第2章牛顿运动定律.ppt

第2章 牛顿运动定律,Isaac Newton(1642-1727),目 录,§2.1 牛顿定律与惯性参考系,一、牛顿定律,物体保持静止或匀速直线运动不变，除非,1、第一定律（惯性定律）,“自由粒子”总保持静止或匀速直线运动状态。,更现代化的提法：,“惯性”的概念物体保持静止或匀速直线运,作用在它上面的“力”迫使它改变这种状态。,动不变的属性，称为惯性。,运动的“变化”与所加动力成正比，并发生,2、第二定律,（1）惯性的度量,（2）瞬时性,（3）矢量性,在力的方向上,平面自然坐标系,直角坐标系,3、第三定律,其中，力是指物体相互接触产生的，或通过,作用力等于反作用力,“超距作用”可以理解成力的传递过程不需要,相互作用的传递速度一般较大（例如引力和电,“超距作用”产生的。,时间，或力的传递速度为无限大。,磁力都以光速传递），而牛顿力学中物体运动,速度远低于光速，可忽略延迟效应，因此在牛,顿力学中，作用力等于和反作用力。,二、惯性参考系（惯性系）,总能找到特殊的物体群（参考系），在这个,相对一个惯性系作匀速直线运动的另一个参,牛顿第一、二定律只在惯性系中成立。,参考系中牛顿第一定律成立。这个参考系称,为惯性系。,参考系也是惯性系。,惯性参考系：不受外力作用的物体将保持,静止或作匀速直线运动。,1. 隔离法,将所研究的对象跟周围的物体隔开，原来物体,2. 受力分析,(1)重力 竖直向下，大小=mg,牛顿定理的解题方法,(2)弹力,a. 物体受弹力的数目：,间的相互作用，用力来代替，称隔离法。,这是力学中解题最基本的方法。,跟几个物体接触就有几个弹力。,木棒受二个弹力。,注意：若两物体虽有接触，但没有形变(即没有相,(3)摩擦力,物体跟物体接触时，阻碍相对运动或相对运动,最大静摩擦力和滑动摩擦力 f =N ：摩擦系数 N：正压力,静摩擦力方向的分析：将静摩擦力去掉，相对运动的趋势就表现出来了，跟这种相对运动趋势相反的方向即静摩擦力的方向。,互作用)时，接触处没有弹力。,趋势的力称摩擦力。,应用牛顿定律解题,两类问题：已知力求运动；已知运动求力。,解题思路：,1.确定物体；,2.分析运动状态（运动学条件，初始条件）；,3.分析受力；,4.列方程（选取坐标系），求解，讨论。,分析运动状态,分析受力,【例】质量为m的小球，线长为l ，求摆下 角时小球的速率和线的张力。,选择坐标系,列方程,（运动学条件）,（初始条件）,求解微分方程：,本节从牛顿力学出发给出动量和角动量的,能量、动量和角动量是最基本的物理量。,动量描述平动，角动量描述转动。,力的时间积累（冲量）引起动量的变化；,§2.2 动量 动量守恒,它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用,范围远远超出了牛顿力学。,力矩的时间积累引起角动量的变化。,定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在,牛顿力学中的应用。,“动量”的概念：,一、 动量 冲量,力的时间积累称为“冲量”（Impulse）：,恒力：,变力：,质点动量定理:,在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量,等于这段时间内质点动量的增量。,分量式,平均冲力,考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。,重力作用时间为,支持力的作用时间为,根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即,三、变质量物体的动力学问题,物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并,把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的,初始时刻,末时刻,后的共同速度如图所示：,动量分别为：,利用动量定理,略去二阶小量，两端除dt,值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明,变质量问题的处理方法:,(2) 写出系统动量增量表达式；,(3) 应用动量定理求解。,(1) 确定研究系统，分析系统受力；,物体质量减小，例如火箭之类喷射问题。,（2）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图，,t 时刻和t+dt时刻系统水平总动量分别为:,dt时间内系统水平总动量增量为:,由动量定理可得:,四、质点系的动量定理,1、质点系,由N个质点构成的系统,2、质点系的动量定理,：总动量,：合外力,应用质点系动量定理不必考虑内力。,质点系总动量的时间变化率等于所受合外力,内力可改变各质点的动量，,但合内力为零，对总动量无影响。,对第 i 个质点,证明：,对质点求和,（合内力为零）,五、动量守恒定律,3、外力内力时，动量近似守恒。例如碰撞,1、只适用于惯性系。,2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量,如果合外力为零，则质点系的总动量不随时,常矢量,间改变,守恒。,和爆炸。,4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如光,子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，,实验表明：只要系统不受外界影响,这些过程,的动量守恒。,火箭飞行原理,质点系选：(M+dM , dm),设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：,提高速度的途径：,1、提高气体喷射速度u；,2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭，,终速度为,火箭体对喷射的气体的推力：,喷射的气体对火箭体的推力：,六、质心,质点系的质心，是一个以质量为权重取平均,1、质心的位置,分量形式,的特殊点。,2、质心的速度,3、质心的动量,在任何参考系中，质心的动量都等于质点系,4、质心的加速度,的总动量。,一、功（work）,功：力和力所作用的质点的位移的标量积:,功依赖于参考系；,有正、负之分。,§2.3 功 动能 势能 机械能守恒定律,功是标量，,一对力：,：m2相对m1 的,分别作用在两个物体上的大小相等、,它们通常是作用力与反作用力。,元位移。,方向相反的力。,二、一对内力的功,(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2；,(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。,况下，,1.W对 与参考系选取无关。,说明：,2.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情,一对力的功必为零。,例如：,三、动能定理（kinetic energy theorem）,对质点，由牛顿第二定律，有:, 动能,质点的动能定理：,能的增量。,合外力所做的功等于质点动,对质点系,（各质点位移不一定相同）。,注意：,内力虽成对出现，,但内力功的和不一定,为零,由质点动能定理：,P57 例2.11,四、保守力（conservative force）,这样的力称为保守力。,如果功与相对移动的路径无关，而只决定于,相互作用物体的始末相对位置，,五、势能（potential energy）,利用保守力的功与路径无关的特点，可引入,1. 系统的势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,若规定系统在位形(0)的势能为零，则：,“势能” 的概念。,定义：,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，,说明：,零点的选择与参考系的选择相混淆。,2. 几种势能,1).万有引力势能,令,有,则 C = 0，,1.势能属于相互作用的系统；,2.势能不依赖于参考系的选择，,不要将势能,2).重力势能,令,3).弹性势能,令,有,有,六、功能原理 机械能守恒定律,1. 功能原理（work-energy theorem）,对质点系有：,引入系统的机械能,（积分形式）,（微分形式）,2. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）,在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。,即, 机械能守恒定律,显然，孤立的保守系统机械能守恒。,即,3. 普遍的能量守恒定律,如果考虑各种物理现象，计及各种能量， 则 一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律,机械运动范围内的体现。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,保守内力作功是系统势能与动能相互转化,的手段和度量。,4.守恒定律联合应用举例,例1,已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。,求：hmax = ?,解：,m + M + 地球：,W外= 0，W内非 = 0 ，,当 h= h max 时，M 与 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0，有：,故机械能守恒。,代入数据：,m + M：,水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒,mv =（m+M）V,(2),P65 例2.12，2.13,§2.4 质点的角动量（Angular Momentum）,一、角动量（动量矩） 力矩,角动量：,单位：kg·m2·s-1,说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点,方向：右手螺旋法则,而言的。,牛顿定律 角动量定理：,二、质点的角动量定理（力矩与角动量的关系）,质点的角动量定理：质点所受的合外力矩，等于,质点角动量对时间的变化率。,和 都是相对惯性系中同一定点定义的。,因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。,分量式：,冲量矩，力矩的时间积累。,积分形式：,【例】证明开普勒第二定律：行星相对太阳的,和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自,若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩,三、角动量守恒定理,为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不,变，即角动量的大小和方向都保持不变。,然界的一条最基本的定律。,矢径在相等的时间内扫过相等的面积。,L为常量,常数,行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相,在近日点转得快，在远日点转得慢。,向心力,等的面积。,例: 如图所示,一绳拉小球在桌面上作圆周运动,初始角速度和初始位置分别为1,和r1 ;现用力拉绳使小球至r2处作圆周运动,求2 .,0,r1,1,r2,拉力,解:,绳给小球的拉力过0点,对0点力矩为零.,所以,小球对0点的角动量守恒.,方向,末：,方向,质点的角动量定理质点系的角动量定理：,四、质点系的角动量定理,质点系的角动量定理:一个质点系所受的合,外力矩，等于该质点系的总角动量对时间的,变化率。,内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但,合内力矩等于零，对总角动量无影响。,当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外,质点系的角动量守恒定律,力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将,不随时间改变。,即L=常矢量。,孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。,宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具有,盘状星云系,旋转盘状结构，成因是角动量守恒。,§2.5 刚体定轴转动,刚体：大小和形状不发生变化的物体。,一、刚体运动学,研究刚体的方法：,把刚体分割成由许多小块质元构成的集合。,刚体是一个质点组（质元间距离不随时间变化）,研究刚体的方法和研究质点组的方法完全相同。,先研究单个质点 后对所有质点求和,1、概念,2、刚体的运动形式,轴固定的转动称定轴转动。,刚体的一般运动=平动转动,3、刚体定轴转动的描述,例一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度 ；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。,解 ：因角加速度为恒量。,(1),(2) 利用公式,5秒内转过的圈数,方向沿轴oo 向上。,刚体作定轴转动时，刚体上各质点皆绕同一轴,L,1、刚体定轴转动的角动量,转动惯量,oo 作圆周运动，所有质点的角动量方向都相同，,因此，整个刚体的总角动量,二、转动定理 转动惯量,转动惯量是物体转动惯性的量度，它与下面,物体的形状，大小；,例,2、转动惯量,三个因素有关：,物体质量分布；,转轴的位置。,演示：转动惯量,P77例2.15,64,刚体对任一轴的转动,3、平行轴定理,惯量I，等于对过质心c并与,该轴平行的轴的转动惯量Ic,加md2。,65,(2) 转轴过顶端,与棒垂直,x,取dx：,dx,x,0,例：细棒质量m,均匀分布,长l质量连续分布：,(1) 转轴过中心,与棒垂直.,x,0,dx,x,取dx：,转轴过中心,与棒垂直； 转轴过顶端,与棒垂直； (3)转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直。,66,转动惯量与转轴的位置有关,(3)转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直。,dI = r2dm,例 求质量为m，半径为R的圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量，设质量在盘上均匀分布。,解: 将圆盘分成无穷多个大大小小的窄圆环，取其中一个半径为 r，宽度为 dr 的圆环，该圆环对中心轴的转动惯量,整个圆盘对中心轴的转动惯量,常用的转动惯量,薄球壳：,球体：,细杆：,圆柱体：,三、刚体的动能和势能,1、刚体的转动定理,刚体的定轴转动定理：,的合外力矩等于刚体对同一转轴的转动惯量与刚体,所获得的角加速度的乘积。,M:合外力矩，外力力矩的总和，,不是合外力的力矩！,注意：,刚体所受的对某一固定转轴,2、力矩的功,在外力F的作用下，刚体绕定,轴转过一微小角度d，力的功,为：,刚体定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动,3、刚体的转动动能,4、刚体定轴转动的动能定理,动能的增量等于合外力矩所作的功。,整个刚体：,质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位,5、刚体的势能,置为它的几何中心。,例 一匀均细杆长l，质量m，垂直放置，o点着地。杆绕o点自由倒下，求杆的另一端点a着地时的角速度、线速度v、法向加速度an及切向加速度 a 。,系统机械能守恒：,平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量,6、机械能守恒定律,若A外+A非保=0(或只有保守力做功),解 杆在倒下过程中机械能守恒,杆着地时刻，根据转动定律 M=I,四、刚体的角动量,等于刚体在这段时间内的角动量的增量。,1、角动量定理,2、角动量守恒定律,若刚体所受的合外力矩 M外0，,刚体的角动量守恒定律。,L = I = 恒矢量,刚体的角动量定理：,刚体所受的合外力矩的冲量矩,演示：直升飞机,例 半径为R、质量为m1的匀质圆盘边缘固连一质点m2， 质点处在水平线时静止释放,系统通过盘心垂直盘面 的水平轴转动。求圆盘下摆的=30°时，质点m2 的 角速度、切向、法向加速度的大小?,外力矩作功,系统转动动能增量,得:,解:,又:,则:,24,(2)机械能守恒,解: (1)角动量守恒,例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？,解：,dA=Fcos dy,=(m0.2y) gdy,例题欣赏,81,2 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2求证： （1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2满足关系关系式,（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2,82,解答当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数 两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为 F1 = k1x1，F2 = k2x2 （1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2， 因此,即, （2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2， 因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2,83,证明设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为,3. 证明行星在轨道上运动的总能量为,式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离,（1）, （2）,它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程 mv1r1 = mv2r2， 即 v1r1 = v2r2 (3),84,将（1）式各项同乘以r12得 Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4) 将（2）式各项同乘以r22得 Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5) 将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得 E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6) 由于r1不等于r2，所以（r2 + r1)E = -GMm， 故,85,4. 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示试证明：（1）薄板对OX轴的转动惯量为,； （2）薄板对OZ轴的转动惯量为,证明 薄板的面积为S = ab，质量面密度为 = M/S （1）方法一：横取直杆在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为dS = ady， 其质量为dm =dS，绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = ay2dy， 积分得薄板对OX轴的转动惯量为,86,方法二：纵取直杆在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其质量为dm，绕X轴的转动惯量为,对质量积分得薄板对OX轴的转动惯量为, 同理可得薄板对OY轴的转动惯量为,2）方法一：双重积分在板上取一面积元dS = dxdy，质量为 dm = dS，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm 由于r2 = x2 + y2，所以dIOZ = (x2 + y2)dxdy， 因此板绕OZ轴的转动惯量为,87,方法二：垂直轴定理在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm，= (x2 + y2)dm= x2dm + y2dm= dIOY + dIOX， 因此板绕OZ轴的转动惯量为,可见：板绕OZ轴的转动惯量可以通过与其垂直的两个轴的转动惯量求出来这种方法称为垂直轴定理,方法三：平行轴定理在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为dS = bdx，质量为dm = dS，绕过质心的OZ轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIOZ = b2dm/12,根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为dIOZ = x2dm + dIOZ = bx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为,88,4. 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A轮的重量由B轮支持略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？,89,