8.3向量的乘法运算.ppt

第三节 向量的乘法运算,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、向量的混合积,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例1. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例2. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,方向角,解:,则,故,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,4. 向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,由此进一步得到:,解: 因为,所以,例5. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,解: （1）由a，b平行的充要条件，得,即,（2）由a，b垂直的充要条件，得,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2. 混合积的坐标表示,设,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮换对称性 :,(可用三阶行列式推出),例7. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例8. 证明四点,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四点共面 .,作业,