工程力学教学课件静力学基础教学PPT.ppt

,简单,复杂,简化,简化 平衡,力系的,静力学-研究物体（刚体）在力的作用下处于平衡的规律,平衡 : 相对于惯性系保持静止或匀速直线运动状态,力: 一个力,一群力-力系,静力学 任 务,第一章 静力学基础,1-1.基本概念.,力和力系:力的三要素 力系的分类 平衡力系 等效力系 力系的简化（合成） 刚体： 平衡：,1、二力平衡原理 作用于刚体上的两个力平衡的必要充分条件是-等值、反向、共线。,§1-2. 静力学公理（补充）,重要名词: 二力杆(二力体，二力构件): 仅在两点受力而处于平衡的 物体或 构件. 用途: 已知两力的作用点,确定其作用线.,2. 加减平衡力系公理: 在作用于刚体的任何一个力系上,加上或减去一对平衡力系,则不改变原力系对刚体的作用效果.,推论: 力的可传性原理: 作用于刚体上的力,可以沿其作用线滑移, 而不改变对刚体的作用效果.,F1=F2=F,3. 力的平行四边形法则: 作用于同一点的两个力可以合成为一个合力,合力的大小和方向是由以这两个力为邻边的平行四边形的对角线所决定,其作用点不变 也即: 合力等于两分力的矢量和.,也可用三角形法则表示:,4 . 作用与反作用力定律: 任何两物体间的相互作用力总是成对出现,并且等值,反向,共线, 分别同时作用在两个物体上 即 Newton 第三定律.,5 .刚化原理: 若变形体在某一力系作用下处于平衡,则可将其视为刚 体,而应用刚体的平衡理论。,1-3 . 约束及约束力,常见约束类型及其反力:,反力 : 沿着绳索背离物体,2 . 光滑支承面 :,反力 : 沿着支承面的公法线指向物体,3 . 固定铰链支座：,反力 : 若被铰物体不是二力杆则正交分解,1 . 柔索 （绳子、皮带、链条等）:,若铰链的两部分都是活动的，则称为中间铰，两部分互为约束。拆开铰链时，一部分对另一部分的约束同固定铰链支座。,4 . 滚动支座 :,反力 :沿着支承面的公法线方向,1)向心颈轴承 :,3)球轴承 :,5 . 轴承 :,2)止推轴承 :,反力:垂直于轴向两正交分力,反力:正交三分力,反力:正交三分力,静力学,一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。 作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体 压力等。 二类是：被动力，即约束反力。,§1-4 受力图,将研究对象（物体或物体系统）从周围物体的约束中分离出来，画出作用在研究对象上全部力（主动力和约束力）的图，称为受力图或分离体图。,画受力图是对物体进行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。,二、受力图,静力学,画物体受力图主要步骤为：选研究对象；取分离体； 画上主动力；画出约束反力。,例1 画出圆球O和杆AB的受力图,静力学,例2 画出下列各构件的受力图,静力学,静力学,静力学,例3 画出下列各构件的受力图,说明：三力平衡必汇交当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特殊情况。,静力学,例4 尖点问题,应去掉约束,应去掉约束,静力学,例5 画出下列各构件的受力图,例6球G1、G2置于墙和板AB间，BC为绳索。画受力图。,注意FK与FK、 FE与FE间作用力与反作用力关系。 还要注意，部分受力图中反力必须与整体受力图一致。 未解除约束处的系统内力，不画出。,例 7 试画出图示梁AB及BC的受力图。,静力学,三、画受力图应注意的问题,静力学,除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。,2、不要多画力,要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。,1、不要漏画力,静力学,约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。,即受力图一定要画在分离体上。,静力学,一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。,对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。,第二章 平面汇交力系,O,§1.合成的几何法.平衡的几何条件,R,O,F1,F2,F3,Fn,R,O,F1,F2,F3,Fn,合力 R=Fi,合力 R 为力多边形的封闭边,汇交力系平衡的几何条件: 力多边形自行封闭,例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。,Q,600,300,解：取力系的汇交点A为研究对象 作受力图,按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向,根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行封闭,故可在力Q的始端和末端画出TB和TC,TB,TC,按同样的比例即可量得TB和TC的大小。,§2 合成与平衡的解析法,F,x,b,a,y,Fy= Fsin,二.力的分解 一个力在没有限制的情况下,可以分解为无数组力。只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。,F,三.合力投影定理,一.力在轴上的投影,结论:,四.合成的解析法,五.平面汇交力系的平衡方程及其应用,上式即为平面汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡 R = 0,例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。,1).取研究对象 -力系的汇交点A,3).建立坐标系,4).列出对应的平衡方程,5).解方程,解：,2）作受力图,第三章 力矩 平面力偶系,§1.力对点的矩(力矩),.,O,F,d,mo(F)=±Fd,合力矩定理:,mo(F1)=F 1sin1L= F 1yL=Y1L mo(F2)=F 2sin2 L= F 2yL=Y2L mo(F3)=F 3sin3 L= F 3yL=Y3L,+ ) =(Y)L,mo(R)=RsinL = R yL,结论:,§2.两平行力的合成,B,A,F1,T2,T1,R1,F1,T1,T2,.,.,.,C,R=F1+F2,R2,即内分反比定理。,一. .同向两平行力的合成,二.不等两反向平行力的合成,F2,F1,R2,R1,T2,T1,F1,F2,C,B,A,.,.,.,R = F2- F1,即外分反比定理。,O,§3.平面力偶系,一.力偶的性质,力偶无合力,力偶对任一点的矩完全取决于力偶矩 m =±Fd,.,d,x,F,F,三要素: 大小、转向、作用平面,.只要保持力偶矩不变，力偶可以在作用平面内任意转移； 只要保持力偶矩不变，可以调整力偶中力和力臂的大小，而不改变力偶对物体的作用效果。,力偶： 等值、反向、不共线的两个平行力 （F，F）,二.平面力偶系的合成与平衡条件,F2,F2,F3,F3,R,R,结论: 平面力偶系可以合成, 合成的结果为一合力偶,合力偶的力偶矩等于各个分力偶的力偶矩的代数和。 M=m 平面力偶系的平衡方程： m =0,例：一工件上需钻三个孔，钻头力偶矩分别为m1=100kNm，m2=200kNm， m3=300kNm。求夹具对工件的约束反力。,解：研究工件，受力如右图所示。主动力系为一力偶系，根据力偶的性质，反力也必为一反力偶，由力偶系的平衡方程 m =0 有 m1+ m2+ m3-NAL=0 解得,第四章 平面一般（任意）力系,§1.力线平移定理,结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F）,§2.平面一般力系的简化,Fn,F1,O,mn,.,m3,m1,F2,F3,m2,O简化中心,MO,R,R主矢 R=Fi 与简化中心无关 MO主矩 MO =mo(Fi) 与简化 中心有关,讨论 :主矢 R=Fi 其大小,R主矢 R=Fi 与简化中心无关 MO主矩 MO =mo(Fi) 与简化 中心有关,R,MA,YA,作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束-固定端约束的反力。,MA,XA,简图：,固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶,§3.简化结果分析.合力矩定理,R主矢 R=Fi 与简化中心无关 MO主矩 MO =mo(Fi) 与简化中心有关,. R0, MO 0 原力系为一力偶系,与简化中心位置无关;,. R 0, MO 0 原力系为一作用在简化中心的合力,与简化中心 位置有关;,. R 0, MO 0 为普遍情形,还可继续简化为一作用在 点的 合力 ，即为原力系的合力；, R0, MO = 0, 原力系为一平衡力系。.,合力矩定理：当平面一般力系具有合力时，合力对平面内任一点的 矩就等于该力系的各分力对同一点的矩的代数和。,一.平衡方程的基本形式 平面一般力系 平 衡 R0, MO = 0,§4.平面一般力系的平衡方程及其应用,T,NB,G,平面一般力系的平衡方程:,例:求A、B两处的约束反力及绳子的拉力,解:.取研究对象小车,.做受力图,.建立适当的坐标轴,. 判断力系类型，列出对应的平衡方程,.解方程,NA,C,平面一般力系,二.平衡方程的其它形式,基本形式 一矩式,二矩式 ABx轴,三矩式 A、B、C不共线,注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有三个，对一个物体来讲,只能解三个未知量,不得多列！,例：图示简支梁，求A、B两处的约束反力。,解：研究AB，受力如图：,建坐标如图,XA=0,YA+ NB - =0,A,下面讨论分布载荷合力Q的大小：,0,l,= 分布载荷的面积,分布载荷合力Q的作用位置：,利用合力矩定理，设合力Q的作用点,到原点的距离为C，向O点取矩有：,l,0,作用在分布载荷的形心图形的几何中心,§5.平面平行力系的平衡方程,Fiy轴,0=0,平面平行力系的平衡方程为,或 AB Fi,注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能解两个未知量,不得多列！,§6.静定与超静定问题, 物系的平衡,静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题,静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题.,超静定次数 = 未知量的总数平衡方程的个数 例:,设一物系由 n 个物体构成,则每个物体可列出3个独立的平衡方程,整个物系则可列出3n个平衡方程,也即可解出3n个未知量. 若物系的未知量多于3n个,则为超静定系统. 本课程不讨论超静定系统.,物系: 由若干个物体所组成的物体系统,内约束, 内力, 外力,物系平衡时,构成物系的每一个物体都必然平衡.,物系的平衡:,解决物系的平衡问题的基本方法是将物系拆开成若干个单个物体,对每个物体列平衡方程,联立求解.,MA,B,M,q,A,解：先以BC为研究对象，做受力图,列平衡方程,XB=0,YB+NC-ql=0,NCl-ql2/2=0,XA-XB=0,YA-YB=0,MA+M-YBl=0,联立求解即可。,B,C,NC,YB,XB,B,A,XB,YB,XA,YA,再研究AB：（或整体ABC）,请同学们研究整体ABC,与上述结果比较.,例2 ：图示构架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A处的反力及BC的内力。,解：先整体求A处反力：,拆开CD：,例3 ：图示结构受水平力P作用，ACB与ED两杆在C点用销钉连接，ED与BD两杆在D点绞接并放在光滑斜面上，各杆自重不计，AB水平，ED铅直，BDAD。AC=1.6m、 BC=0.9m、 EC=CD=1.2m、 AD=2m。求A、D两处的反力及杆BD的内力。,解：先研究整体：,再拆开ACB：,讨论：拆开时若不研究ACB，而研究ECD，则受力如下：,此时，ND与SBD共线，是不是SBD就直接等于ND呢？,当A点反力如下图所示时则：，,XA= 0.08 kN YA =0.12 kN,解题须知: 对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的哪一部分，不应先整体研究。 拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。 对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。 定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。 根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。 取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。,练习题1. 图示构架，杆和滑轮的自重不计，物块F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C两点的约束反力。,解: 先研究整体:,C,D,E,再拆开CED:,练习题2. 梁如图所示，求A、B、C三处的反力。,解:先拆开BC:,再整体:,练习题3.梁AB、BC及曲杆CD自重不计，P=20kN，M=10kN·m，q=10kN/m，a=0.5m。求固定端A及铰链D处的约束反力。,由若干个杆件彼此在两端铰接而成的一种结构,受力后其几何形状不发生改变，如: 桥梁、井架、高压电线杆、起重机架等，称之为桁架。,§7.平面简单桁架,若桁架的所有杆件都在统一平面内，则称为平面桁架 为了简化计算，常作以下假设： .各杆都是直的 .所有外力均作用在桁架平面内,且均作用在节点上 .各杆件间彼此均用光滑铰链连接 .各杆自重略去不计,因此构成桁架的各杆均为二力杆,桁架中各杆的铰接点称为节点。,平面桁架的计算方法 一. 节点法：各节点均构成一平面汇交力系,从只有两个未知力的节点开始,逐个讨论各节点,联立求解.,解:所有节点均超过两个未知力,所以,先研究整体,求出外反力:,YA,NB,XA-P=0,YA+NB -Q =0,NB(2a+2b)-Q(a+b)-Pc=0,由此解出三个外反力,XA,A,S1,B,再从只有两个未知力且受力个数较少的节点开始-B点:,NB,S2,画受力图时注意:各节点处的已知力不能画错,未知力必须背离该节点,设为拉力,若算出来为负号,则意为压力.,列出平面汇交力系的平衡方程,-S2cos-S1=0,S2sin+NB=0,下来再依次研究G、H、F、E、D、C各点即可。,二. 截面法：有时只需求出部分杆件的内力,可假想的将桁架从某一截面截开,利用平面一般力系的平衡方程求解.所截截面的未知力不能超过三个。,例:求图示8、9、10三杆的内力。,解：一般情况下，应先求出整体的外反力，此处反力已求得。 再从只有三个未知力的截面处截开，此处即8、9、10三杆处。 弃去一部分，保留另一部分，这里保留左半部：作受力图,A,同学们做,零杆：若某节点只受三个力，且两力共线，则第三力必为零。,正交杆：,列平衡方程：,练习题1 ：图示桁架，水平、铅直各杆长均相等，求6、7、8三杆的内力并说明是拉力还是压力。,解：先找出零杆,练习题2 ：图示桁架，ABC为等边三角形，E、F为两腰中点，求CD杆的内力。,解：先找出零杆ED，,0,沿m-m截面截开，研究右侧，受力如图,第五章 摩擦,摩擦,滑动摩擦,滚动摩擦,静滑动摩擦,动滑动摩擦,一. 静滑动摩擦定律,摩擦力F: 方向: 恒与物体相对滑动的 趋势方向相反,大小: 一般状态下由平衡方程确定,当物体处于将动未动的临界状态 时,由静滑动摩擦定律计算.,Fmax=Nf,N:法相反力 f:静滑动摩擦系数,为常数,由材料决定,§1 滑动摩擦,因此, 0 F Fmax,作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线,二. 动滑动摩擦定律,F =N f ,N:法相反力 f :动滑动摩擦系数,为常数,由材料决定,f f,§2. 带有摩擦的平衡问题,带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是 在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.其结果往往有一个范围.,例: 重为G的物体放在倾角为的斜面上,今在该物体上作用一水平力Q,问能使该物体保持平衡时Q的范围.已知 f=0.5.,解: 解除约束,作受力图 考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力, 建立适当的坐标系,列平衡方程.,N,F1,F2,G,若不告诉物体的尺寸,则属汇交力系,否则属于一般力系. 在临界状态并补充摩擦定律 Fmax=Nf 将各种趋势的结果比较分析,得出待求的范围.,(1). 下滑时:摩擦力朝上,Qcos+F-Gsin=0,-Qsin+N-Gcos=0,Fmax=Nf,Q1=G(sin-fcos)/(cos+fsin),(2). 上滑时:摩擦力朝下,Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin), Q1 Q Q2,F,R,§3 . 摩擦角与自锁现象,全反力: R = N + F,由于 0 F Fmax N R N+ Fmax,把全反力的最大值Rmax与法线N间的夹角max称为摩擦角,用表示,max,max,由图可知:,可见,摩擦角与摩擦系数f 一样也是表示材料表面性质的一个常量.,当物体的滑动趋势方向改变时,全约束反力作用线的方位也随之改变, 当物体在支承面内有各个方向滑动的趋势时,则全反力的最大值Rmax 作用线将画出一个以接触点为顶点的圆锥面-摩擦锥,1.摩擦角,摩擦锥的顶角为 2 max,由于F不可能超过最大值,所以,全反力R的作用线也不可能超出摩擦角以外,即.物体平衡时,全反力R必在摩擦角以内.,因此 : 如果作用于物体上的主动力的合力作用线落在摩擦角以内,则不论这个力多么大, 物体都能够平衡; 这种现象称为自锁现象.,反之如果主动力的合力作用线落在摩擦角以外,则不论这个力多么小, 物体都不能够平衡.,(可用二力平衡原理解释),摩擦角的概念被广泛的使用: (1) 摩擦系数的测定 (2) 螺旋千斤顶的自锁条件 (3) 沙堆成型的过程,R,M,§4 . 滚动摩擦,A,P-F=0 N-G=0,-PR = 0,？,N,M,F,F,N,Mmax = N , 称为滚动摩阻系数,它具有长度的量纲,也是一常 数,与材料有关.,Mmax称为滚动摩擦阻力偶矩,简称滚阻力偶,当主动力P不足够大时,圆轮仍处于静止,当P逐渐增达到一定值时,轮子将处于将动未动的临界状态,此时, 力偶矩达到最大值Mmax且有:,由于滚动摩阻系数很小,因此,滚动摩阻通常忽略不计.,概念题：图示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，问物快能否保持平衡？为什么？,答：能，因为主动力P、G的合力作用线落在摩擦角之内,概念题： 长方形均质块尺寸如图，放在斜面上，当增加到m ( ) 时处于临界状态，求此时静滑动摩擦系数 f 及 b/a 的范围。,解:,练习题：图示结构在力偶 M=pl 的作用下处于临界状态，求C处静滑动摩擦系数 f 及 A处的反力。杆自重不计。,解：BC为二力杆,练习题： 无重杆AB搁在不计自重的圆柱体上，求不论P多大都不能使圆柱被挤出的各接触面的摩擦角，表成与的关系。,练习题：两根同重等长的均质杆在B点绞接，C点靠在墙上，f=0.5，求平衡时的角=?,解:研究整体， 分析受力:,再研究BC， 分析受力:,练习题：一扇形摇椅底腿半径为r，顶角600，重Q=100N，重心在C点，OC=r/2，在O点加水平力P并逐渐增加，问摇椅是先滑动还是先翻倒？就f=0.2和0.3两种情况考虑；若先滑动，OC与铅直成何角度？若先翻倒，此时F=？,解：依题意画图，,D,f =0.2时:,此种情况下，先滑动.,f =0.3时:,当=300时，摇椅处于将翻未翻的临界状态；图示结构不可能超过300，所以此种情况下，先翻倒。此时：,练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？,BC为二力杆，受力如图，由平衡方程：,解：先整体：,能平衡， FA= FB=72.17N。,练习题：图示楔块夹角，各接触面间的摩擦角均为，欲使楔块不滑出，=？楔块自重不计。,解：考察一个侧面，受力如图：,作辅助线，,O,Fx= X=Fcos,F,x,第六章 空间力系,§1.空间汇交力系,z,y,二.力在空间直角坐标轴上的投影,Fy= Y=Fcos,Fz= Z=Fcos,二次投影法:,Fx= X=Fsincos,Fy= Y=Fsinsin,Fz= Z=Fcos,一.力在空间的表示:,各力的作用线在空间任意分布且交于同一点.,三.力沿空间直角坐标轴的分解,Fx=Xi,Fy=Yj,Fz=Zk,F=Xi+ Yj + Zk,四.空间汇交力系的合成,空间汇交力系用几何法合成并不方便,因为空间几何图形不易表示. 所以常用解析法.,将空间汇交力系的各力分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合力在某轴上的投影等于各个分力在该轴上投影的代数和:,Rx= X,Ry= Y,Rz= Z,Fxy,R= Fi,合力投影定理:,五.空间汇交力系的平衡条件,例:等长杆BD、CD铰接于D点并用细绳固定在墙上A点而位于水平面内，D点挂一重G的物块，不计杆重，求杆及绳的约束反力。,T,-Tsin300cos450-SCD=0,-Tsin300sin450-SBD=0,Tcos300-G=0,SBD,SCD,解：研究力的汇交点D（空间力系不用取隔离体） 画受力图,§2. 空间力偶理论,各力偶在空间任意分布 空间力偶系,一.空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展),作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶,若其力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效.即:空间力偶可以向平行平面内搬动.,F=2F1,利用两个反向平行力的合成结论,F2',F2,二.空间力偶的矢量表示,m,矢量的长度表示力偶矩的大小, 矢量的指向与力偶的转向成右手系, 矢量的方位于力偶作用平面垂直.,力偶矩矢为自由矢量,与作用位置无关,既可以在同平面内移动,又可在平行平面内搬动.,空间力偶的等效条件: 两力偶矩矢相等.,三.空间力偶系的合成与平衡条件,m2,M,合力偶矩矢 M=mi,合力偶投影定理: 将空间力偶系的各力偶矢分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,根据矢量投影法则,合矢量在某轴上的投影等于各个分矢量在该轴上投影的代数和:,Mx= mx,My= my,Mz= mz,空间力偶系的平衡条件:,M=0,空间力偶系的平衡方程:,z,Fz,Fxy,Fy,F,§3.空间力对轴之矩,Fx,y,力F使物体绕z轴转动的效应称为力对轴之矩,记为:,mz(F)=±Fx·OA =±Fxy·h,o,A,h,x,B,显然:力与轴平行,无矩 力与轴相交,无矩,即: 力与轴位于同一 平面内时,无矩,合力矩定理:,mz(R)=mz(Fi),r,力对轴之矩的解析式:,F,d,X,F,m0( F)= r×F,Y,Z,mx(F)=,yZ - zY,mY(F)=,zX - xZ,mz(F)=,xY- yX,§4.空间力对点的矩矢,.A(x,y,z),矢量的长度表示力矩的大小, 矢量的指向与力矩的转向成右手系, 矢量的方位于力矩作用平面垂直.,定位矢量,与作用位置有关.,m0( F),力对点矩矢的解析式,F=Xi+Yj+Zk,r=xi+yj+zk,m0( F)= r×F = (yZ - Zy) i+ (zX - xZ) j +(xY- yX)k,§5.力对点的矩矢与力对通过该点的轴之矩间的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩.,§6.空间一般力系的简化 ,合力矩定理,空间一般力系: 各力的作用线在空间任意分布.,一.空间一般力系向一点简化,. O,主矢 R=F 与简化中心位置无关,主矩 M0=m= mo(Fi) 与简化中心位置有关,二.简化结果讨论,合力矩定理(略),§7.空间一般力系的平衡方程及其应用,例:重为G的均质正方形板置于水平面内,求球铰链O和蝶铰链A处的反力及绳的拉力.,T,解:研究板,分析受力,G,ZA,XA,XO,YO,ZO,XO -Tsin300cos450+XA=0,YO-Tsin300sin450=0,ZO-G+Tcos300+ZA=0,-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0,Gb/2-Tcos300b=0,XA=0,空间平行力系: 作用点任意分布,方位彼此平行,0=0,让 z / Fi,0=0,z=0,mx=0,my=0,0=0,空间平行力系的平衡方程为:,S,空间一般力系平衡方程的其他形式,前面我们讨论了空间一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空间一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式是必要充分条件，而其他形式是必要不充分条件，要使其充分必须附加一定的条件，而我们所遇到的题目都是平衡的，所以只需必要条件即可。不必考虑附加条件。,即：解题时，可以对任意直线取矩。但应向尽可能多的力的平行和相交的直线取矩，以减少方程中未知量的数目。,例：水平均质正方形板重P，用六根直杆支撑如图，求各杆内力。,解：研究板，作受力图,P,S,S,S,S,S,ms1=0,S6=0,ms3=0,S4=0,ms5=0,S2=0,mAC=0,S3=0,mAB=0,S5= -P/2,Z=0,S5= S1= -P/2,例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？,解：选轮轴为研究对象； 受力分析如图,由：,例：水平轴AB上分别固结半径为100cm和10cm的两圆轮，并在切线方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡时Q=？；A、B两轴处的反力分别为多少？,解：受力如图：,例：图示机构，在踏板C上作用一铅直力P=1000N，与作用在曲杆上的水平力T相平衡，求轴承A、B两处的反力。,解：机构受力如图：,例: 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,由B点：,例:曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?,此题课堂练习：, 力偶不出现在投影式中；, 力偶在力矩方程中出现， 是把力偶当成矢量后，再在坐 标轴上投影；, 力争一个方程求解一个 未知量；, 了解空间支座反力画法。,解：,例:已知：AB杆, AD,CB为绳索, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC 铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。,解：思路：要合理选取投影轴和矩轴，使一个方程解出一个未知量。,§1.平行力系中心,第七章 平行力系中心和重心,重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。,重心的位置实际上是重力的合力作用点。严格的讲，构成物体的每一微块都受到一铅直指向地心的引力重力，这些力组成一汇交力系，交点在地心。但地面上的物体的尺寸与地球的半径相比又非常小，即使长30m的物体平放在地面上，其两端重力的作用线的夹角也小于1“。因此将这些重力视为相互平行是足够准确的。所以，重心的位置就是平行力系的合力作用点平行力系中心。,F1,F3,F2,F12,C1,R,C,F12= F1+ F2,R= F12+ F3=F,结论:平行力系中,合力作用点C的位置只与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关.点C称为该平行力系的中心.,RyC=F1y1+ F2y2+Fnyn = Fiyi,而 R=F,§2.重心,重量 P=p,重心C: 重力的合力P的作用点,物体的重心在物体内占有确定的位置,而与该物体在空间的位置无关.,设i为物体单位体积的重量,则: pi= i vi, 对于连续体,n,体积重心:,设i为物体单位面积的重量,则: pi= i si, 对于连续体,n,面积重心:,线重心:,除公式法外,以下方法也常用来确定重心: .利用对称性求重心,凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在其对称面、轴、中心上。,例：球体、立方体、等腰三角形等。,.组合法 1）.分割法: 将整个物体分割成若干个简单形体,在一个坐标系下标出各简单形体的重心位置坐标,直接代如公式即可.,2). 负面积法: 若物体内缺一部分,则视缺少部分的面积(体积)为负值,仍同分割法一样代如公式.,.实验法 1). 悬挂法: 2). 称重法:,C,例: 已知：Z 形截面，尺寸如图。,求：该截面的重心位置。,解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。,解 ：(2)负面积法: Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面积为负值。,