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新东方2014考研数学强化班,主讲：胡 雷,第一章,函数、极限、连续,1.函数,1.定义：设变量x在某实数R中任意取一个数时，另一变量y按一确定的法则总有确定的实数与其他对应，则称y是x的函数，x成为自变量，R成为函数的定义域，记作y=f(x),xR. 注意：定义中有两个要点： 1定义域R，它表示自变量x的取值范围. 2对应法则f(),他表示给定x值，求y的方法。,2.函数性态,1.单调性 判别方法 方法（1）用定义本身,设 是否为正（或为负），从而推得的f(x)是单调递增或者单调递减的。 方法（2）利用导数来进行判断,对可导函数y 而言，若 则y单调递增；若 ，则y单调递减。,2.函数性态,2.奇偶性 判别方法： 方法（1）.定义本身就是奇偶性的原理与方法f(x)=f(-x)，f(-x)=-f(x)。 方法（2）.间接法 1.奇函数的导数必定是偶函数，偶函数的导数是奇函数 2.偶函数的原函数中仅有一个是奇函数。,2.函数性态,3.奇函数的一切原函数都是偶函数。 4.f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)+f(-x)为偶函数。,2.函数性态,3.周期性 定义：f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数。 判别方法： 方法1，定义本身就是一种最基本的判别方法。只需计算f(x+T)是否等于f(x)即可。,2.函数性态,方法2：间接法 1.由sinx,cosx的周期为 可以推出 sin2x,cos2x， 2.f(x)是可导的周期函数 仍为周期函 数（且周期不变）。,2.函数性态,注意：f(x)的周期为T，那么 （1）. 例1.,2.函数性态,（2）. 例2.,2.函数性态,（3）.若 例3.若f(x)为连续的周期为T的奇函数，那 么 的周期为T（因 为）,2.函数性态,3.有界性 判别方法： 方法1：定义本身就是一种判别方法。但是值得注意的是，方法原理虽然很简单，但要找到M却十分困难，因为 本身涉及不等式的放大或缩小，技巧性极强。一般情况下，对此并不特别要求，只需掌握基本，例如：由 在（-，+）上有界,2.函数性态,方法2：间接法 (1).若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上有界 (2).若f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界 (3).若f(x)在开区间(a,b)上连续，且 存在， 存在 f(x)在开区间（a,b） 上有界 (4)若 在含x0的区间上无界,2.函数性态,无穷小的阶,求,无穷小的阶,求,无穷小替换,求,单调有界准则求极限,若0x13,xn+1= 求,求极限中的常数,若 求a,b.,求极限中的常数,若 求a,b.,求极限中的常数,若 求a,b,c,求极限中的常数,若 , 且 A.a0 C.a0，b0 D.a0，b0,考研真题题型种类分析,题型1. 求 题型2. 求 题型3. 求 0×型极限 题型4. 求 -型极限 题型5. 求 0×有界量型极限 题型6. 求 题型7. 极限中常数的确定,考研真题题型种类分析,题型8. 函数性质（单调性，奇偶性等） 题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶 题型10.数列极限存在的判定或证明或求解 题型11.函数极限存在的判定或证明或求解 题型12.函数连续性的讨论或证明 题型13.函数间断点的判定或证明 题型14.与极限相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,考研真题题型种类分析,题型15.求n项和的数列的极限 题型16.求函数的表达式 题型17.求函数的值域 题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,数列极限转换为函数极限,求,题型1.求,1.,2.设 则 _. 3. 求极限.,题型1.求,无穷小替换求极限,求,洛必达法则求极限,求,题型2.求,1.求极限,2.,题型2.求,3.,题型2.求,题型3. 求 0×型极限,1.,题型3. 求 0×型极限,2.,题型3. 求 0×型极限,3.,题型4. 求 -型极限,1.,题型4. 求 -型极限,2.,题型5. 求 0×有界量型极限,1.,题型6. 求,1.,题型7. 极限中常数的确定,1.若 则a等于,题型7. 极限中常数的确定,2.若 则a=_，b=_.,设 求,带参数的极限,求,有界性,当 A.无穷大量 B.无穷小量 C.无界量 D.有界量非无穷小量,题型8. 函数性质（单调性，奇偶性等）,1.函数 在下列哪个区间内有界 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3),麦克劳林级数展开式,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数展开,麦克劳林级数求极限,求,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(1) 当 时，与 等价的无穷小量 是（ ） A. B. C. D.,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(2) 当 时， 与 是等价无穷小，则 （A） （B） （C） （D）,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,(3)已知当 时，函数 与 是等价无穷小，则 （A）k=1,c=4 （B）k=1,c=-4 （C）k=3,c=4 （D）k=3,c=-4,题型9.无穷小的比较或确定无穷小的阶,1.,题型10.数列极限存在的判定或证明或求解,1.,题型11.函数极限存在的判定或证明或求解,1.设 0 求： （1） （2）,题型12.函数连续性的讨论或证明,1.设函数 在（-，+）内连续，则c=_.,题型12.函数连续性的讨论或证明,2.设 其函数在 x=0 处连续，则的 取值范围是_. 其导数在x=0处存在，则的 取值范围是_. 其导函数在x=0处连续，则的 取值范围是_.,题型13.函数间断点的判定或证明,讨论其间断点。,题型13.函数间断点的判定或证明,1. 函数 的可去间断点 的个数为（ ） (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 无穷多个,题型13.函数间断点的判定或证明,2.函数 的无穷间断点为: (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.,题型13.函数间断点的判定或证明,3.函数 在-,上的第一类间断点是x=_. (A) 0 (B) 1 (C) (D),题型14.与极限相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,1.设 在a,b上连续,且 (A) 至少存在一点 (B) 至少存在一点 (C) 至少存在一点 (D) 至少存在一点,题型14.与极限相关的定理的命题（介值定 理，保号性，单调有界等）,2.设函数f(x)在0，+）上可导， f(0)=0, 且 证明：存在a0,使得,题型16.求函数的表达式,1.设函数 f(x) 在(-,+)上有定义，在区间 0,2上， 若对任意的 x 都满 足 其中 k 为常数， （1）写出f(x)在-2,0上的表达式； （2）问k为何值时，f(x)在x=0处可导。,题型17.求函数的值域,1.参照题型8.,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,1.设 则数列Sn有界是数列an收敛的（ ） (A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)非充分也非必要条件,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,4.证明：对任意的正整数n，都有 成立； 设 证明数列an收敛。,题型18.数列收敛性的判定或数列极限求解,5.证明方程 在区间 内有且仅有一个实根； .记中的实根为 xn，证明 存在，并求此极限。,第二章 一元函数微分学,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题 题型2.求复合函数的导数或微分 题型3.求隐函数的导数或微分 题型4.函数极值或最值的判定或求解 题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解 题型6.求一元函数的高阶导数 题型7.函数在某一区间至少存在一点或者两点使某一式子成立的判定或证明,第二章 一元函数微分学,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定 9.求一元函数在一点的切线方程或法线方程 10.求曲线的渐进线 11.函数图形的相关命题 12.方程的根的判定或证明,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,1.,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,2. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且 f'(x)0,f''(x)0,x为自变量x在点x0处的增量， y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分 ，若x0，则（ ） （A）0dyy （B）0ydy （C）ydy0 （D）dyy0,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,若,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,3.已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则 （A）-2f'(0) （B）-f'(0) （C）f'(0) （D）0,题型1.与导数或微分概念和性质相关的命题,题型2.求复合函数的导数或微分,1.设函数f(x)在x=2的某邻域内可导， 且 f'(x)=ef(x),f(2)=1, 则 f'''(2)=_.,题型2.求复合函数的导数或微分,2.设函数,题型3.求隐函数的导数或微分,2.,题型4.函数极值或最值的判定或求解,1.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且 g''(x)0 （C）f''(a)0,题型4.函数极值或最值的判定或求解,3.曲线 的拐点是（ ） （A）(1，0) （B）(2，0) （C）(3，0) （D）(4，0),12.方程的根的判定或证明,3.设 则 的零点个数为（ ） （A）0. （B）1. （C）2. （D）3.,题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解,1.若曲线 有拐点（-1，0），则b=_.,题型5.函数拐点或者凹凸性的判定或者求解,2.设函数y=y(x)由方程 确定，试判断曲线y=y(x)在点(1,1) 附近的凹凸性。,题型6.求一元函数的高阶导数,1.,题型6.求一元函数的高阶导数,2.,参数方程的导数,1.,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定,1.证明：,8.函数不等式或文字不等式的证明或判定,3.证明：当0ab时，,极值点和拐点的定义判断,若 连续， A.x=0是极小值点。 B.x=0是极大值点。 C.（0,f(0)）是拐点 D.不能确定,极值点和拐点的定义判断,设f(0)=0,且 A.驻点非极值点 B.驻点且极小值点 C.驻点且极大值点 D.不可导,不等式的证明,试比较,根的个数证明,证明方程:,根的个数证明,确定a的值，使,画图的步骤,画f(x)图形大致步骤如下： （1）求出驻点 （2）求出单调区间 （3）求出极值 （4）求特殊点的值 关键步骤是（1）和（3）。 若是要更加精细的图形理论上还应该有渐近线的分析和描绘。,10.求曲线的渐进线,1. 曲线 渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,10.求曲线的渐进线,2. 曲线 渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,11.函数图形的相关命题,12.方程的根的判定或证明,1. 证明 恰有2实根,9.求一元函数在一点的切线方程或法线方程,1.在 坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0)，其上任意点P(x,y)(x0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a0）,求L的方程,罗尔定理,1.设f(x)在0,1三阶可导，且f(0)=f(1)=0. 设F(x)=x2f(x), 求证：在(0,1)内存在c，使得F'''(c)=0.,罗尔定理,罗尔定理的逆向使用过程中，需要找到原函数，下面对一些常见的原函数进行归类。,罗尔定理,1.求原函数时常用公式,罗尔定理,2.求原函数时常用公式,罗尔定理,如果原函数求不出来，前面的方法就不适用了，这种情形下，有时把证明f(x)在（a,b）存在零点转为证明(x)f(x)在(a,b)存在零点，其中(x)在(a,b)内恒正，进一步转化为证明(x)f(x)的原函数F(x)（F'(x)=(x)f(x)）的导数F'(x)在(a,b)存在零点（因为f(x)的原函数求不出来，但(x)f(x)的原函数可能求得出来）。,罗尔定理,例如：证明f'(x)+P(x)f(x)-Q(x)在(a,b)存在零点,等价于证明(x)f'(x)+P(x)f(x)-Q(x)在(a,b)存在零点，其中(x)为(a,b)内任意恒正的函数,受求解一阶线性方程积分因子法的启发,取 时，有,罗尔定理,这就转化证明辅助函数 的导函数在(a,b)存在零点。,罗尔定理,【例1】f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，f(a)=b,f(b)=a.求证：存在 使 【例2】f(x)在1,2上连续，在(1,2)上可导，f(1)=1/2,f(2)=2.求证：存在属于(1,2)使,罗尔定理,【例3】f(x)在a,b连续，(a,b)上可导，f(a)=f(b)=0.求证存在属于(a,b),使f '()=f() 分析：以上三题要证的结论分别是 （1）f '()+f()=0 （2）f '()-2f()=0 （3）f '()-f()=0,第三章 一元函数积分学,题型1.求不定积分或原函数 题型2.已知函数图形判断原函数图形 题型3.定积分的计算 题型4.定积分的比较 题型5.定积分的等式或不等式的判定或证明 题型6.求平面图形的面积 题型7.求旋转体的体积,第三章 一元函数积分学,题型8.函数与其原函数的性质的判定或证明 题型9.求含有定积分或变上限积分的方程 题型10.反常积分的计算或收敛性的判定 题型11.定积分的应用,题型1.求不定积分或原函数,1.求,题型1.求不定积分或原函数,2.计算不定积分,题型1.求不定积分或原函数,3.求,题型1.求不定积分或原函数,4.已知 且 f(x)=_.,题型1.求不定积分或原函数,5.若,题型1.求不定积分或原函数,6.若 是f(x)的一个原函数，求 7.设,题型1.求不定积分或原函数,8.若 9.求,题型1.求不定积分或原函数,10.,一元函数积分学,1.求,题型15.求n项和的数列的极限,1.,一元函数积分学,2.求,题型3.求隐函数的导数或微分,1.设可导函数y=y(x)由方程,题型4.函数极值或最值的判定或求解,2.求函数 的单调区间与极值。,5.求,一元函数积分学,5.分析： 利用常用的结论,一元函数积分学,6.求,一元函数积分学,5.解：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,5.请熟悉以下结论：,一元函数积分学,7.求,一元函数积分学,8.,一元函数积分学,9.求 求f(x)表达式,一元函数积分学,10.设f(x)连续，且,一元函数积分学,1.设函数y=f(x)在区间-1,3上的图形为,题型2.已知函数图形判断原函数图形,题型2.已知函数图形判断原函数图形,1.,题型3.定积分的计算,1.设,题型3.定积分的计算,2.设 则,题型3.定积分的计算,3.,定积分的计算,1. 分析：被积函数y= 是以（a+b/2,0）为圆心，R=b-a/2为半径的上半圆周。,题型3.定积分的计算,4.,题型3.定积分的计算,设f(x)是以3为周期的连续奇函数，已知,题型4.定积分的比较,1.设 则I,J,K的大小关系是（ ） （A）IJK （B）IKJ （C）JIK （D）KJI,题型4.定积分的比较,2.,题型5.定积分的等式或不等式的判定或证明,1.使不等式 成立的x的范围是 （ ）,3.,一元函数积分学,4.,一元函数积分学,题型9.求含有定积分或变上限积分的方程,1.设f(x)是区间0, 上单调、可导的函数， 且满足 其中f-1是f的反函数，求f(x).,题型10.反常积分的计算或收敛性的判定,1.,题型6.求平面图形的面积,1.,题型9.求含有定积分或变上限积分的方程,2.设函数f(x)连续，且f(0)0,求极限,题型6.求平面图形的面积,3.设曲线的极坐标方程为 则该曲线上相应于从0变到2的 一段弧与极轴所围成的图形的面积 为_.,题型7.求旋转体的体积,1.设位于曲线 x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转 一周所得空间区域的体积是_.,题型7.求旋转体的体积,2.过点（0,1）作曲线L：y=lnx的切线，切 点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与 直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴 旋转一周所得旋转体的体积。,题型7.求旋转体的体积,3.设非负函数y=y(x) (x0) 满足微分方程 xy''-y'+2=0，当曲线y=y(x)过原点时， 其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面 积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.,题型10.反常积分的计算或收敛性的判定,2.广义积分,题型8. 函数性质（单调性，奇偶性等）,设 （1）证明f(x)是以为周期的周期函数 （2）求f(x)的值域,题型11.定积分的应用,1.曲线 的弧长为_。,题型11.定积分的应用,2.过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线 与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。 （1）求D的面积A。 （2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体 的体积V。,题型11.定积分的应用,设D是由曲线 ，直线 及轴x所围成的平面图形，VX,VY分别D是绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若VY=10VX，求a的值。,题型9.求含有定积分或变上限积分的方程,若,第四章 微分方程,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题 题型2.求一阶其次或可化为其次微分方程的通解或特解 题型3.求一阶线性微分方程的通解或特解 题型4.求二阶齐次线性微分方程的通解或特解 题型5.通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,1.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)x的两个特解，若常数， 使y1+y2是该方程的解，y1-y2是该方 程对应的齐次方程的解，则（ ）,2.设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x) 有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该 方程的通解是（ ） （A）Cy1(x)-y2(x) （B）y1(x)+Cy1(x)-y2(x) （C）Cy1(x)+y2(x)（D）y1(x)+Cy1(x)+y2(x),题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,3. 满足的一个微分方程是（ ） （A）y''-y'-2y=3xex （B）y“-y'-2y=3ex （C）y''+y'-2y=3xex （D）y''+y'-2y=3ex,题型1.与线性微分方程的性质和结构相关的命题,4.在下列微分方程中， 以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1,C2,C3为任意常数)为通解的是（ ） （A）y'''+y''-4y'-4y=0 （B）y'''+y''+4y'+4y=0 （C）y'''-y''-4y'+4y=0 （D）y'''-y''+4y'-4y=0,题型2.求一阶其次或可化为其次微分方程的通解或特解,1.微分方程 满足 的特解为y=_.,题型3.求一阶线性微分方程的 通解或特解,1.设级数 的和函数为S(x).求： （1）S(x)所满足的一阶微分方程； （2）S(x)的表达式。,题型3.求一阶线性微分方程的 通解或特解,2.设函数f(u)在（0，+）内有二阶导数， 且 满足等式 （1）验证 （2）若f(1)=0,f'(1)=1,求函数f(u)的表达式.,题型4.求二阶齐次线性微分方程的 通解或特解,1.已知函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)-2f(x)=0及 f'(x)+f(x)=2ex (1)求表达式f(x) (2)求曲线的拐点,题型4.求二阶齐次线性微分方程的通解或特解,2.若二阶常系数线性齐次微分方程 y''+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则 非齐次方程y''+ay'+by=x满足条件 y(0)=2,y'(0)=0的解为y=_.,题型5.通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程,1.设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数，且 f(x)0.已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周 所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t倍，求改曲线的方程。,例题【1】设y=ex(c1sinx+c2cosx) 为某二阶线性常系数齐次方程的通解,求该微分方程。 分析：考查线性方程的性质.,解法(1)： 由题设知y1=exsinx,y2=excosx是该方程的两个线性无关的解。它们所对应的特征根为1=1+i, 2=1-i.特征方程为 (-(1+i)(-(1-i)=2-2+2=0 故所求的方程为y''-2y'+2y=0.,解法(2)： y'1=(exsinx)'=ex(sinx+cosx),y''1=2excosx y'2=(excosx)'=ex(sinx-cosx),y''2=-2exsinx 分别代入y''+a1y'+a2y=0得 故所求的方程为y''-2y'+2y=0.,例题【2】 设有三个不同的y1，y2，y3是某二阶线性非齐次方程的解， 求其通解。,分析：由线性非齐次方程任“两个 解的差”必是对应齐次方程 的解，这个结论很显然，直 接，重要！这就是线性方程 的性质。,第五章 多元函数微分学,题型1.多元函数在一点偏导数的存在判定 题型2.求多元复合函数的偏导，全导或 全微分 题型3.多元函数极值的判定或求解或应用 题型4.二元函数在一点可微的判定或求解,题型1.多元函数在一点偏导数的 存在判定,1.,题型2.求多元复合函数的偏导、 全导或全微分,1.设二元函数,题型2.求多元复合函数的偏导、 全导或全微分,2.函数f(u,v)由关系式 fxg(y),y=x+g(y)确定， 其中函数g(y)可微， 且g(y)0,则,题型2.求多元复合函数的偏导、 全导或全微分,3.函数z=f(x,y)满足,题型2.求多元复合函数的偏导， 全导或全微分,4.设函数f(u)可微，且f'(0)=1/2,则 z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分,题型2.求多元复合函数的偏导， 全导或全微分,5.设f(u,v)是二元可微函数，,题型2.求多元复合函数的偏导， 全导或全微分,6.设z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=(x+y+z)所 确定的函数，其中具有二阶导数，且 '-1时. (1)求dz (2),题型3.多元函数极值的判定或求解 或应用,1.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y1(x,y)0 已知（x0,y0）是f(x,y)在约束条件(x,y)=0下 的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若f'x(x0,y0)=0,则f'y(x0,y0)=0 （B）若f'x(x0,y0)=0,则f'y(x0,y0)0 （C）若f'x(x0,y0)0,则f'y(x0,y0)=0 （D）若f'x(x0,y0)0,则f'y(x0,y0)0,题型3.多元函数极值的判定 或求解或应用,3.设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy, 则点（0,0）（ ） （A）不是f(x,y)的连续点 （B）不是f(x,y)的极值点 （C）是的f(x,y)极大值点 （D）是的f(x,y)极小值点,题型3.多元函数极值的判定 或求解或应用,3.已知函数f(x,y)在点（0,0）的某个邻域内 连续，且 （A）点（0,0）不是f(x,y)的极值点 （B）点（0,0）是f(x,y)的极大值点 （C）点（0,0）是f(x,y)的极小值点 （D）根据所给条件无法判断点（0,0） 是否为f(x,y)的极值点,题型4.二元函数在一点可微的判定 或求解,1.,题型4.二元函数在一点可微的判定 或求解,2.,题型4.二元函数在一点可微的判定 或求解,第六章 多元函数积分学,题型1.二重积分的计算 题型2.二重积分交换积分次序 题型3.二重积分的比较,题型1.二重积分的计算,1.,题型1.二重积分的计算,2.f(x)在0,1有连续的导数，f(0)=1,且,题型1.二重积分的计算,3.,题型1.二重积分的计算,1.,题型2.二重积分交换积分次序,1.,题型2.二重积分交换积分次序,2.,题型3.二重积分的比较,1.,题型3.二重积分的比较,2.设区域 f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常 数， 则,题型3.二重积分的比较,3.如图，正方形 被其对角线划分 为四个区域 （A）I1（B）I2（C）I3（D）I4,题型3.二重积分的比较,4.设函数f连续，若 其中Du,v为图中 阴影部分，则,(A)vf(u2) (B)v/u·f(u2) (C)vf(u) (D)v/u·f(u),题型3.二重积分的比较,第七章 无穷级数,题型1.无穷级数敛散性的判定 题型2.无穷级数的和 题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,题型1.无穷级数敛散性的判定,1.,题型1.无穷级数敛散性的判定,2.,题型1.无穷级数敛散性的判定,3.,题型1.无穷级数敛散性的判定,4.,题型2.无穷级数的和,1.,题型2.无穷级数的和,2.,题型2.无穷级数的和,3.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,1.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,2.,题型3.求函数的幂级数展开，求幂级数的收敛域或收敛半径或函数,3.,第八章 经济学的相关应用,题型1.弹性的相关知识考查 题型2.边际函数与最优解的相关知识考查,微积分在经济学中的应用,定义：设函数y=f(x)在x可导，则称导数f '(x)为f(x)的边际函数。f '(x)在x0处的值f '(x0)为边际函数值。,例1.,微积分在经济学中的应用,例2,微积分在经济学中的应用,微积分在经济学中的应用,我们在边际分析中，讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对误差范围内的讨论，在经济问题中，仅仅用绝对误差的概念不能对问题进行深入分析，例如：甲商品每单位价格10元，涨价1元，乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？,微积分在经济学中的应用,我们只要用他们与原价格相比就能获得问题的解答，甲商品涨价10%,乙商品涨价为0.5%，显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大，因此，有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。,微积分在经济学中的应用,例3. 设函数为y=x2 ,当x从4增加到5时，相应的y从16增加到25，即自变量x的绝对增加量x=1，函数y的绝对增量y=9,又,微积分在经济学中的应用,即当x=4增加到x=5时,x增加了25%,y相应的增加了56.25%，我们分别称x/x与y/y为自变量与函数的相对改变量（或相对增量）。如果在本例中，在引入下式,微积分在经济学中的应用,定义：设函数y=f(x)在x处可导，函数的相对改变量 与自变量的相对改变量 称为 函数f(x)从x到x+x 两点间的弹性， 当 x0时， 的极限称为f(x)在x处的 弹性，记作yx,即,微积分在经济学中的应用,即 由于yx也为x的函数，故也称它为f(x)的弹性函数。,微积分在经济学中的应用,需求价格弹性和总收益 由于需求函数一般为价格的递减函数，它的边际函数小于零，故其价格弹性取负值，因此，在经济学中规定需求价格弹性为：,微积分在经济学中的应用,这样，需求价格弹性便取正值，即使如此，我们在对需求价格弹性作经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的，如果某商品为适应市场需求欲适当降低价格时，会不会降低其收益呢？虽然价格会使单位商品减少收益，但降价会使销售量增加，反而可能使总收益增加。,微积分在经济学中的应用,根据需求价格弹性的定义应有如下结论： 结论 若需求量的相对增加大于价格的相对减少，则总收益要增加。 经济学中有如下定义： 若商品的需求价格弹性DP1，则该商品的需求量对价格富有弹性，即价格变化将引起需求量的较大变化；若DP=1，则商品具有单位弹性，即价格上升的百分数与,微积分在经济学中的应用,需求下降的百分数相同；若DP1，则该商品的需求量对于价格缺乏弹性，即价格变化只能引起需求量的微小变化。,微积分在经济学中的应用,下面进一步分析这三类商品的经济意义： 1.富有弹性的商品，此时商品的需求价格弹 性大于1，若将其价格提高10%，则需求 量下降超过10%,因此总收益减少；反之， 若将其价格下降10%，因此总收益增加， 即对富有弹性的商品，减价会使总收益增 加，提价反而使总收益减少。,微积分在经济学中的应用,2.单位弹性商品。此时商品的需求价格弹性 等于1，若将其价格提高10%，则需求量 下降10%，总收益不变。这就是不变弹性 曲线问题。,微积分在经济学中的应用,3.缺乏弹性商品。此时商品的需求价格弹性 小于1，若将其价格提高10%,则需求量减 少低于10%，因此总收益增加；反之，若 将其下降10%，则需求量增加低于10%， 因此总收益减少。即对缺乏弹性的商品， 提价会使总收益增加，降价反而使总收益 减少。,例4.某商品需求函数为D=20-P/4 求： （1）需求价格弹性函数； （2）当P=5时的需求价格弹性； （3）当P=5，若价格上涨1%，其 总收益是增加还是减少？它 将变化百分之几？,微积分在经济学中的应用,第八章 经济学的相关应用,题型1.弹性的相关知识考查 题型2.边际函数与最优解的相关知识考查,第八章 经济学的相关应用,1.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入 的固定成本为10000（万元），设该企业生 产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y （件），且固定两种产品的边际成本分别为 20+x/2（万元/件）与6+y（万元/件）. （1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元) （2）当总产量为50件时，甲乙两种的产品各为多少时 可以使总成本最小？求最小的成本。 （3）求产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本， 并解释其经济意义。,第八章 经济学的相关应用,2.设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为 1+p3，其中p为价格且R(1)=1，则 R(p)=_.,第八章 经济学的相关应用,3.设某产品的需求函数为Q=Q(P),其对应价 格P的弹性P=0.2，则当需求量为10000 件时，价格增加1元会使产品收益增加 _元。,第八章 经济学的相关应用,4.设某商品的需求函数为Q=160-2，其中 Q、分别表示需要量和价格，如果该商 品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价 格是（ ） （A）10 （B）20 （C）30 （D）40,第八章 经济学的相关应用,5.设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P(0,20),Q为需求量。 （1）求需求量对价格的弹性Ed(Ed0). （2） 并用弹性Ed说明价格在何范围内变化 时，降低价格反而使收益增加。,第九章 向量与曲线积分、曲面积分,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题 题型2.三重积分 题型3.第一类曲线积分 题型4.第二类曲线积分 题型5.格林公式 题型6.求曲面的表面积 题型7.第一类曲面积分,第九章 向量与曲线积分、曲面积分,题型8.第二类曲线积分 题型9.高斯公式 题型10.斯托克顿公式,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题,1.椭球面S1是椭圆 绕x轴旋转而 成，圆锥面S2是过点(4,0)且与椭圆 相切的直线绕x轴旋转而成。 （1）求S1及S2的方程 （2）求S1与S2之间的立体体积,题型1.空间曲线的旋转方程以及与向量有关的知识点考题,2.点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0 的距离z=_.,题型2.三重积分,1.,题型3.第一类曲线积分,1.已知曲线,题型4.第二类曲线积分,1.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中 的部分，则曲线积分,题型4.第二类曲线积分,1.计算曲线积分 其中L是曲线y=sinx上从点（0,0）到 点（,0）的一段。,题型5.格林公式,1.已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 x2+y2=2x到点（2,0），再沿圆周 x2+y2=4到点（0,2）的曲线段， 计算曲线积分,题型7.第一类曲面积分,1.,题型7.第一类曲面积分,2.设曲面 则,题型9.高斯公式,1.计算曲面积分 其中是曲面z=1-x2-y2(z0)的上侧,题型9.高斯公式,2.设是由锥面 与半球面 围成的空间区域， 是的整个边界的外侧，则,题型9.高斯公式,3.设曲面是 的上侧 则,向量知识点汇总,旋转 平面上曲线绕某个轴旋转。 空间曲线(直线)绕某个轴旋转。,向量知识汇总,角度 平面和平面的夹角。 平面和直线的夹角。 直线和直线的夹角。,向量知识汇总,距离 点到面的距离。 点到线的距离。 点到点的距离。,向量知识汇总,投影 点到面的投影 线到面的投影 空间曲面交线的投影,向量知识汇总,方程 直线方程 平面方程,第二类曲面积分的对称,若图像关于XOY平面对称就看Z，若Z为奇函数，则为两倍，若Z为偶函数，则为0. 若图像关于XOZ平面对称就看Y，若Y为奇函数，则为两倍，若Y为偶函数，则为0. 若图像关于YOZ平面对称就看X，若X为奇函数，则为两倍，若X为偶函数，则为0.,三重积分的对称性,看图形与平面对称 若图像关于XOY平面对称就看Z，若Z为奇函数，则为0，若Z为偶函数，则为两倍。 若图像管钰YOZ平面对称就看X，若X为奇函数，则为0，若X为偶函数，则为两倍。 若图像关于XOZ平面对称就看Y，若Y为奇函数，则为0，若Y为偶函数，则为两倍。,三重积分的对称性,