒因素，請盡可能參與，避免缺課帶來困擾。 為避免不必要之困擾，上課時間請將手機關閉，請勿在課堂上接聽或擅自離開影響他人。 為維護整潔起見，除解渴飲料外，請勿攜帶其他食物進入教室。,Unit 0 課程簡介,課程名稱：邏輯(LOGIC) 上課教室：博雅館 103 上課時間：Mon 5,6 授課教師：傅皓政(Fu, Hao-Cheng) E-mail: fhz2faculty.pccu.edu.tw fuhaochenggmail.com Office: 中國文化大學(大典館308-3) TEL: (02)28610511#21131 Office hours: Wed, Thu, Fri, 10:10-12:00,Unit 0 課程簡介,課程進度 2011/09/19：導論：什麼是邏輯？ (思考的秘密, pp.5-20) 2011/09/26：命題與論證 (思考的秘密, pp.22-28) 2011/10/03：語句連接詞 (思考的秘密, pp.29-40) 2011/10/10：命題邏輯語言 (思考的秘密, pp.47-51) 2011/10/17：真值表法 (思考的秘密, pp.55-62) 2011/10/24：簡易真值表法、真值樹法 (思考的秘密, pp.63-72；89-104),Unit 0 課程簡介,課程進度 2011/10/31：簡介公理法與自然演繹法 (思考的秘密, pp.80-88) 2011/11/07：期中考 2011/11/14：後設定理：妥當性與完備性 (思考的秘密: pp.112-119) 2011/11/21：傳統語詞邏輯 (思考的秘密, pp.120-128) 2011/11/28：述詞邏輯語言 (思考的秘密, pp.136-145) 2011/12/05：日常語言與邏輯語言 (思考的秘密, pp.146-158),Unit 0 課程簡介,課程進度 2011/12/12：述詞邏輯演算：真值樹法 (思考的秘密, pp.167-176) 2011/12/19：述詞邏輯演算：自然演繹法 (思考的秘密: pp.197-212) 2011/12/26：描述詞理論 (思考的秘密: pp.177-184) 2012/01/02：常見的謬誤 (思考的秘密, pp.219-238) 2012/01/09：期末考,Unit 0 課程簡介,上課指定閱讀書籍： 傅皓政(2006)，思考的秘密， 台北市：三民書局。,Unit 0 課程簡介,參考書籍： 1.Arnold vander Nat, Simple Formal Logic, NY: Routledge, 2010. 2.Leigh S. Cauman, First-Order Logic, NY: de Gruyter, 1998. 3.Raymond M. Smullyan, First-Order Logic, NY: Dover, 1968, 1995.,Unit 0 課程簡介,評分方式： (1) 作業成績：30%，本學期預計指派5份作業，每份作業占6%。 (2) 期中考成績：30%，按照學校行事曆時間進行期中考。 (3) 期末考成績：40%，按照學校行事曆時間進行期末考。,Unit 1 什麼是邏輯？,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 1 什麼是邏輯？,邏輯乃研究說話的道理的學科。 請由直覺判斷以下兩個例子是有道理還是沒有道理的說法。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一 實例二 所有的人都會死； 所有的人都會死； 蘇格拉底是人。 蘇格拉底會死。 所以，蘇格拉底會死。 所以，蘇格拉底是人。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一 所有的人都會死； 蘇格拉底是人。 所以，蘇格拉底會死。,會死的,人,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一 所有的人都會死； 蘇格拉底是人。 所以，蘇格拉底會死。,會死的,人,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例一 所有的人都會死； 蘇格拉底是人。 所以，蘇格拉底會死。,會死的,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二 所有的人都會死； 蘇格拉底是會死。 所以，蘇格拉底是人。,會死的,人,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二 所有的人都會死； 蘇格拉底是會死。 所以，蘇格拉底是人。,會死的,人,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,實例二 所有的人都會死； 蘇格拉底是會死。 所以，蘇格拉底是人。,人,蘇,Unit 1 什麼是邏輯？,邏輯的目標： (1)對有道理的說話做系統性的研究。 (2)增強說話與思考的能力。,Unit 1 什麼是邏輯？,每個人都會花錢，但不是每個人都是經濟學家。 但是，懂一些理財的方式應該是不錯的。,Unit 1 什麼是邏輯？,雖然每個人都知道物體會動、看得到光、也會使用電器，但不是每個人都是物理學家。 但是，懂得一些物理原理應該是不錯的，至少在使用電器的安全上有些概念。,Unit 1 什麼是邏輯？,每個人也都知道食物放久了不能吃，但並不是每個人都是化學家。 但是懂得一些物質變化的原理應該還不錯，至少對於身體健康有些幫助。,Unit 1 什麼是邏輯？,所以，即使每個人都會說話，也大概能夠以直覺判斷說話有無道理，但並不是每個人都是邏輯學家。 但是，學習關於推理的知識也是不錯的，至少在溝通方面有些助益。,Unit 1 什麼是邏輯？,這裡出現的說話是廣義的。簡單來說，說話就是推理過程。 除了日常對話是所謂的說話之外，還包括數學證明、科學定律，甚至算命先生所做的預測都是與推理過程相關。,Unit 1 什麼是邏輯？,道理就是指推理的有效性(validity)而言。,Unit 1 什麼是邏輯？,何謂有效性(validity)？ (1)能夠從前提得到結論。(注意，前提可以是空集合) (2)預設人是有理性的，那麼，如果論證是有效的，在接受前提的情況下，不可能不接受結論。,Unit 1 什麼是邏輯？,實例三 假設你在某個約會中遲到，當對方問你為什麼遲到？時，什麼理由才算是合理的理由呢？,Unit 2 命題與論證,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 2 命題與論證,論證是由一群語句所形成的集合。 論證結構：論證是由前提與結論組成。,Unit 2 命題與論證,結論是我們的主張或要證明的結果。 前提則是支持結論的理由。 連結前提與結論的語詞，如因此、所以等。,Unit 2 命題與論證,關於論證的重要概念： (1)出現在前提與結論的語句都是命題。 (2)論證的形式化。,Unit 2 命題與論證,語句和命題的區別 (1)語句：由符號組成的序列。 (2)命題：符號序列的意義或內容。,Unit 2 命題與論證,不同的語句可以用來表達同一個命題。 現在正在下雨。 It is raining. Es regnet. &%!Z$#?,Unit 2 命題與論證,相同的語句可以表達不同的命題。 明天會下雨。 先借我5000元，我明天還給你。,Unit 2 命題與論證,並非所有有意義的語句都是命題。 (1)問句：你今天會去上課嗎？ (2)祈使句：去開門。 如何判斷某個語句是否為命題呢？,Unit 2 命題與論證,命題是指有真假值的語句。 一個簡單的測試方式：對任一語句 “S” 而言，如果問句 “S” 為真嗎？是能夠回答的，那麼語句 “S” 就可以被視為命題。 一般而言，什麼樣的語句會是命題呢？其實就是直述句(declarative sentence)。,Unit 2 命題與論證,邏輯研究的對象：論證形式而非個別的論證。 (1) 蘇格拉底是人 (2) 蘇格拉底會死 所有的人都會死 所有的人都會死 所以，蘇格拉底會死 所以，蘇格拉底是人,Unit 2 命題與論證,從演繹論證的觀點看： 正確的推論：從前提可以推導得到結論，或者說在接受前提的情況下，一定會接受結論。 不正確的推論：從前提無法推導得到結論，或者說即使接受前提的情況下，也不一定會接受結論。,Unit 2 命題與論證,比較下列兩個論證：論證形式相同，因此如果(1)是正確推論，(1a)也是正確推論。 (1) 蘇格拉底是人 (1a) 傅皓政是老師 所有的人都會死 所有的老師都是人 所以，蘇格拉底會死 所以，傅皓政是人,Unit 2 命題與論證,同樣地，由於論證(2)和(2a)的論證形式相同，因此如果(2)是不正確的推論，(2a)也是不正確的推論。 (2) 蘇格拉底會死 (2a) 傅皓政是人 所有的人都會死 所有的老師都是人 所以，蘇格拉底是人 所以，傅皓政是老師,Unit 2 命題與論證,論證 (1)和(1a)的論證形式。 (AF1) S 是 M 所有的 M 都是 P 所以， S 是 P,Unit 2 命題與論證,論證 (2)和(2a)的論證形式。 (AF2) S 是 M 所有的 P 都是 M 所以，S 是 P,Unit 2 命題與論證,(3) 如果今天下雨，則馬路會是濕的。 今天下雨了。 所以，馬路會是濕的。 (3a)如果人類能夠生存在地球上，則地球上會有氧氣。 人類能夠生存在地球上。 所以，地球上會有氧氣。,Unit 2 命題與論證,(4) 如果今天下雨，則馬路會是濕的。 馬路會是濕的。 所以，今天下雨了。 (4a)如果人類能夠生存在地球上，則地球上會有氧氣。 地球上會有氧氣。 所以，人類能夠生存在地球上。,Unit 2 命題與論證,論證 (3)和(3a)的論證形式。 (AF3) 如果 P ，則 Q P 所以，Q,Unit 2 命題與論證,論證 (4)和(4a)的論證形式。 (AF4) 如果 P ，則 Q Q 所以，P,Unit 2 命題與論證,兩種論證結構的差異。 (AF1)和(AF2)是以語詞(terms)為單位的論證結構。 (AF3)和(AF4)則是以命題(propositions)為單位的論證結構。,Unit 2 命題與論證,以論證(1)為例，如果以語詞為單位，該論證結構顯然是正確的推論形式；但是，如果以命題為單位，則該論證結構是不正確的推論形式。 (AF1) P Q 所以，R,Unit 2 命題與論證,本課程將由介紹以命題為單位的邏輯系統開始，一般稱為命題邏輯(propositional logic)。 在熟悉如何以命題邏輯系統處理推論之後，再學習建構處理能力更強的述詞邏輯(predicate logic)。,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 3 命題邏輯語言,Unit 3 命題邏輯語言,日常語言構成的論證的問題： (1) 歧義(ambiguity) (2) 含混(vagueness) (3) 開放(open),Unit 3 命題邏輯語言,實例： Nobody is perfect. I am a nobody. Therefore, I am perfect.,Unit 3 命題邏輯語言,歧義(ambiguity)： (a) 語法歧義(syntactic or structural ambiguity) (b) 語意歧義(semantic or lexical ambiguity),Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義： 根據不同的語句結構解讀方式，同一語句會有不同的意義。 例如：下雨天留客天留我不留,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例： 臺大校園內有許多聰明的學生和教授。 1.臺大校園內有許多聰明的（學生和教授）。 2.臺大校園內有許多（聰明的學生）和教授。,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例： 我們公司有一群勤奮的員工和老闆。 1.我們公司有一群勤奮的（員工和老闆）。 2.我們公司有一群（勤奮的員工）和老闆。,Unit 3 命題邏輯語言,語法歧義的實例： 本系有三位教授出版了五本書。 1. 三位教授總出版量是五本書。 2. 三位教授合著五本書。 3. 三位教授每人出版五本書。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義： 如果出現在語句中的語詞，會有不同的解釋，則同一語句會有不同的意義。 例如：日落香殘，掃去凡心一點； 爐邊火盡，須把意馬牢拴。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義實例： 那個女孩臉好正。 1. 那個女孩的臉蛋很漂亮。 2. 那個女孩的臉形是正方形。,Unit 3 命題邏輯語言,語意歧義實例： 你出門在外，小心那些花花草草。 1. 你要注意是否有值得記錄的奇花異草。 2. 你要注意不要勾搭別的女生。,Unit 3 命題邏輯語言,含混性： 某個語詞是含混的，若且唯若，存在某些包含該述詞的語句，既無法決定該語句為真，亦無法決定該語句為假。,Unit 3 命題邏輯語言,含混性： 以禿頭為例，滿頭秀髮的人顯然不是禿頭，但是，如果一根一根頭髮拔掉的話，遲早會變成禿頭。但是，我們能夠找到用來區分是否禿頭的那根頭髮嗎？,Unit 3 命題邏輯語言,含混性： 再以漸層色塊為例，任意挑選兩個鄰近區塊，我們都會同意這兩個色塊顏色相同，但是，這卻違反了我們可以區分紅色與黃色的直覺。,Unit 3 命題邏輯語言,語言開放性： 某個語言 L 是開放的，若且唯若，L 允許新的符號或新的解釋。 例如：Orz；冏；醬；XD；886,Unit 3 命題邏輯語言,為了避免推論過程無法避免日常語言帶來的困擾，因此，我們需要一個新的形式語言(formal language)。 建構此形式語言的目的，至少要避免歧義、含混以及開放性的問題。,Unit 3 命題邏輯語言,適合用來處理命題邏輯的形式語言(Lk)包含兩個部份： (1) 由原初符號(primitive symbols, or alphabet)形成的集合。 (2) 有限的形構規則(formation rules)。（目的在於建構合宜的句式(well-formed formula, wff )。）,Unit 3 命題邏輯語言,命題邏輯的字彙集包含下列幾個部份： (1) 語句（或命題）符號 ： P, Q, R, (2) 真值函映（或連接詞）： , , , , (3) 輔助符號： ( , ),Unit 3 命題邏輯語言,命題邏輯語言中的句式都可以經由下列的形構規則建構之。( 與 為句式的變量) (1) 每個語句符號都是句式。 (2) 如果 是一個句式，那麼 也是句式。 (3) 如果 和 都是句式，那麼 , , , 也都是句式。 (4) 除了經由規則(1)-(3)所建構的稱為句式外，沒有其他句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(1) ，每個語句符號均視為原子句式。 實例： (1) P 是一個原子句式。 (2) Q 是一個原子句式。 (3) R 是一個原子句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(2)，如果 是一個句式，那麼 也是句式。 實例： (1)如果 P 是一個原子句式，那麼 P也是句式。 (2) 如果 用來代表 P ，那麼 P也是句式。 (3) 所以，像 P、 P 等都是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。 實例： (1) 如果 和 分別代表 P 和 Q ，那麼 PQ是句式。 (2) 由於 PQ 和 QR都是句式，如果和 分別代表 PQ和 QR，那麼 (PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。 實例： (1)如果 和 分別代表 P 和Q ，那麼 PQ是句式。 (2)由於 PQ 和 QR都是句式，如果和 分別代表 PQ和 QR，那麼 (PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。 實例： 如果 和 分別代表PQ 和 (PQ)(QR) ，那麼(PQ)(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,根據形構規則(3)，如果 和 都是句式，那麼 也是句式。 實例： 如果 和 分別代表PQ 和 (PQ)(PQ)(QR) ，那麼 (PQ)(PQ)(PQ)(QR)也是句式。,Unit 3 命題邏輯語言,上述建構句式的方式稱為遞迴定義(recursive definition) 遞迴定義需要的裝置： (1) 原始步驟 (2) 遞迴函數,Unit 3 命題邏輯語言,下列的符號組合並非合宜的句式，請指出其問題。 (1) P (2) (PQ) (3) (P (4) P (5) (PQ)(PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,直接子句式(immediate subformulae)的定義： (1) 語句符號沒有直接子句式。 (2) 句式 的直接子句式只有。 (3) 句式 、 、 以及 的直接子句式為和。,Unit 3 命題邏輯語言,實例： (1) (PQ)(QR)的直接子句式： PQ、(QR) 。 (2) (PQ)(PQ)(QR)的直接子句式(PQ)(PQ)(QR)。,Unit 3 命題邏輯語言,練習題：找出下列句式的直接子句式。 (1) Q (2) P (3) PQ (4) (PQ)(QR) (5) (PQ)(PQ)(PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,子句式(subformulae)的定義： (1) 每一個句式本身都是自己的子句式。 (2) 每一個子句式的直接子句式都是原句式的子句式。 (3) 每一個子句式的子句式都是原句式的子句式。,Unit 3 命題邏輯語言,如何完整寫出某個句式的所有子句式？ 方式：逐步分解並消除語句連接詞。,Unit 3 命題邏輯語言,實例： 找出(PQ)(QR)的所有子句式 (1) 直接子句式為 PQ 和 (QR)，消除語句連接詞 。 (2) PQ 的直接子句式是 P和 Q，消除語句連接詞 。 (3) (QR)的直接子句式是 QR，消除語句連接詞 。 (4) P的直接子句式是 P。 (5) QR的直接子句式是 Q 和 R。,Unit 3 命題邏輯語言,(PQ)(QR)的所有子句式所形成的集合如下： P； Q； R； P； QR ； (QR) ； PQ ； (PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,主要連接詞(main connective)的定義： 在句式 中用來連接直接子句式的語句連接詞稱為 的主要連接詞。,Unit 3 命題邏輯語言,實例： (1) (PQ)(QR)的主要連接詞為 。 (2) (PQ)(QR) 的主要連接詞為 。,Unit 3 命題邏輯語言,練習題： (a) P (b) PQ (c) (PQ)(QR) (d) (PQ)(PQ)(QR),Unit 3 命題邏輯語言,連接詞範圍(scope)的定義： 某個語句連接詞的範圍是指在句式 中可以找到該語句連接詞的最小子句式而言。,Unit 3 命題邏輯語言,實例：(PQ)(QR) (1) 的範圍是 (PQ)(QR)。 (2) 的範圍是 (PQ)(QR)。 (3) 的範圍是 (PQ)(QR)。 (4) 的範圍是 (PQ)(QR)。 (5) 的範圍是 (PQ)(QR)。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,語意學的基本概念就是解釋某個語言中的語詞及語句的意義。 從單稱語詞(singular terms)來看，指涉對象就是其語意值。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,通稱語詞(general terms)的語意值就是具有該語詞描述的性質的對象形成的集合(即外延)。 語句的語意值則為真假值(truth-value)。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,語意學預設： (a)二值原則，命題具有真假值(也就是命題為真，或者為假)，但不能既真又假，也不能既不真也不假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,對於二值原則的思考： 什麼語句無法給出確定的真假值？ (i)明天將會發生海戰。 (ii)大衛是勇敢的。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(b)真值函映原則，在古典邏輯中出現的語句連接詞均為真值函映的連接詞。 例如，當P為真，Q為真時，PQ顯然為真。而當P和Q兩者有任一為假的時候，則PQ顯然為假。因此，連接詞 “” 為真值函映的連接詞。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,非真值函映的連接詞 例一：I know that P 當 “P”為真的時候，“我知道 P”可能真也可能假，因為我不會知道所有真的語句。不過，當 “P”為假的時候，“我知道 P”為假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,非真值函映的連接詞 例二：It is necessary (possible) that P 當 “P”為真的時候，“必然 P”可能真也可能假；另外，當 “P”為假的時候，“可能 P”也是可能真或者為假。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(c)外延原則，複合語句的真假值是由原子語句的真假值決定，與語句本身的內容或意義無關。 以矛盾句為例，PP的真假值一定為假，無論 P 的內容為何。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,根據二值原則，每個命題可能出現的情況有兩種，即真與假。因此，如果僅出現一個命題的語句，只需要考慮兩個可能情況，而出現兩個命題組成的語句，則須考慮22=4 種情況。依此類推，出現 n 個命題的語句，則需要考慮 2n 種可能情況。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：否定號(Negation) 其他記號： 、。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：選言號 (Disjunction) 其他記號：互斥選言號(exclusive disjunction),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：連言號 (Conjunction) 其他記號：&、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：條件號 (Conditional) 其他記號：、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,基本真值表：等值號 (Equivalence) 其他記號：、,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,恆真句(tautology)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在所有可能情況中均為真，若且唯若，該語句為恆真句。 實例： (a) P P (b) P P (c) P (Q P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(a) P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(b) P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(c) P (Q P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,矛盾句(contradiction)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在所有可能情況中均為假，若且唯若，該語句為矛盾句。 實例： (d) P P (e) (P (Q P) (f) P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(d) P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(e) (P (Q P),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(f) P P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,偶真句(contingent, indeterminated sentences)：考慮語句的所有可能情況，如果該語句在某些可能情況中為真，其他可能情況中為假，若且唯若，該語句為偶真句。 實例： (g) P (h) P Q (i) (P Q) P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(g) P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(h) P Q,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(i) (P Q) P,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,命題之間的關係 (1) 蘊涵關係(implication) (2) 等值關係(equivalence) (3) 不一致(inconsistency) (4) 一致性 (consistency),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(1) 蘊涵關係(implication) 設想某個句式集合1, 2, , n，以及句式，如果沒有任何情況使得 1, 2, , n皆真而 為假，則稱1, 2, , n 語意上蘊涵 。 記法： 1, 2, , n ,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,蘊涵關係實例說明：證明方式為當 (1 2 n ) 為恆真句時，若且唯若，上述的蘊涵關係成立。 (j) P Q, P Q P (k) P (Q P) (l) P, P ,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q, P Q P 的蘊涵關係成立，就是設法證明(P Q) (P Q) P 是恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P (Q P) 的蘊涵關係成立，就是設法證明 P (Q P) 為恆真句。 上述的蘊涵關係表示任意命題都蘊涵恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P, P 的蘊涵關係成立，就是證明 (P P) 為恆真句。 上述的蘊涵關係表是矛盾句蘊涵任意命題。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(2) 等值關係(equivalence) 對任意兩個句式 與 而言， 與 等值，若且唯若 語意上蘊涵 而且 語意上蘊涵 。 記法： ,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,等值關係實例說明：證明方式為當 為恆真句時，若且唯若， 與 的等值關係成立。 (m) (P Q) (P Q) (n) (P Q) (P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q 與 P Q 是等值的，就是設法證明 (P Q) (P Q) 為恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q與 (P Q)是等值的，就是設法證明 (P Q) (P Q)為恆真句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,關於等值關係的重要觀察： (1) 所有的恆真句都是等值的。 (2) 所有的矛盾句都是等值的。 你能夠試著說明這兩個說法成立的理由嗎？,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(3) 不一致(inconsistency) 對任意句式集合 而言， 是不一致的，若且唯若沒有任何情況能夠使集合 中的所有語句為真。 記法： 不一致是使得我們覺得無法信賴說謊的人的重要依據。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,不一致的實例說明：證明方式為當 中的所有句式的連言是矛盾句時，若且唯若， 是不一致的 。 (o) P Q , (P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q與 (P Q)是不一致的，就是設法證明 (P Q) (P Q)為矛盾句。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,(4) 一致性(inconsistency) 對任意句式集合 而言， 是一致的，若且唯若至少有一個情況能夠使集合 中的所有語句為真。 記法： 一致性是寫作或小說創作的重要思考方向。,Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,一致性的實例說明：證明方式為當 中的所有句式的連言不是矛盾句時，若且唯若， 是一致的 。 (p) P Q , (P Q),Unit 4 語意學基本預設及語句連接詞,想要證明 P Q與 (P Q)是一致的，就是設法證明 (P Q) (P Q)不是矛盾句。,Unit 5 真值表法,【本著作除另有註明外，採取創用CC姓名標示非商業性相同方式分享台灣3.0版授權釋出】,授課教師：傅皓政 老師,Unit 5 真值表法,首先，讓我們複習一下，古典邏輯的二值原則預設每個原子命題只可能出現兩個真假值：即真和假。 通常以T代表真，而且以F代表假。,Unit 5 真值表法,因此，如果僅出現一個命題的語句，只需要考慮兩個可能情況，而出現兩個命題組成的語句，則須考慮22=4 種情況。依此類推，出現 n 個命題的語句，則需要考慮 2n 種可能情況。,Unit 5 真值表法,所謂的可能情況就是原子命題的各種可能的組合，我們將每個可能情況稱為結構(structure)或模型(model)。 例如，P 代表傅老師是男人，那麼有兩個可能情況，一為傅老師是男人的世界；另一則為傅老師不是男人的世界。在第一類可能情況中，P 為真；在第二類可能情況中，P 為假。,Unit 5 真值表法,如果出現兩個原子命題，例如 P 代表傅老師是男人，Q 代表傅老師是好人。那麼，會有四個結構： P Q P Q P Q P Q T T T F F T F F,Unit 5 真值表法,不難想像，如果有三個原子命題，那麼就會有 8 個不同的結構： P Q R P Q R P Q R P Q R T T T T T F T F T T F F P Q R P Q R P Q R P Q R F T T F T F F F T F F F,Unit 5 真值表法,根據古典邏輯的外延原則，每個句式的真假值均可由原子命題的真假值決定。 論證是一群句式的集合，其結構則為前提與結論。 有效論證：不可能出現前提皆真而結論為假的情況。,Unit 5 真值表法,實例說明： 考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立 (a) PQ, QR, R P (b) PQ, RQ, R P,Unit 5 真值表法：實例(a),Unit 5 真值表法,觀察實例(a)的每個結構，其中能夠符合前提皆真的結構只有第四列，而第四列的結構亦使得其結論為真。因此，根據有效論證的判準，我們找不到前提皆真而結論為假的情況，所以實例(a)的蘊涵關係是成立的。,Unit 5 真值表法：實例(b),Unit 5 真值表法,觀察實例(b)的每個結構，其中第六列的結構使得前提皆真而且結論為假。因此，根據有效論證的判準，有前提皆真而結論為假的情況，所以實例(b)的蘊涵關係是不成立的。,Unit 5 真值表法,實例(b)的蘊涵關係不成立，表示方式如下： PQ, RQ, R P 其反例結構為: P Q R F T F,Unit 5 真值表法,基本練習：考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立 (c) PQ, P Q (d) PQ, P Q (e) PQ, Q P (f) PQ, Q P,Unit 5 真值表法,(c) (PQ), P Q 論證(c)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,(d) PQ, P Q,Unit 5 真值表法,論證(d)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立： (d) PQ, P Q 其反例結構為: P Q F T,Unit 5 真值表法,(e) PQ, Q P,Unit 5 真值表法,論證(e)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立： (e) PQ, Q P 其反例結構為: P Q F T,Unit 5 真值表法,(f) PQ, Q P 論證(f)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,進階練習：考慮下列論證的語意蘊涵關係是否成立 (g) AB, (BA)A AB (h) MN, N NM (i) P(QP) (j) (CC)D, D ,Unit 5 真值表法,(g) AB, (BA)A AB 論證(e)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,(h) MN, N NM,Unit 5 真值表法,論證(h)為無效論證，亦即語意蘊涵關係不成立： (h) MN, N NM 其反例結構為: M N T T,Unit 5 真值表法,(i) P(QP) 論證(i)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,(j) (CC)D, D 論證(j)為有效論證，即語意蘊涵關係成立。,Unit 5 真值表法,真值表法的重要性在於提供一個決定命題邏輯論證有效與否的程序。 不過，真值表法的缺點在於如果命題符號的個數過多，那麼真值表法則顯得過分繁複。 因此，我們需要一個比較簡單的方法簡易真值表法(short-cut),Unit 5 真值表法,簡易真值表法的操作方法： (1) 先假設給定的論證是無效論證，也就是假設前提皆真而結論為假。 (2) 如果上述的假設會導致矛盾出現，那麼該論證即為有效論證。如果沒有矛盾出現，意思就是至少有一個結構可以使得前提皆真而結論為假，亦即該論證為無效論證。,Unit 5 真值表法,實例說明： (k) PQ, QR, R P (l) PQ, RQ, R P (m) PQ, QP P (n) PQ, PQ Q (o) (PQ)R PR,Unit 5 真值表法,(k) PQ, QR, R P P Q Q R R P T T T F F F F T F 矛盾 假設前提皆真且結論為假會產生矛盾，所以上述論證為有效論證。,Unit 5 真值表法,(l) PQ, RQ, R P P Q R Q R P T T T F F F T F