7第七章伯努利方程式及其应用.ppt

流 体 力 学,顾伯勤 主编,研 究 生 教 材,退 出,中国科学文化出版社,第二篇 流体动力学基本原理及流体工程,流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础,第五章,第六章,第七章,第八章,第九章,退 出,返 回,第十章,第十一章,第十二章,第七章 伯努利方程式及其应用,伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式 伯努利方程式的应用,第一节,第二节,第三节,第四节,第五节,退 出,返 回,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第1页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛罗米柯方程式。 令U为质量力函数，P为压力函数，使得,，,，,，,，,而且,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第2页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,同理可得,将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第3页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,将各项归并，并用行列式表示,（7.1）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第4页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难，求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微分方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些情况。 一、理想流体沿流线的流动 将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知,，,，,代入式（5.8）第1式，可得到,等式两边均乘以,得到,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第5页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,经整理可得到下式,即,同样可得到y，z轴方向的关系式,将三式相加,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第6页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,因为,，所以,于是,（7.2）,式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力和密度的关系及其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此求出速度场。 二、无旋运动流场 对于无旋流场，有如下特性,，,，,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第7页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到,同样由式（5.8）的第2，3式可得,将上面三式相加，得到,等式两侧均加,，且,，则有,（7.3）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第8页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,此式与式（7.2）相同，即任何流场的流线上各点的运动方程式和无旋运动流场中任意点的运动方程式是相同的，都是可以积分的常微分方程式。 实际工程问题中经常遇到的质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z= g。此时，式（7.2）或式（7.3）成为,（7.4）,对于稳定流动,，则上式成为,式（7.5）为稳定流动、质量力只有重力时，沿流线或无旋流场的欧拉方程式。 如果流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）可以写成积分形式,（7.5）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第9页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,或,式（7.6）是对于只有重力场作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线或无旋流场的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程式。此式说明在上述限定条件下，任何点的压力能、位能、动能之和为常量。 利用葛罗米柯方程式（7.1），可以导得伯努利方程式更广义的限定条件。 对于稳定流动，式（7.1）变成,（7.6）,将上式分别乘以dx，dy，dz，相加得到,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第10页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,即,若上式等号右侧为零，则,即,对重力场作用下的不可压缩流体,，,于是,这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件：,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第11页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况,，,，,，即静止状态,（1）,（2）,，,，,，即无旋运动,，即沿流线,，即沿涡线,，即螺旋运动,（5）,（4）,（3）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第12页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。 伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量统称为机械能。 伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的能量。 如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式的形式为,式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。,为压力水头，z为静水头，,为速度水头。,（7.6a）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第13页,第一节 伯努利方程式及其限定条件,如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式如下式,式中各项单位为压力。p称为静压，gz称为位压，,称为动压。,（7.6b）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第1页,第二节 实际流体的伯努利方程式,在稳定流动、重力场作用的情况下，不可压缩理想流体沿流线的伯努利方程式可以写成,对于实际流体，由于有粘性力，便有流动阻力，为了克服这种流动阻力，需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中，位能一项只决定于截面1，2的位置z1和z2，是不会改变的。动能一项受连续性条件的约束，只要流通截面A1，A2不变，也是不会改变的。唯一可能改变的是压力能，所以,，因而使,或者写成,（7.7）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第2页,式中,代表流体由截面1流至截面2所受的阻力损失，也就是实际流体流动时损失的机械能。这部分损失的机械能，转变为热能，增加了流体的内能。,的计算在第九章中讨论。,第二节 实际流体的伯努利方程式,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第1页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,一、缓变流,在讨论实际流体总流的伯努利方程式之前，需要提出缓变流的概念。缓变流也称渐变流，是指流道中流线之间的夹角很小，流线趋于平行（图7.1），且流线的曲率很小（即曲率半径很大），流线都近似于直线的流动。反之则称为急变流。例如在弯头和渐缩、渐扩接管中的流动就属于急变流。前者流线的曲率很大，后者流线间的夹角很大。截面不变的直管中的流动都可看成是缓变流。 缓变流具有如下特性：,（1）由于缓变流流线的曲率很小，流体的向心加速度,引起的惯性力即离心力也就很小。所以对于缓变流流场，仍可认为质量力,便很小，由此,仅为重力，即,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第2页,，,，,或者,，,（2）对于稳定的缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则,，,，,。由连续性方程式可知,，即,，由于是稳定,，,，,。将此结果代入纳维斯托克斯方程式,流动，,可得,(7.8),第三节 实际流体的总流伯努利方程式,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第3页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,在后二式中质量力,，,，若将后两式分别乘以dy，dz，,然后相加得到下式,若x取某一定值时，则上式可以写成,积分后得到,此式说明：对缓变流，在流道的某一流通截面上，任何点的 都相等，为一常数。这和流体静力学中得到的结果相同，表明在缓变流中，与流动方向垂直的截面上的压力分布规律与静止流体的压力分布规律是一致的。,（3）在讨论实际流体时，由式（5.11）可知，由于有剪切变形和存在切应力，因而流场中不同方向上有不同的法向应力。但对于不可压缩流体的缓变流，,，,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第4页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,且,、,、,，故,，,，,p相当于流体静力学中的静压力，它与方向无关，所以对于缓变流，任何点各个方向的压力都相同。,有了缓变流的概念及其特性，下面就可以讨论总流的伯努利方程式。,二、总流伯努利方程式 通过一个流道的流体的总流是由许多流束组成的，每个流束的流动参量都有差异。但对于总流，可用平均参量来描述其流动特性。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第5页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,由实际流体沿流线（流束）的伯努利方程式（7.6），可以在流道的缓变流区写出整个流道总流的伯努利方程式（图7.2）。因为是在缓变流区，所以质量力只有重力且流道中任意点的静压力各个方向均相等。总流的伯努利方程式如下,式中，,和,分别为单位时间流过流通截面A1和A2上任一流束,为流束中流体的体积流量。根据连续性方程可知：,。（a）式等号左侧可写成,（a）,的流体质量，,对于缓变流，截面1上,为常数，所以,（b）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第6页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,引进平均速度,及动能修正系数，则单位时间内流道流通截面A上通过,所以（a）式等号左侧等于,（c）,的流体动能为,同样可得（a）式等号右侧第一项为,（d）,为单位重量流体流过截面1与2间流道的平均能量损失，式（7.9）是描述实际流体流经流道的伯努利方程式，1、2叫做计算流通截面。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第7页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,将式（c）、（d）代入（a）式得（为书写方便，以后用w表示平均流速，省略平均符号）,对于不可压缩流体，,，所以,令,，则,式中,（7.9）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第8页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,使用式（7.9）时的限制条件为：不可压缩、实际流体、稳定流动、缓变流。这就要求在缓变流部分选取计算流通截面。例如图7.3中，只能选取截面1、3、5、6、8、10作为计算流通截面，而截面2、4、7、9不能用作计算流通截面。,利用式（7.9），可以在获得,和,以及流量的测量数据后，推算流道的,阻力损失。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第9页,第三节 实际流体的总流伯努利方程式,也可以用经验计算方法算出流道阻力损失后，确定流道中的某些流动 参量, 如 、 、 、 、 等。,式（7.9）中的能量系数 、 与流道中流速的均匀程度有关。流道中的流速越均匀， 值越趋近于1，一般工程管道中流速都比较均匀， ，所以在工程计算中，可以近似认为 。 流道的伯努利方程式是很重要的公式，它配合连续性方程式和动量方程式，可以解决许多工程实际问题。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第1页,第四节 相对运动的伯努利方程式,在透平机械中，例如水轮机、水泵、离心式风机中，需要研究流体流过叶轮叶道的运动规律以及流体与叶轮的相互作用。由于叶轮在转动，如果采用绝对静止的参考坐标系来研究，则流动当然是不稳定的。但是如果把坐标系的中心取在叶轮的轴心上，并和叶轮一起转动，则当转速不变时，相对于转动坐标而言，可以认为流动是稳定的。 图7.4（a）是离心式风机或离心泵叶轮的一部分，叶轮以恒定角速度旋转。从动坐标系来看，流体是沿着叶片以w的速度流入和流出叶轮的。现在叶道中沿流线（相对运动的流线）ll 取一微元柱体来分析其 l 方向的受力情况。设微元柱体长为dl，垂直于dl的截面积为dA（图7.4（b）。作用于微元柱体l方向上的力有：（1）惯性力，其值为 ；（2）l方向柱体两面的压力差，其值为 ；,（3）由于叶轮的转动而产生的离心力在 l 方向的分量，其值为,在旋转的叶轮运动中重力一般可忽略不计，所以作用于微元柱体 l 方向上 的力的平衡方程式为,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第2页,第四节 相对运动的伯努利方程式,单位质量的离心力,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第3页,第四节 相对运动的伯努利方程式,式中 ，将此值代入上式，两边各除以 ，则得,将上式沿流线l积分，则得,因,，所以,对同一流线上的任意两点，则上式可写成,（7.10a）,（7.10）,式（7.10）或（7.10a）称为相对运动伯努利方程式，是透平机械的一个基础方程式。应当指出，作用在微元柱体上的力尚有垂直于l方向的力，它包括哥氏力和离心力在此方向的分量以及该方向的压差。由于这些力在l方向的投影均为零，所以对l方向来说，可不予考虑。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第1页,第五节 伯努利方程式的应用,一、毕托管,在管道里沿流线装设迎着流动方向开口的细管（图7.5（a），可以用来测量管道中流体的总压，这种装置称为总压管，亦称毕托管，毕托管后部与U形管相连。U形管中装有密度较大的液体（如水银、水等）。毕托管的测量原理可根据伯努利方程式来说明。因为迎着流体的毕托管端对流动的流体有滞止作用，此处流体的流速等于零。流体滞止后，再向毕托管四周绕流。毕托管内的流体是静止的。列出管道来流截面11和毕托管端处的伯努利方程式，由于流线水平、标高相同，流体不可压缩，则有,由上式可以看出，总压管口上感受的压力,总压。再通过总压管口与3点之间的静压平衡关系可知,，即是来流的,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第2页,第五节 伯努利方程式的应用,式中，,为重液密度，于是,h，,均为已知，,值为U形管液位差，于是可求出管道中流体的,数值，称为总压头。,如果在22截面处管道四周取静压测孔，,。,则可以测得该处的静压头,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第3页,第五节 伯努利方程式的应用,由于11，22之间距离较近，可以忽略其间管道阻力，因此 ，这样22截面处总压管感受的总压头为 ，其与静压头之差为 ，即来流的动压头，由此可以求得管道中的流速 。,一种本身带有静压测点的毕托管称为动压管，如图7.5（b）所示。1点为总压测点，测得,。2点为静压测点，测得,。通过3，4接头，,接到同一个U形管上可以直接读出动压头,。对静压测孔2的位置有一定,要求，这是由于管端和管四周流体绕流出现的压力分布，只有在一定位置处，其压力才与该处管道的主流静压力相同，仅在该位置处方能测得真实的静压头。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第4页,第五节 伯努利方程式的应用,二、文丘里管,文丘里管是装在管路中用来测量流体流速或流量的常用仪器。它是一个渐缩又渐扩的接管（图7.6）。11截面为收缩前的流通截面，22为收缩后的最小流通截面，称为喉部截面。这两处的流动都属于缓变流。因为文丘里管很短，在列出11到22截面间的伯努利方程式时可忽略阻力损失，则,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第5页,第五节 伯努利方程式的应用,由连续性方程式,，有,，代入前式得到文丘里管,（7.11）,喉部流体流速为,用静力学关系分析U形测压管中的压力，取00为等压面，则,等式两侧除以,，移项后得到,代入（7.11）式，注意到,，则得到该处流过的流量为,（7.12）,为把液体吸入喷雾器中并以雾状喷出，通常采用图7.7所示的原理。活塞处压力高于喷管出口压力，气流以一定的速度喷入大气，为使液体吸入喷管，喷管必须具有喉部，以使喉部截面上的压力 低于大气压力 。现考察喉部截面积 与出口截面积间应具有什么样的关系。,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第6页,第五节 伯努利方程式的应用,三、喷雾器原理,喉部截面ii与出口截面11之间,活塞截面22与出口截面11之间的伯努利方程式为,（b）,的连续性方程为,（a）,第七章 伯努利方程式及其应用,退 出,返 回,第7页,第五节 伯努利方程式的应用,活塞截面22与喉部截面ii之间的伯努利方程式为,由（a）、（b）、（c）三式得到,液体被吸到管中心的静压力关系为,（c）,（d）,将,代入（d）式得到,当,时，喷雾器将有液体喷出。这是从流体力学,角度，对喷雾器截面尺寸提出的要求。,课件说明,课件与南京工业大学顾伯勤教授主编的研究生教材流体力学配套使用。课件中包涵了大量的动画演示及公式推导演示，是利用多媒体教学的必备工具。 课件采用Microsoft PowerPoint制作，操作简便，结构简单，内容全面。 制作：顾伯勤、李海峰、周剑锋 流体密封与测控技术研究室,退 出,